流体流动

一、填空题：

1.牛顿粘性定律用内摩擦力的表达式为_____________. 用剪应力的表达式为____________.

答案：F=μAdu/dy; τ=μdu/dy

2.当地大气压为750mmHg时,测得某体系的表压为50mmHg,则该体系的绝对压强为_________mmHg, 真空度为_______mmHg.

答案： 800; -50

3.计算流体局部阻力损失的方法有:_______________,_________________,其相应的阻力损失计算公式为_______________,____________________。

答案：当量长度法; 阻力系数法;

hf =λ(le/d)(u2/2g); hf =ζ(u2/2g) ;

4.理想流体是指________________________________；而实际流体是指___________________________。

答案：没有粘性、没有摩擦阻力、液体不可压缩；具有粘性、有摩擦力、液体可压缩、受热膨胀、消耗能量。

5.牛顿粘性定律表达式为______________，其比例系数 (粘度) 的物理意义是_____________________。

答案：τ＝F/A＝μdu/dy；在单位接触面积上，速度梯度为1时，流体层间的内摩擦力。

6. 流体流动的型态用_____来判断，当________时为湍流，当________时为滞流，当______时为过渡流。

答案：雷诺准数，Re≥4000，Re≤2000，Re在2000-4000之间。

7.化工生产中，物料衡算的理论依据是_________________，热量衡算的理论基础是________________。

答案：质量守恒定律， 能量守恒定律。

8.当流体的体积流量一定时,流动截面扩大,则流速__________,动压头___________,静压头___________。

答案：减少， 减少， 增加。

9.流体的粘度指______________________________________。粘度随温度变化而变化,液体的粘度随温度升高而________；气体的粘度则随温度升高而________。

答案：流体流动时,相邻流体层间,在单位接触面上,速度梯度为1时,所产生的内摩擦力

减少 增大

10.液柱压力计量是基于______________原理的测压装置,用U形管压强计测压时,当压强计一端与大气相通时,读数R表示的是_________或___________。

答案：流体静力学； 表压； 真空度

11.应用柏努利方程所选取的截面所必须具备的条件是______________,______________，____________，__________________。

答案：处于稳定段， 连续， 垂直于流体流动方向， 流体平行流动

12.若Re值已知时,则流体在圆形管内呈层流时的摩擦系数λ=________,在管内呈湍流时,摩擦系数λ与_______、_______有关。

答案： 64/Re; Re; ε/d

13.孔板流量计和转子流量计的最主要区别在于：前者是恒______,变_____；后者是恒_________,变_________。

答案：截面；压差；压差；截面

14.液体的粘度随温度升高而________,气体的粘度随温度的升高而_______。

答案：减小； 增大

15.若流体在圆形直管中作滞流流动,其速度分布呈_______型曲线,其管中心最大流速是平均流速的____倍,摩擦系数λ与Re的关系为_________。

答案：抛物线； 2倍； λ＝64/Re

16.牛顿粘性定律的数学表达式为_________________,牛顿粘性定律适用于________型流体。

答案：τ=μdu/dy ； 牛顿

17.流体做层流流动时,管内平均流速是最大流速的____倍,湍流时,管内平均流速是最大流速的______倍。

答案： 0.5； 约0.8

18.流体在管路中作连续稳态流动时，任意两截面流速与管径的关系为______________，所以,流速随着管径的减小而________。

答案：u1/u2=d22 /d12 增大

19.流体流动时产生摩擦阻力的根本原因是__________________.

答案：.流体具有粘性

20.按照化工单元操作所遵循的基本规律的不同,可将单元操作分为_________、 __________、________。

答案.动量传递、热量传递、质量传递

21.流体沿壁面流动时,有显著速度梯度的区域称为_____________。

答案：.流动边界层

22.液体在等直径的管中作稳态流动,其流速沿管长______,由于有摩擦阻力损失,静压强沿管长_______。

答案：不变； 降低

23.稳态流动是指流动系统中,任一截面上流体的流速、压强、密度等物理量仅随_____________________。

答案：.位置而变，而均不随时间变。

24.离心泵的主要构件有以下三部分:______,_____,_______.

答案：泵壳; 叶轮; 泵轴

25.离心泵的主要参数有: __________,____________,____________,____________.

答案：流量; 扬程; 功率; 效率

26.离心泵的特性曲线有:_____________________,_________________,__________________.

答案：扬程～流量曲线； 功率～流量曲线； 效率～流量曲线

27.离心泵的最大安装高度不会大于_______________.

答案：10m

28.离心泵的工作点是________________________和______________________________两条曲线的交点.

答案：泵特性曲线H--Q； 管路特性曲线H--Q

29.泵起动时应先关闭出口开关，原因是______________________________________________________。

答案：.降低起动功率，保护电机，防止超负荷而受到损伤;同时也避免出口管线水力冲击。

30.流体输送设备按工作原理可分为四类：____________，______________，__________，__________。

答案：离心式 ， 往复式 ， 旋转式 ， 流体作用式

31.当离心泵的安装高度超过允许安装高度时，离心泵会发生____________现象。

答案：气蚀

32.离心泵的扬程含义是___________________________________________________________________。

答案：.离心泵给单位重量的液体所提供的能量

33.离心泵起动时，若泵内没有完全充满液体，离心泵就不能输送液体，这种现象称为__________。

答案：气缚

34.离心泵输送的液体粘度越大，其扬程__________，流量_________,轴功率__________，效率_________。

答案：.越小； 越小； 越大； 越小

35.往复压缩机的实际工作循环，是由__________、__________、________、________四个阶级组成。

答案：吸气、 压缩、 排气、 膨胀

36.采用多级压缩的优点是：_______________________________________________________________。

答案：降低排气温度；减少功耗；提高气缸容积利用率；使压缩机的结构更为合理。

37.离心泵叶轮的作用是__________________________________，使液体的______________均得到提高。

答案：将原动机的机械能传给液体， 静压能和动能。

38.往复式压缩机的工作原理和__________泵相似，是靠往复运动的活塞使气缸的工作容积__________，从而进行_____________。

答案：往复； 增大或减少； 吸气和排气，

二、选择题：

1.流体在圆管内流动时,若为湍流时,平均流速与管中心的最大流速的关系为（ ）

A. Um＝1/2Umax B. Um＝0.8Umax

C. Um＝3/2Umax

答案：B

2.从流体静力学基本方程可得知，U型管压力计测量的压强差( )

