2016-2017学年福建省宁德市民族中学、柘荣一中、福安二中、市高级中学、福鼎六中等五校联考高二（上）期中数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂．

1．数列1，﹣4，7，﹣10，13，…，的通项公式an为（　　）

A．2n﹣1 B．﹣3n+2 C．（﹣1）n+1（3n﹣2） D．（﹣1）n+13n﹣2

2．在等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=8，则a7=（　　）

A．3 B．6 C．7 D．8

3．在△ABC中，a=1，b=4，C=60°，则边长c=（　　）

A．13 B． C． D．21

4．若a＜b＜0，则（　　）

A．0＜＜1 B．ab＜b2 C．＞ D．＜

5．在△ABC中，，则这个三角形一定是（　　）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角 D．等腰或直角三角形

6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=5，b=4，cosC=，则△ABC的面积是（　　）

A．16 B．6 C．4 D．8

7．等差数列{an}中，已知前15项的和S15=45，则a8等于 （　　）

A． B．6 C． D．3

8．在△ABC中，已知a=2，b=6，A=30°，则B=（　　）

A．60° B．120° C．120°或60° D．45°

9．在等比数列{an}中，已知a1=3，公比q=2，则a2和a8的等比中项为（　　）

A．48 B．±48 C．96 D．±96

10．不等式的解集为 （　　）

A．{x|x＜﹣2或x＞3} B．{x|x＜﹣3或x＞2} C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|﹣3＜x＜2}

11．设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知在Sn中有S16＜0，S17＞0，那么Sn中最小的是（　　）

A．S6 B．S7 C．S8 D．S9

12．已知x＞0，y＞0， +=1，不等式x+y≥2m﹣1恒成立，则m的取值范围（　　）

A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．（﹣∞，] D．（﹣∞，]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣3y的最大值为　　

14．已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+2n，则数列的通项an=　　．

15．如图，一船以每小时20km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔间的距离为　　km．

16．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则S的最小值是　　．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．已知等差数列{an}满足a1+a2=3，a4﹣a3=1．设等比数列{bn}且b2=a4，b3=a8

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设cn=an+bn，求数列{cn}前n项的和Sn．

18．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD=5，AB=7，BD=8，∠BCD=135°．

（1）求∠BDA的大小

（2）求BC的长．

19．已知f（x）=x2﹣3ax+2a2．

（1）若实数a=1时，求不等式f（x）≤0的解集；

（2）求不等式f（x）＜0的解集．

20．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若b=6，a+c=8，求△ABC的面积．

21．某农户建造一座占地面积为36m2的背面靠墙的矩形简易鸡舍，由于地理位置的限制，鸡舍侧面的长度x不得超过7m，墙高为2m，鸡舍正面的造价为40元/m2，鸡舍侧面的造价为20元/m2，地面及其他费用合计为1800元．

（1）把鸡舍总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域．

（2）当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？

22．设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=nan﹣n（n﹣1）．

（1）求证：数列{an}为等差数列，并分别求出an的表达式；

（2）设数列的前n项和为Pn，求证：Pn＜；

（3）设Cn=，Tn=C1+C2+…+Cn，试比较Tn与的大小．

2016-2017学年福建省宁德市民族中学、柘荣一中、福安二中、市高级中学、福鼎六中等五校联考高二（上）期中数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂．

1．数列1，﹣4，7，﹣10，13，…，的通项公式an为（　　）

A．2n﹣1 B．﹣3n+2 C．（﹣1）n+1（3n﹣2） D．（﹣1）n+13n﹣2

【考点】数列的概念及简单表示法．

【分析】根据前几项的特点和规律，可知数列中符号是正负交替，而绝对值为3n﹣2．

【解答】解：通过观察前几项可以发现：数列中符号是正负交替，每一项的符号为（﹣1）n+1，绝对值为3n﹣2，故通项公式an=（﹣1）n+1（3n﹣2）．

故选：C．

2．在等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=8，则a7=（　　）

A．3 B．6 C．7 D．8

【考点】等差数列的通项公式．

【分析】由题意可得a4=4，进而可得公差d=1，可得a7=a1+6d，代值计算即可．

【解答】解：∵在等差数列{an}中a1=2，a3+a5=8，

∴2a4=a3+a5=8，解得a4=4，

∴公差d==，

∴a7=a1+6d=2+4=6

故选：B．

3．在△ABC中，a=1，b=4，C=60°，则边长c=（　　）

A．13 B． C． D．21

【考点】余弦定理．

【分析】由已知利用余弦定理即可得解c的值．

【解答】解：∵a=1，b=4，C=60°，

∴由余弦定理可得：c===．

故选：B．

4．若a＜b＜0，则（　　）

A．0＜＜1 B．ab＜b2 C．＞ D．＜

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】根据已知中a＜b＜0，结合不等式的基本性质，逐一分析四个式子的正误，可得答案．

【解答】解：∵a＜b＜0，

∴0＜＜1，正确；

ab＜b2，错误；

＜＜0，错误；

0＜＜1＜，错误；

故选：A．

5．在△ABC中，，则这个三角形一定是（　　）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角 D．等腰或直角三角形

