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一、 位值原理

当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。希望同学们在做题中认真体会。

1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

2.位值原理的表达形式：以六位数为例：word/media/image3.gif a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。

3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式

（2）利用十进制的展开形式，列等式解答

（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答

二、 数的进制

我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。

二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。

注意：对于任意自然数n，我们有n0=1。

n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

进制间的转换：如右图所示。

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【例 1】 某三位数word/media/image6.gif和它的反序数word/media/image7.gif的差被99除，商等于______与______的差；

【例 2】 把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？

【例 3】 有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？

【例 4】 在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍。求出所有这样的三位数。

【例 5】 已知word/media/image8.gif.

【例 6】 有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数．将这两个三位数和一个四位数相加等于word/media/image9.gif．求原来的两位数．

【例 7】 一个六位数word/media/image10.gif，如果满足word/media/image11.gif，则称word/media/image10.gif为“迎春数”(例如word/media/image12.gifword/media/image13.gif，则102564就是“迎春数”)．请你求出所有“迎春数”的总和．

【例 8】 记四位数word/media/image14.gif为word/media/image15.gif，由它的四个数字a,b,c,d组成的最小的四位数记为word/media/image16.gif，如果word/media/image17.gif，那么这样的四位数word/media/image15.gif共有_______个．

【例 9】 将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数(word/media/image18.gif)．将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000～4000之间．求这24个四位数中最大的那个．

【例 10】 ①word/media/image19.gif________；

②word/media/image20.gif；

③word/media/image21.gif；

④word/media/image22.gif________；

⑤ 若word/media/image23.gif，则word/media/image24.gif________．

【例 11】 在几进制中有word/media/image25.gif？

【例 12】 将二进制数(11010.11)2 化为十进制数为多少？

【例 13】 现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？

【例 14】 在6进制中有三位数word/media/image6.gif，化为9进制为word/media/image7.gif，求这个三位数在十进制中为多少?

【例 15】 试求(2word/media/image26.gif-1)除以992的余数是多少?

【例 16】 已知正整数word/media/image27.gif的八进制表示为word/media/image28.gif，那么在十进制下，word/media/image27.gif除以7的余数与word/media/image27.gif除以9的余数之和是多少？

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【作业1】 一本书，已看了30页，剩下的准备8天看完，如果每天看的页数相等，3天看的页数恰好为全书的5/22，这本书共有多少页？

【作业2】 从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？

【作业3】 a，b，c分别是word/media/image30.gif中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数，如果其中五个三位数

之和是2234，那么另一个三位数是几？

【作业4】 一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑上的数是原来两位数字交换后的数。又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。

【作业5】 某八位数形如word/media/image31.gif，它与3的乘积形如word/media/image32.gif，则七位数word/media/image33.gif应是多少？

【作业6】 设六位数word/media/image10.gif满足word/media/image34.gif，请写出这样的六位数．

【作业7】 在7进制中有三位数word/media/image6.gif，化为9进制为word/media/image7.gif，求这个三位数在十进制中为多少？

【作业8】 计算word/media/image35.gif除以26的余数．

【作业9】 计算word/media/image36.gif除以7的余数．