A. 与指示液密度、液面高度有关,与U形管粗细无关

B. 与指示液密度、液面高度无关,与U形管粗细有关

C. 与指示液密度、液面高度无关,与U形管粗细无关

答案：A

3.流体的层流底层越薄，则( )。

A. 近壁面速度梯度越小 B. 流动阻力越小

C. 流动阻力越大 D. 流体湍动程度越小

答案：B

4.为提高微差压强计的测量精度，要求指示液的密度差( )。

A. 大 B. 中等 C. 越小越好 D. 越大越好

答案：C

5. 一个工程大气压等于( )Pa; ( )Kgf.cm-2。

A. 1.013×105 B. 9.8×104 C. 1 D. 1.5

答案：B C

6. 转子流量计的主要特点是( )。

A. 恒截面、恒压差； B. 变截面、变压差；

C. 恒流速、恒压差； D. 变流速、恒压差。

答案：C

7.层流与湍流的本质区别是：( )。

A. 湍流流速>层流流速； B. 流道截面大的为湍流，截面小的为层流；

C. 层流的雷诺数<湍流的雷诺数；D. 层流无径向脉动，而湍流有径向脉动

答案：D

8.圆管内流动流体湍流时的雷诺准数值应为（ ）

A. Re<2000 B. Re>4000 C. Re=2000～4000

答案：B

9.流体在管路中作稳态流动时,具有（ ）的特点。

A. 呈平缓的滞流 B. 呈匀速运动

C. 在任何截面处流速、流量、压强等物理参数都相等；

D. 任一截面处的流速、流量、压强等物理参数不随时间而变化

答案：D

10.表压与大气压、绝对压间的关系是（ ）。

A. 表压＝绝对压-大气压 B. 表压＝大气压-绝对压

C. 表压＝绝对压+真空度

答案：A

11.流体流动时产生摩擦阻力的根本原因是（ ）。

A. 流动速度大于零 B. 管边不够光滑 C. 流体具有粘性

答案：C

12.流体在管内流动时,滞流内层的厚度随流速的增加而（ ）。

A. 变小 B. 变大 C. 不变

答案：A

13.圆管的摩擦系数λ=64/Re的适用流型是（ ）。

A. 滞流 B. 过渡流 C. 湍流

答案：A

14.为使U形压差计的灵敏度较高,应使指示液和被测流体的密度差（ ）。

A. 偏大 B. 偏小 C. 越大越好

答案：B

15.设备内的真空度愈高,即说明设备内的绝对压强（ ）。

A. 愈大 B. 愈小 C. 愈接近大气压、

答案：B

16.在静止的、连续的、同一液体中,处于同一水平面上各点的压强 （ ）

A. 均相等 B. 不相等 C. 不一定相等

答案：A

17.流体在圆管内作滞流流动时,阻力与流速的（ ）成比例,作完全湍流时,则阻力与流速的（ ）成比例。

A. 平方 B. 五次方 C. 一次方

答案：C A

18.流体在管内作湍流流动时,滞流内层的厚度随雷诺数Re的增大而（ ）。

A. 增厚 B. 减薄 C. 不变

答案：B

19.将管路上的阀门关小时,其阻力系数（ ）。

A. 变小 B. 变大 C. 不变

答案：B

20. u2/2的物理意义是表示流动系统某截面处（ ）流体具有的动能。

A. 1kg B. 1N C. 1m

答案：A

21.流体流动时产生阻力的根本原因是流体流动（ ）。

A. 遇到了障碍物； B. 与管壁产生摩擦

C. 产生了内摩擦切向力

答案：C

22.转子流量计的设计原理是依据（ ）。

A. 流动的速度 B. 液体对转子的浮力

C. 流动时在转子的上、下端产生了压强差。

答案：C

23.公式λ=64/Re仅适用于流体在（ ）管内作（ ）时应用。

A. 湍流 B. 滞流 C. 各种流动型态

D. 圆形 E. 非圆形

答案：D B

24.转子流量计的主要特点是（ ）

A. 恒截面、恒压差 B. 变截面、变压差 C.变截面、恒压差

答案：C

25.离心泵的性能曲线中的H－Q线是在( )情况下测定的。

A. 效率一定； B. 功率一定；

C. 转速一定； D. 管路（ｌ＋∑ｌe）一定。

答案：C

26.离心泵最常用的调节方法是 ( )

A. 改变吸入管路中阀门开度 B. 改变压出管路中阀门的开度

C. 安置回流支路，改变循环量的大小 D. 车削离心泵的叶轮

答案：B

27.离心泵的扬程是 ( )

A. 实际的升扬高度 B. 泵的吸液高度

C. 液体出泵和进泵的压差换算成液柱高度

D. 单位重量液体出泵和进泵的机械能差值

答案：D

28.用离心泵将液体由低处送到高处的垂直距离，称为（ ）

A. 扬程 B. 升扬高度 C. 吸液高度

答案：B

29.往复压缩机每一工作循环所耗的功以（ ）压缩为最小

A. 等温 B. 绝热 C. 多变

答案：A

30.往复泵在启动前（ ）液体。

A. 一定要充满 B. 无须充满 C. 充以适量的

答案：B

31.离心泵并联操作的目的是（ ）.

