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龙源期刊网http://www.qikan.com.cn映射概念的教学研究
作者：优丽吐孜·阿力木阿力木·阿不力克木来源：《理科爱好者(教育教学版》2019年第02期
【摘要】集合论是现代数学的基础，集合概念是很抽象的，映射概念是研究集合的有力工具和重要的方法。本文用較通俗的方法介绍了映射﹑满射﹑单射﹑恒等映射、常值映射、一一映射﹑复合映射﹑逆映射等概念，给中学数学师生提供参考。
【关键词】映射；满射与单身；一一映射；恒等映射与常值映射；复合映射与逆映射【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】1671-8437（2019）10-0178-02在我国高中数学教科书中关于映射的概念介绍的很少。下面将用较通俗的方法介绍映射﹑满射﹑单身﹑恒等映射、常值映射、一一映射﹑复合映射﹑逆映射等概念，给中学数学师生提供参考。1映射的概念
定义1设A﹑B是两个集合，若存在某种对应法则，使得A中的每一个元素，都与集合B中的唯一的元素b相对应，则叫做从集合A到集合B的映射[1]。记作：A→B（或AB）。若集合A的元素，在下映射到集合B的元素b，b就叫做在映射下的象。记作。而把集合A中所有以b为象的元素构成的集合{|，}，叫做元素b的原象。记作，即={|，}，显然它是集合A的子集。
集合A叫做映射的定义域，集合A的所有元素的象构成的集合，叫做映射的值域。记作，即=。
由映射定义，可理解为下述三点。（1）集合A中每一个元素必有唯一的象；
（2）对于集合A中的不同元素，在集合B中可以有相同的象；（3）允许集合B中元素没有原象。2恒等映射与映射相等2.1恒等映射

龙源期刊网http://www.qikan.com.cn定义2设：A→B是映射，当B=A时，则叫做从A到A的映射，即是由A到其自身的映射，可简称映射是集合A上的映射[2]。记作：A→A。
例1设A={1，2，3}，是A上的整除关系，即={（1，1），（2，2），（3，3）}，（1整除1，2整除2，3整除3），则是集合A上的映射，如图1。
定义3设是集合A上的映射，当时，则称为集合A上的恒等（同）映射，即恒等映射对每个元素来说其象均与原象相同。2.2映射相等
定义4设与是集合A到集合B的映射，两个映射与被称为相等的，就是映射与的定义域相等，是指对于A中的任一个元素，其对应的象均相等，即：3满射与单射3.1满射
定义5设：A→B是集合A到集合B的射射，若成立，则称为集合A到集合B的满（全）
射[3]。即集合B中的每一个元素都至少是集合A中的某一元素的象。例2判断下列两个映射是否满射？答：图2是满射，图3不是满射。3.2单射
定义6设：A→B是集合A到集合B的映射，对于集合A中任意两个元素，当时，都有，则称为集合A到集合B的单射（单一映射）。即集合A中的不同元素在集合B中的象也不同。
4一一映射（双射）与常值映射4.1一一映射（双射）
定义7设A﹑B是集合，：A→B是集合A到集合B的映射，如果既是单射又是满射，则称为集合A到集合B的一一映射（或称双射）。

龙源期刊网http://www.qikan.com.cn一一映射必须满足如下三个条件：
（1）集合A中的每一个元素，都能在集合B中找到一个确定的元素b，作为它的象。即象是唯一的。
（2）集合A中不同的元素，在集合B中有不同的象，也就是若，则必有。即集合B中的每一个元素的原象也是唯一的。
（3）集合B中任意一个元素b，都在集合A中有原象，即原象必须是存在。
小结：映射、单射、满射、一一映射四者的从属关系。如果把它们分别看作集合，那么四者的从属关系：4.2常值映射
定义8设A﹑B是集合，：A→B是集合A到集合B的映射。若对于一切，都有，而是B中的一个固定的元素，即单元素集），则称映射为常值映射。如设，，作映射则映射是一个常值映射。因为对于一切，都有。5复合映射与逆映射5.1复合映射
定义9设A、B、C是集合，：A→B是集合A到集合B的映射，：B→C是集合B到集合C的映射。对于A中的任何一个元素，在映射下，在B中有一个元素与对应，即→；在映射下，在C中有一个元素与b对应，即→，从而对A中的每一个元素，在