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    《第13章 轴对称》单元测试题-

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    《第13章 轴对称》单元测试题
    一．选择题（共10小题,30分）
    1．下列图形中为轴对称图形的是（ ）

    2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°，则∠B＝（ ）

    A．25° B．45° C．30° D．20°
    3．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，若BC＝10，AC＝6，则△ACD的周长是（ ）

    A．14 B．16 C．18 D．20
    4．在平面直角坐标系中，点P（2，1）向右平移3个单位得到点P1，点P1关于x轴的对称点是点P2，则点P2的坐标是（ ） A．（5，1）
    B．（5，﹣1）
    C．（﹣5，1）
    D．（﹣5，﹣1）
    5．已知等腰三角形两边长分别为6cm、2cm，则这个三角形的周长是（ ） A．14cm
    B．10cm
    C．14cm或10cm D．12cm
    6．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）


    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
    7．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，∠AEB＝80°，那么∠EBC等于（ ） A．15°
    B．25°
    C．15°或75°
    D．25°或85°
    8．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（ ）

    A．15° B．30° C．45° D．60°
    9．下列三角形，不一定是等边三角形的是（ ） A．有两个角等于60°的三角形 B．有一个外角等于120°的等腰三角形 C．三个角都相等的三角形

    D．边上的高也是这边的中线的三角形
    10．如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）

    A．6 B．8 C．9 D．10
    二．填空题（共8小题，24分）
    11．如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝


    12．如图，△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且BC＝8，AC＝6，则△ACD的周长为 ．

    13．已知点P关于y轴的对称点P1的坐标是（﹣1，2），则点P的坐标是 ． 14．等腰三角形ABC中，∠A＝110°，则∠B＝ °．
    15．等腰三角形的一个底角比顶角大30°，那么顶角度数为 ． 16．如图：∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD，则∠ECD等于 °．

    17．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB．若BE⊥AC，AF⊥BC，垂足分别为点E，F，连接EF，则∠EFC＝ ．

    18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．


    三．解答题（共7小题，66分）
    19．如图，直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和PC相等吗？请说明理由．

    20．如图，在△ABC中，∠C＝90，DE是AB的垂直平分线，∠CAE＝∠B+30°，求∠AEB的度数．

    21．如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）． （1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； （2）写出点C1的坐标； （3）求△ABC的面积．


    22．已知等腰三角形△ABC的一边长为5，周长为22．求△ABC另两边的长．
    23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，求证：AE＝AF．

    24．如图，△ABC中，点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长．

    25．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD垂直AB于D，P为BC上的任意一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F．
    ①若P为BC边中点，则PE，PF，CD三条线段有何数量关系（写出推理过程）？ ②若P为线段BC上任意一点，则①中关系还成立吗？
    则PE，（请直接写出）．③若P为直线BC上任意一点，PF，CD三条线段间有何数量关系




    《第13章 轴对称》单元测试题答案
    1． D．2． B．3． B．4． B．5． A．6． C．7． C．8． A．9． D．10． C． 11． 5．12． 14．13． （1，2）．14． 35．15． 40°．16． 45．17． 45°．18． 9.6．19．解：PA＝PC．
    理由：∵直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线， ∴PA＝PB，PC＝PB， ∴PA＝PC．

    20．解：已知DE垂直且平分AB⇒AE＝BE⇒∠EAB＝∠B 又因为∠CAE＝∠B+30°
    故∠CAE＝∠B+30°＝90°﹣2∠B⇒∠B＝20° ∴∠AEB＝180°﹣20°×2＝140°． 21．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；

    （2）点C1的坐标为（4，3）；
    （3）△ABC的面积＝3×5﹣×3×1﹣×3×2﹣×5×2＝．

    22．解：∵△ABC是等腰三角形， ∴不妨设AB＝AC， 又∵一边长为5， ①设 AB＝AC＝5， ∵△ABC 的周长为 22， ∴BC＝22﹣5﹣5＝12； ∵5+5＜12， ∴不成立（舍）； ②设 BC＝5，
    ∵△ABC 的周长为 22，
    ∴AB＝AC＝（22﹣5）÷2＝8.5， ∵8.5+5＞8.5，符合题意，
    ∴△ABC 另两边长分别为 8.5，8.5． 23．解：∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF，
    ∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
    ∴∠ABF+∠AFB＝∠CBF+∠BED＝90°， ∴∠AFB＝∠BED， ∵∠AEF＝∠BED， ∴∠AFE＝∠AEF， ∴AE＝AF．
    24．解：∵点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点， ∴∠1＝∠3， ∵DE∥BC， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴DB＝DO， 同理可得EO＝CE，
    ∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝AD+DO+AE+OE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC， ∵△ABC的周长为15，

    ∴AB+AC+BC＝15， 而BC的长为6， ∴AB+AC＝9， ∴△ADE的周长为9．

    25．解：（1）CD＝PE+PF， 理由：如图1，连接PA，
    ∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F
    ∵S△ABC＝AB×CD，S△PAB＝AB×PE，S△PAC＝AC×PF， 又∵S△ABC＝S△PAB+S△PAC
    ∴AB×CD＝AB×PE+AC×PF， ∵AB＝AC ∴CD＝PE+PF； （2）①中关系还成立， 理由：连接PA，
    ∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F
    ∵S△ABC＝AB×CD，S△PAB＝AB×PE，S△PAC＝AC×PF， 又∵S△ABC＝S△PAB+S△PAC
    ∴AB×CD＝AB×PE+AC×PF， ∵AB＝AC ∴CD＝PE+PF；
    （3）结论：PE﹣PF＝CD或PF﹣PE＝CD， 如图2，连接PA，
    ∵CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F
    ∵S△ABC＝AB×CD，S△PAB＝AB×PE，S△PAC＝AC×PF，

    又∵S△ABC＝S△PAC﹣S△PAB
    ∴AB×CD＝AC×PF+AB×PE， ∵AB＝AC， ∴CD＝PF﹣PE；
    如图3，过点C作CG⊥PE于G， ∵PE⊥AB，CD⊥AB，
    ∴∠CDE＝∠DEG＝∠EGC＝90°． ∴四边形CGED为矩形． ∴CD＝GE，GC∥AB． ∴∠GCP＝∠B． ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB．
    ∴∠FCP＝∠ACB＝∠B＝∠GCP． 在△PFC和△PGC中，∴△PFC≌△PGC（AAS）， ∴PF＝PG．
    ∴PE﹣PF＝PE﹣PG＝GE＝CD；
    ，






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