A. 增大位能 B. 增大扬程 C. 增大流量

答案：C

三、判断题：

1.流体在园管内作稳定流动时,其流速与管径的一次方成反比。（ ）×

2.流体在园管内的流动阻力主要有沿程阻力和局部阻力。（ ）√

3.化工单元操作是一种物理操作,只改变物质的物理性质而不改变其化学性质。（ ）√

4.在稳态流动过程中,流体流经各截面处的体积流量相等。 （ ）×

5.当输送流体的管子的管径一定时，增大流体的流量，则雷诺准数减少。（ ）×

6.流体在等径的管中作稳态流动时,由于有摩擦阻力损失,因此流体的流速沿管长而逐渐变小。（ ）×

7.当流体充满圆管作稳态流动时,单位时间通过任一截面的体积流量相等。（ ）×

8.流体作层流流动时,摩擦系数λ只是Re的函数,而与管壁的粗糙度无关。（ ）

9.在相同的设备条件下,密度越大,粘度越小的流体越易形成湍流状态。（ ）√

10.牛顿粘性定律是：流体的粘度越大,其流动性就越差。( ) ×

11.孔板流量计是文丘里流量计的改进,其压头损失比文氏流量计小得多。（ ）×

12.实际流体在导管内作稳态流动时,各种形式的压头可以互相转，但导管任一截面上的位压头、动压头与静压头之和为一常数。（ ）×

13.为了提高压强计的灵敏度以测量微小的压强差,可采用微差压强计。当其中的两指示液密度相差越大时,其灵敏度就越高。 （ ）×

14.经过大量实验得出,雷诺Re<2000时,流型呈层流,这是采用国际单位制得出的值,采用其他单位制应有另外数值。( ) ×

15.流体在管内以湍流流动时,在近管壁处存在层流内层,其厚度随Re的增大而变薄。 （ ）√

16.表压强就是流体的真实压强。（ ）×

17.设备内的真空度愈高表明绝对压强愈大。（ ）×

18.一般情况下气体的粘度随温度的升高而增大；液体的粘度随温度的升高而减小。（ ）√

19.用U形管液柱压差计测量流体压强差时,测压管的管径大小和长短都会影响测量的准确性。（ ）×

20.流体在圆管内流动时,管的中心处速度最大,而管壁处速度为零。（ ）√

21.稳定流动时,流体的流速、压强、密度等均不随时间和位置而变。（ ）×

22.流体在管内作稳定湍流时,当Re一定时,摩擦系数λ随管子的相对粗糙度的增加而增大。（ ）√

23.柏努利方程中的P/（ρg）表示1N重的流体在某截面处具有的静压能,又为静压头。（ ）√

24.流体阻力产生的根本原因是由于流体与壁面之间的摩擦引起的。（ ）×

25.液体在圆形管中作滞流流动时,其它条件不变,仅流速增加一倍,则阻力损失增加一倍（ ）√

26.稳定流动时,液体流经各截面的质量流量相等；流经各截面处的体积流量也相等（ ）√

27.理想流体流动时,无流动阻力产生。（ ）√

28.流体在水平管内作稳定连续流动时,直径小处,流速增大；其静压强也会升高。（ ）×

29.滞流内层的厚度随雷诺数的增大而增厚。（ ）×

30.在静止的、处于同一水平面上的、各点液体的静压强都相等。（ ）×

31.实验证明,当流体在管内流动达完全湍流时,λ与雷诺数的大小无关。（ ）√

32.离心泵启动时,为减小启动功率，应将出口阀门关闭，这是因为随流量的增加，功率增大。（ ）√

33.离心泵扬程随着流体流量的增大而下降。（ ）√

34.离心泵的扬程随其送液能力（流量）的改变而变化，当流量达到最大时，其扬程也最大；而流量为零时，其扬程亦等于零。 （ ）×

35.采用多级压缩机可解决压缩比过高的问题，但功耗增大了。（ ）√

36.多级往复式压缩机的压缩级数越多，则功耗越少 ( )。×

37.离心泵的“气缚”与“气蚀”现象，在本质是相同的。( ) √

四、问答题：

1.什么是流体连续稳定流动？

答案：流体连续稳定流动是指流体在流动时，流体质点连续的充满其所在空间，流体在任一截面上的流动的流速、压强和密度等物理量不随时间而变化。

2.流体粘度的意义是什么？流体粘度对流体流动有什么影响？

答案：流体的粘度是衡量流体粘性大小的物理量，它的意义是相邻流体层在单位接触面积上，速度梯度为1时，内摩擦力大小。

流体的粘度愈大，所产生粘性也愈大，液体阻力也愈大。

3.何谓层流流动？何谓湍流流动？用什么量来区分它们？

答案： 层流：流体质点沿管轴作平行直线运动，无返混，在管中的流速分布为抛物线，平均流速是最大流速的0.5倍。

湍流：流体质点有返混和径向流动，平均流速约为最大流速的0.8倍。

以Re来区分，Re<2000为层流、Re>4000为湍流。

4.什么是连续性假定？

答案： 假定流体是由许多质点组成的，彼此间没有间隙，完全充满所占有空间的连续的介质。，这一假定称为连续性假定。

5流体流动的连续性方程的意义如何？

答案： 流体流动的连续性方程是流体流动过程的基本规律，它是根据质量守恒定律建立起的，连续性方程可以解决流体的流速、管径的计算选择，及其控制。

6.流体静力学基本方程的意义是什么？

答案：静止流体内部任一水平面上的压强与其位置及流体的密度有关，位置越低，压强越大；

静止液体内部压强随界面上的压强而变，表明液面上所受的压强能以同样大小传递到液体内部。

7.流速与管路建设投资费及运行操作费的关系。

答案：当流量一定时，流速大，管径小，投资费用小；但流速大，管内流体流动阻力增大，

输送流体所消耗的动力增加，操作费用则随之增大。反之，在相同条件选择小流速，动力消耗固然可以降低，但管径增大后建设投资增加。

8.离心泵的工作原理。

答案：离心泵先灌泵后启动，当叶轮高速旋转时，液体获得了动能并甩向叶轮外缘。由于叶

片间的流体通道截面和泵壳的蜗形流道截面都是逐渐扩大的，使流体在泵内的流速逐渐降低，一部分动能转变为静压能，而使流体压强逐渐增高，最后从压出口压出，与此同时，由于离心力作用，叶轮中心的流体被甩向叶轮外缘，叶轮中心形成负压，使得流体不断被吸入。

9.什么是气缚现象？

答案：如果离心泵启动前未灌满液体，泵内有空气，由于空气的密度小，叶轮旋转产生的离

心力小，致使液体难以被吸入，此时叶轮虽在旋转，却不能输送液体并产生噪声。该现象为气缚。

10.什么是气蚀现象？

答案：当泵入口压强低于被输送液体的饱和蒸汽压时，被吸入的流体在泵的入口处汽化，形成气泡混杂在液体中，由泵中心的低压区进入泵外缘高压区，由于气泡受压而迅速凝结，使流体内部出现局部真空，周围的液体则以极大的速度填补气泡凝结后出现的空间，可产生很大的冲击力，损害泵壳和叶轮，该现象是气蚀。

11.离心泵的特性曲线有哪几条？是在何条件下测定的？

答案：离心泵的特性曲线有扬程曲线，功率曲线，效率曲线。是在常温，常压下用水作实验测定的，如果用于输送其他流体则需要换算。

12.离心泵起动时，为什么要把出口阀门关闭？

答案：离心泵工作时，其轴功率Ne随着流量增大而增大，所以泵起动时，应把出口阀关闭，以降低起动功率，保护电机，不致于超负荷而受到损失，同时也避免出口管线的水力冲击。

