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高中数学第二章几个重要的不等式2

______年______月______日

____________________部门

课后篇巩固探究

A组

1.若x>-1,x≠0,则下列不等式正确的是(　　)

A.(1+x)3<1+3x B.(1+x<1+x

C.(1+x)-2<1-2x D.(1+x<1+x

解析:由贝努利不等式可得D项正确.

答案:D

2.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取(　　)

A.2 B.3

C.5 D.6

答案:C

3.某同学回答“用数学归纳法证明的过程如下:

证明:(1)当n=1时,显然命题是正确的;

(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时有则当n=k+1时,=(k+1)+1,所以当n=k+1时命题是正确的.由(1)(2)可知对于n∈N+,命题都是正确的.以上证法是错误的,错误在于(　　)

A.从n=k到n=k+1的推理过程没有使用归纳假设

B.归纳假设的写法不正确

C.从n=k到n=k+1的推理不严密

D.当n=1时,验证过程不具体

解析:证明<(k+1)+1时进行了一般意义的放大.而没有使用归纳假设

答案:A

4.已知f(n)=1++…+(n∈N+),用数学归纳法证明f(2n)>时,f(2k+1)-f(2k)等于　　　　　. 

解析:f(2k+1)-f(2k)=1++…++…+.

答案:+…+

5.已知x>0,观察下列几个不等式:x+≥2;x+≥3;x+≥4;x+≥5…归纳猜想一般的不等式为　　　　　　　　　　　　　　　. 

答案:x+≥n+1(n为正整数)

6.用数学归纳法证明(a,b是非负实数,n∈N+)时,假设当n=k时不等式(*)成立,再推证当n=k+1时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘　　　　　. 

解析:对比n=k与n=k+1时的结论可知,两边只需同乘即可.

答案:

7.用数学归纳法证明不等式1++…+<2(n∈N+).

证明(1)当n=1时,左边=1,右边=2.左边<右边,不等式成立.

(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,不等式成立,即1++…+<2.

则当n=k+1时,1++…+<2=2.

所以当n=k+1时,不等式成立.

由(1)(2)可知,原不等式对任意n∈N+都成立.

8.导学号35664046已知数列{an}满足:a1=,且an=(n≥2,n∈N+).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求证:对一切正整数n,不等式a1a2…an<2n!恒成立.

(1)解将条件变为1-,

因此数列为一个等比数列,其首项为1-,公比为,从而1-,

因此得an=(n≥1,n∈N+). ①

(2)证明由①得

a1a2…an=.

为证明a1a2…an<2n!,只要证明当n∈N+时,有×…×. ②

显然,左端每个因式皆为正数,先证明对n∈N+,有

×…×

≥1-. ③

下面用数学归纳法证明③式:

(ⅰ)当n=1时,显然③式成立,

(ⅱ)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,③式成立,

即×…×≥

1-,

则当n=k+1时,

×…×

≥

=1-

≥1-.

即当n=k+1时,③式也成立.

故对一切n∈N+,③式都成立.

利用③,得×…×

≥1-

=1-

=1-.

故原不等式成立.

B组

1.用数学归纳法证明+…+(n≥n0,且n∈N+),则n的最小值n0为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:当n=1时,左边==1,右边=10=1,1>1不成立;当n=2时,左边==2+1=3,右边=,3>,成立;当n=3时,左边==3+3+1=7,右边=31=3,7>3,成立.所以n的最小值n0为2.

答案:B

2.已知a1=1,an+1>an,且(an+1-an)2-2(an+1+an)+1=0,先计算a2,a3,再猜想an等于(　　)

A.n B.n2

C.n3 D.

答案:B

3.用数学归纳法证明1++…+且n>1),第一步要证的不等式是　　　　　　　　　. 

解析:当n=2时,左边=1+=1+,右边=2,故填1+<2.

答案:1+<2

4.设a,b均为正实数,n∈N+,已知M=(a+b)n,N=an+nan-1b,则M,N的大小关系为　　　　　. 

解析:由贝努利不等式(1+x)n>1+nx(x>-1,且x≠0,n>1,n∈N+),知当n>1时,令x=,则>1+n·,所以>1+n·,

即(a+b)n>an+nan-1b.

当n=1时,M=N.故M≥N.

答案:M≥N

5.导学号35664047已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=-1,且an>0,n∈N+.

(1)求a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式;

(2)证明通项公式的正确性.

(1)解当n=1时,由已知得a1=-1,

即+2a1-2=0.

∴a1=-1或a1=--1(舍去).

当n=2时,由已知得a1+a2=-1,

将a1=-1代入并整理得+2a2-2=0.

∴a2=或a2=-(舍去).

同理可得a3=.

由a1,a2,a3,猜想an=(n∈N+).

(2)证明①由(1)的计算过程知,当n=1,2,3时,通项公式成立.

②假设当n=k(k>3,k∈N+)时,通项公式成立,即ak=.

则当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=,将ak=代入上式并整理得+2ak+1-2=0,解得ak+1=或ak+1=-(舍去).

即当n=k+1时,通项公式也成立.

由①②可知,对所有n∈N+,an=都成立.

6.导学号35664048设数列{an}满足a1=0,an+1=c+1-c,n∈N+,其中c为实数.

(1)证明:an∈[0,1]对任意n∈N+成立的充分必要条件是c∈[0,1];

(2)设0证明:an≥1-(3c)n-1,n∈N+.

证明(1)必要性:∵a1=0,∴a2=1-c.

∵a2∈[0,1],∴0≤1-c≤1,即c∈[0,1].

充分性:设c∈[0,1],对n∈N+用数学归纳法证明an∈[0,1].

当n=1时,a1=0∈[0,1].

假设ak∈[0,1](k∈N+,k≥1),

则ak+1=c+1-c≤c+1-c=1,且ak+1=c+1-c≥1-c≥0,故ak+1∈[0,1].

由数学归纳法,知an∈[0,1]对所有的n∈N+成立.

综上可得,an∈[0,1]对任意n∈N+成立的充分必要条件是c∈[0,1].

(2)设0当n=1时,a1=0,结论成立.

当n≥2时,∵an=c+1-c,

∴1-an=c(1-)=c(1-an-1)(1+an-1+).

∵0由(1)知an-1∈[0,1],

∴1+an-1+≤3,且1-an-1≥0.

∴1-an≤3c(1-an-1).

∴1-an≤3c(1-an-1)≤(3c)2(1-an-2)≤…≤(3c)n-1(1-a1)=(3c)n-1.∴an≥1-(3c)n-1(n∈N+).