【考点】正弦定理．

【分析】由已知及余弦定理即可解得b=c，从而得解．

【解答】解：∵，

又∵cosC=，

∴=，整理可得：b2=c2，

∴解得：b=c．即三角形一定为等腰三角形．

故选：A．

6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=5，b=4，cosC=，则△ABC的面积是（　　）

A．16 B．6 C．4 D．8

【考点】正弦定理．

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，进而利用三角形面积公式即可得解．

【解答】解：∵a=5，b=4，cosC=，可得：sinC==，

∴S△ABC=absinC==8．

故选：D．

7．等差数列{an}中，已知前15项的和S15=45，则a8等于 （　　）

A． B．6 C． D．3

【考点】等差数列的前n项和．

【分析】利用等差数列与求和公式及其性质即可得出．

【解答】解：由等差数列的性质可得：S15==15a8=45，则a8=3．

故选：D．

8．在△ABC中，已知a=2，b=6，A=30°，则B=（　　）

A．60° B．120° C．120°或60° D．45°

【考点】正弦定理．

【分析】由已知利用正弦定理可求sinB的值，结合B的范围由特殊角的三角函数值即可得解．

【解答】解：∵a=2，b=6，A=30°，

∴由正弦定理可得：sinB===，

∵B∈（0°，180°），

∴B=120°或60°．

故选：C．

9．在等比数列{an}中，已知a1=3，公比q=2，则a2和a8的等比中项为（　　）

A．48 B．±48 C．96 D．±96

【考点】等比数列的通项公式．

【分析】先求出a2和a8，由此能求出a2和a8的等比中项．

【解答】解：∵在等比数列{an}中，a1=3，公比q=2，

∴a2=3×2=6，

=384，

∴a2和a8的等比中项为=±48．

故选：B．

10．不等式的解集为 （　　）

A．{x|x＜﹣2或x＞3} B．{x|x＜﹣3或x＞2} C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|﹣3＜x＜2}

【考点】其他不等式的解法．

【分析】不等式即即＞0，即（x﹣3）•（x+2）＞0，由此求得x的范围．

【解答】解：不等式，即＞0，即（x﹣3）•（x+2）＞0，

求得x＞3，或x＜﹣2，

故选：A．

11．设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知在Sn中有S16＜0，S17＞0，那么Sn中最小的是（　　）

A．S6 B．S7 C．S8 D．S9

【考点】等差数列的前n项和．

【分析】由S16＜0，S17＞0，利用求和公式及其性质可得：a8＜0，a9＞0，即可得出．

【解答】解：∵S16＜0，S17＞0，

∴=8（a8+a9）＜0， =17a9＞0，

∴a8＜0，a9＞0，

∴公差d＞0．

∴Sn中最小的是S8．

故选：C．

12．已知x＞0，y＞0， +=1，不等式x+y≥2m﹣1恒成立，则m的取值范围（　　）

A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．（﹣∞，] D．（﹣∞，]

【考点】基本不等式．

【分析】要使不等式x+y≥2m﹣1恒成立，只要求出x+y的最小值，得到关于m的不等式解之即可．

【解答】解：x＞0，y＞0， +=1，不等式x+y≥2m﹣1恒成立，

所以（x+y）（+）=10+≥10=16，

当且仅当时等号成立，所以2m﹣1≤16，解得m；

故m的取值范围是（﹣]；

故选D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣3y的最大值为　5　

【考点】简单线性规划．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．

【解答】解：由z=x﹣3y得y=，

作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：

平移直线y=，

由图象可知当直线y=经过点C时，直线y=的截距最小，

此时z最大，

由，解得，即C（2，﹣1）．

代入目标函数z=x﹣3y，

得z=2﹣3×（﹣1）=2+3=5，

故答案为：5．

14．已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+2n，则数列的通项an=　2n﹣1　．

【考点】数列的函数特性；数列的概念及简单表示法．

【分析】运用累加法求解：an﹣a1=2+22+23+2…+2n﹣1即可得到答案．

【解答】解：∵a1=1，an+1=an+2n，

∴a2﹣a1=2，

a3﹣a2=22，

…

an﹣an﹣1=2n﹣1，

相加得：an﹣a1=2+22+23+2…+2n﹣1，

an=2n﹣1，

故答案为：2n﹣1，

15．如图，一船以每小时20km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔间的距离为　　km．

【考点】解三角形的实际应用．

【分析】根据题意求出∠B与∠BAC的度数，再由AC的长，利用正弦定理即可求出BC的长

【解答】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°，

在△ABC中，根据正弦定理得：BC==海里，

则这时船与灯塔的距离为海里．

故答案为．

16．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则S的最小值是　　．

【考点】基本不等式．

【分析】先设剪成的小正三角形的边长为x表示出S的解析式，然后求S的最小值，令3﹣x=t，代入整理，利用基本不等式得到最小值．

【解答】解：设剪成的小正三角形的边长为x，则：S==，（0＜x＜1）

令3﹣x=t，t∈（2，3），

∴S===，当且仅当t=即t=2时等号成立；

故答案为：．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．已知等差数列{an}满足a1+a2=3，a4﹣a3=1．设等比数列{bn}且b2=a4，b3=a8