13.采用多级压缩对生产工艺有何好处？

答案：好处：（1）降低了排气温度； （2）减少了功耗；

（3）提高气缸容积利用率； （4）使压缩机的结构更为合理。

14.为什么单缸往复压缩机的压缩比太大，将会使压缩机不能正常工作？

答案：当余隙系数一定时、压缩比愈高，余隙内的残余气体膨胀所占气缸的容积就愈多，使每次循环的吸气量减少，而当压缩比太大时（即容积系数为零时），残余气体膨胀已占满整个气缸，使压缩机根本无法吸入新鲜气体，也就无法正常正作了。

15.离心泵的主要部件有哪些？各有什么作用？

答案：离心泵的主要部件有叶轮、泵壳、轴封装置。

叶轮的作用是将原动机的机械能传给液体、使液体的动能和静压能均得到提高。

泵壳具有汇集液体和将部分动能转为静压能的作用，轴封装置的作用是防止泵内高压液体外漏及外界大气漏入泵内。

16.离心泵的扬程和升扬高度有什么不同？

答案：离心泵的扬程是指泵给以单位重量液体的有效能量、 液体获得能量后，可将液体升扬到一定高度△Z，而且还要用于静压头的增量△P/ρg和动压头的增量△u2/2g及克服输送管路的损失压头，而升扬高度是指将液体从低处送到高处的垂直距离，可见，升扬高度仅为扬程的一部分，泵工作时，其扬程大于升扬高度。

五、计算题：

1.水在管内流动，截面1处管内径为0.2m，流速为0.5m.s-1，由于水的压强产生水柱高1m; 截面2处管内径为0.1m 。若忽略水由1至2处的阻力损失，试计算截面1、2处产生的水柱高度差h为多少m?

【解】列1-1′、2-2′间列柏努利方程式:

Z1+u12/2g+p1/ρg =Z2+u22/2g+p2/ρg+hf ①

p1-p2=ρg(u22/2g-u12/2g)=ρ(u22/2-u12/2)

u2/u1=d12/d22 u2=0.5×(0.2/0.1)2=2m.s-1

u2代入① p1-p2=ρ(22-0.52/2)=1876N/m2

∵p1-p2=ρgh

∴h=( p1-p2)/ρg

=1875/(1000×9.81)=0.191m

2.一输油管，原输送ρ1=900kg/m3，μ1=135cp的油品，现改输送ρ2=880kg./m3，μ2=125cp的另一油品。若两种油品在管内均为层流流动，且维持输油管两端由流动阻力所引起的压强降△pf 不变,流型为层流，则输送的油量有何变化?

【解】64/Re1（l/d）(u12/2)=64/Re2(l/d)(u22/2)

u1/(dρ1u1)u12=u2/(dρ2u2)u22

u1μ1/ρ1=u2μ2/ρ2

∴ u2/u1=μ1ρ2/μ2ρ1=1.35×880/(1.25×900)=1.056

输油量比原来增加5.6%

3.某流体在管内作层流流动，若体积流量不变，而输送管路的管径增加一倍，求因摩擦损失而引起的压力降有何变化？

【解】 根据伯氏方程：-△p=32uμl/d 2 以及：

(π/4)d12u1=(π/4)d22u2=Vs

已知：d2=2d1

则：u1/u2=d22/d12=(2d1) 2/d12=4 即：u2=u1/4

原工况：-△p1=32u1μ1l1/d12

现工况：-△p2=32u2μ2l2/d22

∵μ2=μ1 l2=l1 u2=u1/4 d2=2d1

将上述各项代入并比较：

现/原:△p2/△p1=[32×(1/4)u1×μ2×l2/(2d1) 2 ]/

[32×u1×μ1×l1/d12]=1/16

因摩擦而引起的压降只有原来的1/16

4.用泵自敞口贮油池向敞口高位槽输送矿物油，流量为38.4T/h,高位槽中液面比油池中液面高20m, 管路总长(包括阀门及管件的当量长度) 430m,进出口阻力不计。管径为φ108×4mm,若油在输送温度下的比重为0.96, 粘度为3430cp,求泵所需的实际功率,设泵的效率η=50%。

【解】对贮油池液面至高位槽液面列柏努利方程：

He=△Z+λ[(l+Σle )/d](u2/2g)

△Z=20m l+Σle =430m d=108-2×4=100mm=0.1m

u=Vs/0.785d2

=38400/3600×0.785×0.12×960

=1.415m/s

Re=duρ/μ=0.1×1.415×960/3430×10-3=39.6<2000

λ=64/Re=64/39.6=1.616

He=20+1.616×(430/0.1)× (1.4152/2×9.81)=729.2m

N=Q·He·ρg/η=38400×729.2×9.81/(3600×0.5×1000)= 152.6kw

5.某厂如图所示的输液系统将某种料液由敞口高位槽A输送至一敞口搅拌反应槽B中,输液管为φ38×2.5mm的铜管,已知料液在管中的流速为u m/s,系统的Σhf=20.6u2/2 [J/kg ],因扩大生产，须再建一套同样的系统, 所用输液管直径不变，而要求的输液量须增加30%,问新系统所设的高位槽的液面需要比原系统增高多少?

【解】∵u1≈0≈u2 p1=p2

于是gZ1=gZ2+Σhf

g(Z1-Z2)=Σhf =20.6u2/2

u=[2g(Z2-Z2)/20.6]0.5 =(2×9.81×6/20.6) 0.5 =2.39m/s

Z1′=Z2+20.6u′2/2g

=5+20.6(1.3×2.39) 2/(2×9.81)

=15.14m

增高为：Z1′-Z1=15.14-11=4.14m

6.用离心泵将水由水槽送至水洗塔中,水洗塔内的表压为9.807×104N/m2,水槽液面恒定,其上方通大气,水槽液面与输送管出口端的垂直距离为20m,在某送液量下,泵对水作的功为317.7 J/kg，管内摩擦系数为0.018，吸入和压出管路总长为110m(包括管件及入口的当量长度,但不包括出口的当量长度)输送管尺寸为 φ108×4mm,水的密度为1000kg/m3。求输水量为多少m3/h。

【解】Z1g+(p1/ρ)+(u12/2)+W=Z2g+(p2/ρ)+(u22/2)+Σhf1-2

已知数据：

Z1=0；P12(表)=0；u1≈0； W=317.7[J/kg]；

Z2=20[m]；p2=9.807×104[N/m2](表)； ρ=1000[kg/m3]

