一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)

1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（ ）。

A、-9　 　 B、-6　　 C、9　　 D、6

2．已知 =(2,3), b=(-4,7)，则 在b上的投影为（ ）。

A、 　　 B、 　 　C、 　 　D、

3．设点A（1，2），B（3，5），将向量 按向量 =（-1，-1）平移后得向量 为（ ）。

A、（2，3）　　 B、（1，2）　　 C、（3，4）　　 D、（4，7）

4．若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ΔABC是（ ）。

A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形

5．已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（ ）。

A、 　　 B、 　　 C、 　　 D、

6．已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段 所成的比为2，则（ ）。

A、 　　 B、

C、 　　 D、

7．O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件 ，则点O是ΔABC的（ ）。

A、重心　　 B、垂心　　 C、内心　　 D、外心

8．设 、b、 均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题：

(1)( ·b)2= 2·b2　　(2)| +b|≥| -b|　 (3)| +b|2=( +b)2

(4)(b ) -( a)b与 不一定垂直。其中真命题的个数是（ ）。

A、1　　 B、2　　 C、3　　 D、4

9．在ΔABC中，A=60°，b=1， ，则 等于（ ）。

A、 　　 B、 　 C、 　　D、

10．设 、b不共线，则关于x的方程 x2+bx+ =0的解的情况是（ ）。

A、至少有一个实数解　　 B、至多只有一个实数解

C、至多有两个实数解　　 D、可能有无数个实数解

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）.

11．在等腰直角三角形ABC中，斜边AC=，则=_________

12．已知ABCDEF为正六边形，且=a， =b，则用a，b表示为______.

13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为 的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。

14．如果向量 与b的夹角为θ，那么我们称 ×b为向量 与b的“向量积”， ×b是一个向量，它的长度| ×b|=| ||b|sinθ，如果| |=3, |b|=2, ·b=-2，则| ×b|=______。

三、解答题：（本大题共4小题，满分44分.）

15．已知向量 = , 求向量b，使|b|=2| |，并且 与b的夹角为 。（10分）

16、已知平面上3个向量 、b、 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120。　(1) 求证：( -b)⊥ ;
(2)若|k +b+ |>1 (k∈R), 求k的取值范围。（12分）

17．（本小题满分12分)

已知e1，e2是两个不共线的向量， =e1+e2， =-λe1-8e2, =3e1-3e2,若A、B、D三点在同一条直线上，求实数λ的值.

18．某人在静水中游泳，速度为4公里/小时，他在水流速度为4公里/小时的河中游泳.

(1)若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？

(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？

平面向量测试题

参考答案
　　一、选择题：
　　1. D. 设R(x, -9), 则由 得(x+5)(-8)=-11×8, x=6.
　　2. C. ∵|b| , ∴ | | = .
　　3. A. 平移后所得向量与原向量相等。
　　4．A．由(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 得a2=b2+c2-bc, A=60°.
　　sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC，得cosBsinC=0, ∴ΔABC是直角三角形。
　　5．D． .
　　6. B
　　7. B. 由 ，得OB⊥CA，同理OA⊥BC，∴O是ΔABC的垂心。
　　8．A．(1)(2)(4)均错。
　　9．B．由 ，得c=4, 又a2=b2+c2-2bccosA=13,
　　∴ .

10．B．- =x2 +xb，根据平面向量基本定理，有且仅有一对实数λ和μ，使- =λ +μb。故λ=x2, 且μ=x,
　　∴λ=μ2，故原方程至多有一个实数解。
二、填空题
11.
12..　 13. 与水流方向成135°角。
　 14． 。 ·b=| ||b|cosθ,
　　∴ ,　 | ×b|=| ||b|sin

三、解答题

15．由题设 , 设 b= , 则由 ,得 .　　 ∴ ,
　　解得 sinα=1或 。

　　当sinα=1时，cosα=0；当 时， 。

　　故所求的向量 或 。

16．(1) ∵向量 、b、 的模均为1，且它们之间的夹角均为120°。

　　∴ ,　 ∴( -b)⊥ .

　　(2) ∵|k +b+ |>1,　　 ∴ |k +b+ |2>1,

　　∴k2 2+b2+ 2+2k ·b+2k · +2b· >1,

　　∵ ,

　　∴k2-2k>0,　 ∴k<0或k>2。

17．解法一：∵A、B、D三点共线 xkb1.com

∴与共线，∴存在实数k,使=k·

又∵

=(λ+4)e1+6e2.

∴有e1+e2=k(λ+4)e1+6ke2

∴有 ∴

解法二：∵A、B、D三点共线

∴与共线，

∴存在实数m,使

又∵=(3+λ)e1+5e2

∴(3+λ)me1+5me2=e1+e2

∴有 ∴

18、解：(1)如图①，设人游泳的速度为，水流的速度为，以、为邻边作 OACB，则此人的实际速度为新课标第一网

图① 图②

由勾股定理知||=8

且在Rt△ACO中，∠COA=60°,故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8公里/小时.

(2)如图②,设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为，在Rt△AOD中，.

∴∠DAO=arccos.

故此人沿与河岸成arccos的夹角逆着水流方向前进，实际前进的速度大小为4公里/小时.

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