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时间：2023-11-13 08:20:20 下载该word文档
侧面积公式推导
-CAL-FENGHAI.-(YICAI-CompanyOne1
定积分在几何上的应用3——求旋转体的侧面积
设旋转体是曲线y＝f(x(≥0，a≤x≤b，直线x＝a，x＝b绕x轴旋转而生成．任取一微区间[x，x＋dx]，如图1．有P(x，y，Q(x＋dx，y＋Δy，由弧微分中的讨论知：
弧长＝Δs＝ds＋o(dx①
线段＝＋o(dx＝ds＋o(dx②
因为绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积是侧面积量A的增量ΔA，线段PQ 绕 的圆台的侧面积 x轴旋转生成的面积恰好是上、下底面半径为y和y＋Δy，侧高为Δ∑．由圆台侧面积公式可知后者等于
Δ∑＝π(y＋y＋Δy
＝π[2y＋dy＋o(dx][ds＋o(dx]＝2πyds＋o(dx，
显然ΔA＝Δ∑＋o(dx，故有
从而旋转体的侧面积为
相应地也可写出曲线在参数坐标和极坐标下的侧面积公式，这里不列出了．例18求抛物线y2＝2px(0≤x≤a绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积．
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