简化上式：

W=Z2g+(p2/ρ)+(u22/2)+Σhf1-2

又Σhf1-2=λlu22/2d=9.9u22

∴317.7=9.81×20+9.807×104/1000+u22/2+9.9u22

10.4u22=23.43 ∴u2=1.5[m/s]

V=(π/4)D2×u×3600=0.785×0.12 ×1.5×3600=42.41[m3/h]

7.如图所示，D=100mm, d=50mm,H=150mm,ρ气体=1.2kg/m3。当R=25mm时,将水从水池中吸入水平管中间,此时V气体为多大？ (阻力可忽略)

【解】选1-1、2-2截面与基准面0-0，如图所示。

在两截面之间列柏方程并简化得到：

(p1/ρ)+(u12/2)=(p2/ρ)+(u22/2) (1)

由已知数据：p1=0.025×13600×9.81=3335N./m2

p2=-0.15×1000×9.81=-1472N/m2

u2=(100/50) 2u1=4u1

代入(1)可得：15u12=2(p1-p2)/ρ=8012

u1=23.11m./s Vs=(π/4)D2u1=0.1814m3/s

或V=653m3/h

8.用离心泵经φ57×3.5mm的钢管, 将敞口贮槽内的有机溶剂(密度为800kg/m3,粘度为20cp)输送到反应器中。设贮槽内的液面离反应器内的液面高度保持16m，见附图。已知钢管总长度(包括局部阻力当量长度) 为25m，反应器内的压力恒定为4kgf/cm2 (表压) ,有机溶液输送量为6 m3/h,试确定泵提供的压头。

【解】取敞口贮槽液面为1-1截面，反应器内液面为2-2截面，在1-1与2-2截面间列柏努利方程，并以1-1截面为基准面：

gZ1+(u12/2) +(p1/ρ)+W

=gZ2+(u22/2)(p2/ρ)+Σhf1-2

W=(Z2-Z1)g+[(u22-u12)/2]+[(p2-p1)/ρ]+Σhf1-2

Σhf1-2 =λ[(l+le )/d](u2/2)

u=(6/3600)/[(π/4)×0.052]=0.8488m/s u1≈u2≈0 Z1=0

Re=duρ/μ=0.05×0.8488×800/ (2 0×10-3) =1697.6<2000

则λ=64/Re=64/1697.6=0.0377

Σhf1-2 =0.0377×(25/0.05)×(0.84882/2)=6.7904J/kg

故W=16×9.81+4×98100/800+6.79=654J/kg

9.图示为水泵进水管的装置。管子尺寸为φ57×3.5mm；管的下端位于储水池水面下2m，并装有底阀及滤网，该处之局部阻力压头损失为12ｕ2/（2ｇ）；截面2－2处的真空度为4m水柱；由1－1至2－2截面的沿程压头损失为9ｕ2/（2ｇ）。试求：（1）进水管的流量为多少m3/h；（2）进水口1－1处的表压为若干N/m2？

【解】列水面与2－2截面列柏努利方程：

（1）Z1＋ｕ12/2ｇ＋P1/ρｇ＝Z2＋ｕ22/2ｇ＋P2/ρｇ＋∑Hf

Z1＝0，ｕ1＝0，P1＝0，Z2＝3m，P2/ρｇ＝－4mH2O

∑Hf＝12ｕ2/2ｇ＋9ｕ2/2ｇ＝21ｕ2/2ｇ＝21ｕ22/2ｇ

21ｕ22/2ｇ＋ｕ22/2ｇ＝22ｕ22/2ｇ＝4－3＝1m

∴ｕ2＝（2×9.81/22）0.5＝0.94m/s

∴V＝3600×0.785（0.05）2×0.94＝6.64m3/h

（2）进水口1－1处的表压P

3—3截面为大槽距水面2m深处的大槽截面，3-3及1-1截面间的柏努利方程式

Z3=Z1=0 p3/ρg=2 p1/ρg

U3≈0 u1=0.94m/s Hf=12u2/2g

2=p1/1000g+0.942/2g+12×0.942/2g

p1=13.88×103 Pa=13.88KPa=1.415m

10. 15℃水在内径为10mm的钢管内流动，流速为0.15 m/s，试问：（1）该流动类型是层流还是湍流？（2）如上游压强为7kgf/cm2，流经多长管子，流体的压强降至3 kgf/cm2？（15℃水的密度为999.1kg/m3，粘度为1.14cp.）

【解】（1）Re＝dｕρ/μ

＝0.010×0.15×999.1/（1.14×10-3）

＝1314＜2000 该流体作层流流动

（2）根据泊谡叶方程式

ΔP＝32μｌｕ/d2

∴ｌ＝ΔPd2/（32μｕ）

＝（7－3）×9.81×104×0.012/（32×1.14×10-3×0.15）

＝7171m

11.水从蓄水箱，经过一水管流出，如附图所示。假如，Z1＝12m，Z2＝Z3＝6.5m，d2＝20 mm，d3＝10mm， 水流经d2管段的阻力损失为2m H2O，流经d 管段的阻力损失为1mH2O，求：（1）管嘴出口处的流速ｕ3；（2）接近管口2－2截面处的流速ｕ2及压强P2；

【解】（1）列1－1与3－3截面柏努利方程式

Z1＋P1/ρｇ＋ｕ12/2ｇ

＝Z3＋P3/ρｇ＋ｕ32/2ｇ＋ｈf1-3

ｕ1＝0，P1＝P3＝0（表压）

∴12－6.5＝ｕ32/2ｇ＋（2＋1）

解得 ｕ3＝√（2.5×2×9.81）＝7 m/s

（2）ｕ2＝ｕ3（d3/d2）2＝7×（10/20）2

＝1.75m/s

由1－1与2－2截面列柏努利方程式可得

P2/ρｇ＝（Z1－Z2）－ｕ22/2ｇ－ｈf1-2

＝（12－6.5）－1.752/（2×9.81）－2

＝3.344 m水柱（表压）

∴ P2＝3.344×1000×9.81＝32804Pａ

12.喷水泉的喷嘴为一截头圆锥体，其长度ｌ＝0.5m，其两端的直径d1＝40mm，d2＝20mm，竖直装置。若把表压为9.807kN/m2的水引入喷嘴，而喷嘴的阻力损失为1.5mH2O，如不计空气阻力，试求喷出的流量和射流的上升高度。

【解】列1－1 、2－2 截面，以1－1 面为基准的柏氏方程

Z1+P1/ρｇ+ｕ12/2ｇ＝Z2＋P2/ρｇ＋ｕ22/2ｇ＋ｈf

Z1＝0，P2＝0

由连续性方程：

（π/4）d12ｕ1＝（π/4）d22ｕ2

ｕ1＝（d2/d1）2ｕ2＝（20/40）2ｕ2＝ｕ2/4

P1/ρｇ＝10m， Z2＝0.5

10＋1/2ｇ×（ｕ2/4）2＝0.5＋ｕ22/2ｇ＋1.5

8＝ｕ22/2ｇ－1/16×ｕ22/2ｇ＝（15/1 6）ｕ22/2ｇ

∴ ｕ2＝（8×9.81×2×16/15）105＝12.94 m/s

上升高度 H=ｕ22/(2×9.81)=(12.94) 2/(2×9.81)=8.53 m

13.利用虹吸管将池A中的溶液引出。虹吸管出口B与A中液面垂直高度h=2m。操作条件下,溶液的饱和蒸汽压Ps=1.23×104N/m2。试计算虹吸管顶部C的最大允许高度H为若干m。计算时可忽略管路系统的流动阻力。溶液的密度ρ=1000kg/m3,当地大气压为760mmHg。

【解】该题的关键是C点的压强Pc必须等于或大于Ps， 以保证管内液体不会汽化而保持流动的连 续性。 现取极限值Pc=Ps。取A池液面为1-1面(并作为基准面)，B处为2-2面。

在两截面 间列柏努利方程并简化得到： u2/2=2g=19.62

再在1-1面与C截面之间列柏方程：

P1 /ρ=Hg+(u2/2) +Ps/ρH=(P1 -Ps) /(ρg) -(u2/2g)

=(101300-12300) /(1000×9.81)-19.62/9.81=7.07m

即C点的极限高度为7.07m。

14.如图所示，水以3.78升/秒的流量流经一扩大管段，已知d1＝40mm，d2＝80mm，倒U形压差计中水位差R＝170mm，试求：水流经扩大管段的摩擦损失hf。

【解】（1）ｕ1＝3.78×10-3/（0.785×0.042）

＝3 m/s

ｕ2＝（1/4）ｕ1＝0.75 m/s

在1－1、2－2截面是列柏式：

ｇZ1＋P1/ρ＋ｕ12/2＝ｇZ2＋P2/ρ＋ｕ22/2＋ｈf

Z1＝Z2＝0（以过管轴线的水平面为基准面）

（P2－P1）/ρ＝（ｕ12－ｕ22）/2－ｈf

＝（32－0.72）/2－ｈf＝4.22－ｈf

由静力学方程：P1－Rρ气ｇ＝P2－Rρ水ｇ

（P2－P1）/ρ水＝R.ｇ＝0.17×9.81＝1.668

即 4.22－ｈf＝1.668

hf＝2.552Ｊ/kg

15.用泵自贮油池向高位槽输送矿物油，流量为38.4T/h,高位槽中液面比油池中液面高30m,管路总长(包括阀门及管件的当量长度) 430m,进出口阻力不计。管径为φ108×4mm,若油在输送温度下的比重为0.96,粘度为3430cp,求泵所需的实际功率,设泵的效率η=50%。

【解】对贮油池液面至高位槽液面列柏努利方程：

He=△Z+λ[(l+Σle )/d](u2/2g)

△Z=30m l+Σle =430m d=108-2×4=100mm=0.1m

u=Vs/0.785d2

=38400/(3600×0.785×0.12×960)

=1.415m/s

Re=duρ/μ=0.1×1.415×960/3430×10-3

=39.6<2000

λ=64/Re=64/39.6=1.616

He=30+1.616×(430/0.1)×(1.4152/2×9.81)=739.13m

N=Q·He·ρg/η

=38400×739.13×9.81/(3600×0.5×1000)=154.7kw

16.用离心泵经φ57×3.5mm的钢管,将敞口贮槽内的有机溶剂(密度为800kg/m3,粘度为20cp)输送到反应器中。设贮槽内的液面离反应器内的液面高度Z保持20m，见附图。已知钢管总长度(包括局部阻力当量长度) 为25m，反应器内的压力恒定为4kgf/cm2(表压) ，有机溶液输送量为6m3/h，泵的效率为60%，试确定泵提供的轴功率。

【解】取敞口贮槽液面为1-1截面，反应器内液面为2-2截面，在1-1与2-2截面间列柏努利方程，并以1-1截面为基准面：

gZ1+(u12/2)+(p1/ρ)+W=gZ2+(u22/2)(p2/ρ)+Σhf1-2

W=(Z2-Z1)g+[(u22-u12)/2]+[(p2-p1)/ρ]+Σhf1-2

Σhf1-2 =λ[(l+le )/d](u2/2)

u=(6/3600)/[(π/4)×0.052]=0.8488m/s

u1≈u2≈0 Z1=0

Re=duρ/μ=0.05×0.8488×800/(20×10-3)

=1697.6<2000

则λ=64/Re=64/1697.6=0.0377

Σhf1-2 =0.0377×(25/0.05)×(0.84882/2)=6.7904/.kg

故W=(20-0)×9.807+4×9.807×104/800+6.7904

=693.5J/kg

N=QρW/η＝1.541kw

17.下图所示的CO2水洗塔供水系统，水洗塔顶部绝对压强为2250 kPa，贮槽水面绝对压强为300 kPa 。塔内水管与喷头连接处，高于水面20m，输水管规格为φ57×3.5 mm 钢管,送水量为 15m3/h,设管路摩擦能量损失为49J/kg,试求水泵的有效功率。

【解】Z1g+P1/ρ+u12/2+We=Z2g+P2/ρ+u22/2+ ∑Wf

u2=15/[3600（π/4）0.052]=2.12 m/s

We=20× 9.81 +((2250-300)×103)/103+(2.12)2/2+49=2197 J/kg

∴ Ne=ρV.We=9154 w

18.由山上的湖泊中引水至某贮水池，湖面地面高出45m，管道总长4000m （包括直管长度和局部阻力当量长度），要求流量达到85 L/s。若使用新铸铁管，其摩擦阻力系数λ=0.02，则铸铁内径需多大？经长期使用，铸铁管内壁腐蚀，其摩擦阻力系数增大至λ=0.03，问此时水流量减至若干？

.【解】Z0+P0/ρg+u02/2g=Z1+P1/ρg+u12/2g+λ(l/d)(u2/2g)

45=0.02×(4000/d)(u2/2g)----(1)

因为 V=(π/4)d2 u=0.085 m3/s

u=0.085/(0.785d2)

代入式(1)得:d=0.254

当λ=0.03时,代入式(1)得

u′=1.367 m/s

V=69.4 L/s

19. 20℃的水以2.5m/s的流速流经Φ38×2.5mm的水平钢管，此管以锥形管与另一Φ53×3mm的水平钢管相连，如图所示。在锥形管两侧A.B处各插入一垂直玻璃管，以观察两截面的压强。若水流经A.B两截面间的能量损失为1.5J/kg,求两玻璃管的水面差。

【解】按连续性方程：uB=uN（dA/dB）2=2.5(0.033/0.047) 2=1.23m.s-1

由柏式知：R=(PA-PB)/(ρg)=uB2/2-uA2/2+hfA-B

=1.232/2-2.52/2+1.5

= -0.087m=-87mm 负号 PB＞PA

20.某输水管路如图所示，水箱液面保持恒定。当阀门A全关闭时，压力表读数为177kN/m2 ,阀门全开时，压力表读数为100 kN/m2。已知管路采用Φ108×4mm钢管，当阀门全开后，测得由水箱至压力表处的阻力损失为7.5mH2O。问：全开阀A时水的流量为多少m3/h？（ρ水=1000 kg/m3，p大气=98.1 kN/m2）

【解】定水箱液面为1-1，压力表处为2-2，列柏式：

Z1+P1 /(ρg)+u12/(2g)=Z2+P2/(ρg)+u22/(2g)+Hf1-2

∵ Z1=P/(ρg)=177×103/(1000×9.807)=18m

∴ 18+0+0=0+100×103/(1000×9.807)+u22/(2g)+7.5

∴ u2=2.43m/s

∴ V=3600π2.43×(0.1) 2/4=68.67m3/h

21.将20℃的水由水池打至一敞口高位槽中，槽内的水面与水池内的水面的垂直距离为31.6m。管路总能量损失为50J/kg，流量为20m3/h，试求理论功率为多少kw？

【解】ｇZ1＋ｕ12/2＋P1/ρ＋Ｗe＝ｇZ2＋ｕ22/2＋P2/ρ+∑ｈf

Z1＝0，Z2＝31.6m，P1＝P2，ｕ1≈0，ｕ2≈0，

∑ｈf＝50Ｊ/kg

Ｗe＝ｇZ2＋∑ｈf＝9.81×31.6＋50＝3 60Ｊ/kg

ms＝20/3600×1000＝5.556kg/s

N＝Ｗems＝360×5.556＝2000Ｊ/s＝2kw

22.欲用离心泵将20℃水以30m3/h的流量由水池打到敝口高位槽，两液面均保持不变，液面高差为18m，泵的吸入口在水池液面上方2m处。泵的吸入管路全部阻力为1mH2O柱，压出管路全部阻力为3mH2O柱，泵的效率为0.6，求泵的轴功率。若已知泵的允许吸上真空高度为6m，问上述安装高度是否合适？（动压头可忽略）。。

【解】如图取1－1，2－2截面，并以1－1截面为基准面，列柏努

里方程得：

H＝ΔZ＋∑Hf1-2＝18＋1＋3＝22m

∴N轴＝QHρ/（102η）

＝(30/3600)×22×1000/(102×0.6)＝3kw

Hg 允＝Hs 允－U2/2ｇ－Hf 吸

＝6－1＝5m＞2m

∵Hg 实＜Hg 允 ∴安装高度合适。

23.现有一台离心泵，铭牌上标出允许吸上真空度Hs＝6m，用来输送20℃的清水，已知吸入管路的全部阻力损失为1.5 mH2O，当地大气压为10mH2O，若略去泵入口处的动压头。试计算此泵的允许安装高度Hg为多少米？

【解】 Hg ＝Hs －u12/2ｇ－∑ｈf0-1

＝6－1.5

＝4.5m

安装高度为4.5m。实际安装高度=4.5-0.5=4m

24.密度为1200kg/m3的盐水，以25m3/h的流量流过内径为75mm的无缝钢管。两液面间的垂直距离为30 m，钢管总长为120m，管件、阀门等的局部阻力为钢管阻力的25％。试求泵的轴功率。 假设：（1）摩擦系数λ＝0.03；（2）泵的效率η＝0.6

【解】 Z1＋ｕ12/2ｇ＋P1/ρｇ＋He＝Z2＋ｕ22/2ｇ＋P2/ρg+∑Hf

Z1＝0，Z2＝30m，ｕ1≈0，ｕ2≈0，P1＝P2

∴He＝Z2＋∑Hf＝30＋∑Hf

∑Hf＝（λ×ｌ/d×ｕ2/2ｇ）×1.25

ｕ＝V/A＝25/[3600×0.785×（0.07 5）2]

＝1.573m/s

∑Hf＝（0.03×120/0.075×1.5732/（2×9.81）×1.25

＝7.567m盐水柱

He＝30＋7.567＝37.567m

Ne＝QeHeρｇ

＝25/3600×37.567×1200×9.81＝3071w

N轴＝Ne/η＝3071/0.6＝5118w

25.用泵将比重为0.85的某液体从低位槽打到高位槽。低位槽距地面高2m，管子出口距地面高20 m，管路阻力损失为30 J/kg，泵入口流速为0.915 m/s，入口管径为φ 89×6 mm 出口管径为φ60×4mm，求泵有效功率。

【解】在低位槽液面与管子出口截面列柏努利方程得：

We=g(Z2-Z1)+(P2-P1)/ρ+(u22-u12)/2+hf

=9.81×18+0+0.9152 [（77/52）4-1]/2+30

=208.6 J/kg

Ne=WeρQ=208.6×850×0.915π×(0.077) 1/4=755w

26.有一输水管路，水由输水主管进入两支管。已知：输水主管内径97f7ea92a5fab0abb05be203e14f2544.png =200mm,两根支管的流量为e586ed55818442663e01181ed6769ebf.png，edbefed642449f2fa1ee9044f881c732.png,若要求两支管流速均比主管流速大50%，试求：

（1）输水主管中的流速bc2843a626ba8a29324a09a370199a8c.png为多少？

（2）输水管路中两支管的内径975e82ee46300a50d901d66c00fe64b1.png，26ee688d727ea0c771dbdf3f456895bd.png各为多少？

【解】word/media/image21.gif求输水主管中的流速，主管的流量应为两只管流量之和

cd46bf5aa757bc6536f960ce600f968b.png

28c96068700b99b6c5ef1dba7b66df96.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

（2）求两支管的直经，依题意

99a5b43830e9ce6196ec335260df7b70.png

同理可求8133534ed79dc7f027d7f5457672a701.png

27.喷射泵入水管的内径是20mm,水的体积流量是0.339afbfca3248bfcdc9c29ff4558b8fe3c9.png,进水压强是5公斤/厘米272ba5cfd2789d670bc65e40587345c3.png（绝对压强）。喷嘴内径是2mm。在喷嘴处可以产生多大的真空度？设水的密度为1000kg/eca9f5aad605d6994fa5bb9b65b283f9.png，水流经喷嘴没有阻力损失，入水口和喷嘴间的位差可忽略不计。

【解】取入水口处为1－1截面，喷嘴处为2－2截面间列柏努利方程：

ff92146c0c604cf9112231aecfecd7e9.png

忽略两截面间的位差，则　c3d10906421189836972bfc02c80106e.png

9184697ef20cb242c0771349430b4785.png

同理可求　　440d15d4cf2cbb0bca1ce081d823eb42.png

d15368f2b08550d94a11f2496c8f10aa.png

喷嘴处的真空度为　101.3－40.5＝60.8kPa

28.在内径为250mm的管道上安装一个开孔直径79mm的孔板，管道中流动的是20℃的水，若水的体积流量是70.6m3/h，问U形管压差计的液面高度差是多少？U形管压差计指示液密度为13600 kg/eca9f5aad605d6994fa5bb9b65b283f9.png，孔流系数Caa090a3f4d516fccf4f06da697154f0a.png=0.625。

【解】水流过孔板孔口处的流速为：

59e8238ff86f7a22f08600271be664d1.png

由孔板流量计计算式

25fdd25081f74003a73d56f26dd474e7.png

　　　　　　　　　　＝0.166m

29.转子流量计的转子由硬铝（比重为2.7）制成，测量101.3kPa和25℃的空气流量，在读数为R时空气流量为300eca9f5aad605d6994fa5bb9b65b283f9.png/h。

（1）转子形状不变，改用不锈钢（比重8.2）制成，若读数不变，相应的空气流量为多少？

（2）若为不锈钢转子，测量101.3kPa和25℃的二氧化硫气体，求读数为R时的二氧化硫流量。

（3）若（2）中二氧化硫为202.6kPa，求读数为R时的二氧化硫流量。

【解】（1）转子形状不变，改用不锈钢（比重8.2）读数不变。

　　　　　　　V＝C7b48b0dcfb09ad8fcd2d66947067ac26.pngA7b48b0dcfb09ad8fcd2d66947067ac26.png38629c1820da7622100b236ea25df5a7.png

读数不变时，环隙截面积A7b48b0dcfb09ad8fcd2d66947067ac26.png不变，同时C7b24140e717a76d3c636e72f952d86b2.png1af91fb19f8f622aa9ec8998986a6bf9.png及8d70226d0863d03e3e021a01cccd2022.png均不变，则

　　　　　　b56cdb4854753f7fe889fdba9932835b.png

　　　　ffeedbb4ff6538039e38a3f6ce686064.png

（2）不锈钢转子，测量101.3kPa和2540e661bdc795a85d62acba46d12d2e19.png的二氧化硫，读数不变二氧化硫的密度为：

　　　　c5b58e8cb380f1afe8d5cc3c4ea71454.png＝bc09f1a68c9864d8889f5e87ebd9f5d4.png

空气密度为：

　　　　21d9f42beb336c8a723c337f68a8deee.png044d6b57ebcae39d05e003f0aabc4131.png

因accbe344a6bb61991ff3fab40389d9eb.png及50f07aa215bc280691daceee15c9cb4d.png皆不变，故

　　　　50f07aa215bc280691daceee15c9cb4d.png

346ba2d10d2162a2e9743658baf5f8e8.png

（3）若（2）二氧化硫为202.6kPa,则二氧化硫的密度be00aabf8db4fad2a295f70dcab44b1a.png为

　　a262a5f04b75a3c397cf30307f01045f.png

　　d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngc399f424f6dea3f6f78cea8f835f4ce9.png

30.试计算以120kg/h的流量流过的氢气导管的直径。已知管路长1000m,所允许的压强降△p=110毫米水柱，氢气的密度ρ=0.0825kg/eca9f5aad605d6994fa5bb9b65b283f9.png,沿程阻力系数λ=0.03.

【解】　氢气导管长10006f8f57715090da2632453988d9a1501b.png其所消耗的压强降b22e1e9df14dbc63e9221a437c3784b5.png毫米水柱，此压强降主要用来克服直管阻力，即

　　　　a1344a8083621abc0b1d3b69752e5818.png

而　　1cff63dbaa86b24024407739d337a7b2.png

　　　　b22e1e9df14dbc63e9221a437c3784b5.png毫米水柱＝3058f5027a3a9af6200460a02aeddd5b.png

　　　　a3e6f6de965c05fb397af5f807af34c7.png

故　　592b6f2db3733e08895e0e72fd17ad6c.png

31.现测得某离心泵的排水量为12eca9f5aad605d6994fa5bb9b65b283f9.png/h,泵出口处压强表的读数为3.8公斤（力）/厘米272ba5cfd2789d670bc65e40587345c3.png（表压），泵入口处真空表的读数为200mm汞柱，轴功率为2.3kW。压强表和真空表两测压点的垂直距离为0.4m。吸入管和压出管的内径分别为68mm和41mm.。大气压强为760毫米汞柱。试求此泵产生的压头及其效率。

【解】泵产生的压头可由下式计算

　　a03e656857ce1cb20bef18f406a587f4.png

由题意：b39b41527853346b293fcfacb8940305.png　　594d9c7fd4c6809cd4941e1fa0ca8147.png

　　6fcc537a13f6e9eadb8138e815431282.png

　　0e9d005da0f68d62367ba9a6d03ab19c.png

将上述数据代入

　　aa7ba4bc339655dcd061c588cc6a5374.png

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