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设cn=an+bn，求数列{cn}前n项的和Sn．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（1）由等差数列的性质可知：，求得首项及公差，根据等差数列通项公式即可求得数列{an}的通项公式，即可求得a4，a8，根据等比数列性质求得首项及公比，即可求得数列{bn}的通项公式；

（2）由（1）可知：采用分组求和，根据等比数列及等差数列前n项和公式，即可求得数列{cn}前n项的和Sn．

【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则由，可得，…

解得：，

∴由等差数列通项公式可知：an=a1+（n﹣1）d=n，

∴数列{an}的通项公式an=n，

∴a4=4，a8=8

设等比数列{bn}的公比为q，则，

解得，

∴；

（2）∵…

∴，

=，

=，

∴数列{cn}前n项的和Sn=．

18．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD=5，AB=7，BD=8，∠BCD=135°．

（1）求∠BDA的大小

（2）求BC的长．

【考点】余弦定理；正弦定理．

【分析】（1）由已知及余弦定理可求cos∠BDA的值，结合角的范围即可得解．

（2）由（1）及已知可求∠BDC=30°，利用正弦定理即可得解BC的值．

【解答】（本题满分为12分）

解：（1）在△ABC中，AD=5，AB=7，BD=8，由余弦定理得…

=…

∴∠BDA=60°…

（2）∵AD⊥CD，

∴∠BDC=30°…

在△ABC中，由正弦定理得，…

∴． …

19．已知f（x）=x2﹣3ax+2a2．

（1）若实数a=1时，求不等式f（x）≤0的解集；

（2）求不等式f（x）＜0的解集．

【考点】一元二次不等式的解法．

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法计算即可．

（2）对系数a进行讨论，根据一元二次不等式的解法求f（x）＜0的解集．

【解答】解：（1）当a=1时，依题意得x2﹣3x+2≤0

因式分解为：（x﹣2）（x﹣1）≤0，

解得：x≥1或x≤2．

∴1≤x≤2．

不等式的解集为{x|1≤x≤2}．

（2）依题意得x2﹣3ax+2a2＜0

∴（x﹣a）（x﹣2a）＜0…

对应方程（x﹣a）（x﹣2a）=0

得x1=a，x2=2a

当a=0时，x∈∅．

当a＞0时，a＜2a，∴a＜x＜2a；

当a＜0时，a＞2a，∴2a＜x＜a；

综上所述，当a=0时，原不等式的解集为∅；

当a＞0时，原不等式的解集为{x|a＜x＜2a}；

当a＜0时，原不等式的解集为{x|2a＜x＜a}；

20．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若b=6，a+c=8，求△ABC的面积．

【考点】余弦定理；正弦定理．

【分析】（Ⅰ）由2bsinA=a，以及正弦定理，得sinB，结合B为锐角，即可得解．

（Ⅱ）由余弦定理可得：a2+c2﹣ac=36，由a+c=8，解得ac的值，根据三角形面积公式即可得解．

【解答】解：（Ⅰ）由2bsinA=a，以及正弦定理，得sinB=，

又∵B为锐角，

∴B=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

（Ⅱ）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，

∴a2+c2﹣ac=36，

∵a+c=8，

∴ac=，

∴S△ABC==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

21．某农户建造一座占地面积为36m2的背面靠墙的矩形简易鸡舍，由于地理位置的限制，鸡舍侧面的长度x不得超过7m，墙高为2m，鸡舍正面的造价为40元/m2，鸡舍侧面的造价为20元/m2，地面及其他费用合计为1800元．

（1）把鸡舍总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域．

（2）当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？

【考点】基本不等式在最值问题中的应用．

【分析】（1）分别算出房子的两个侧面积乘以20再加上房子的正面面积乘以40再加上屋顶和地面的造价即为总造价；

（2）我们可以先求房屋总造价的函数解析式，利用基本不等式即可求出函数的最小值，进而得到答案．

【解答】解：（1）…

=…

定义域是（0，7]…

（2）∵，…

当且仅当即x=6时取=…

∴y≥80×12+1800=2760…

答：当侧面长度x=6时，总造价最低为2760元．…

22．设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=nan﹣n（n﹣1）．

（1）求证：数列{an}为等差数列，并分别求出an的表达式；

（2）设数列的前n项和为Pn，求证：Pn＜；

（3）设Cn=，Tn=C1+C2+…+Cn，试比较Tn与的大小．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（1）由Sn=nan﹣n（n﹣1），Sn+1=（n+1）an+1﹣（n+1）n，两式相减整理得：an+1﹣an=2，{an}是以首项为a1=1，公差为2的等差数列，根据等差数列的通项公式即可求得数列{an}通项公式；

（2）由（1）可得，利用裂项相消法，即可求得数列的前n项和为Pn，Pn=；

（3），由“错位相减法”即可求得，利用作差法即可求得＞0，即可求得Tn＞．

【解答】解：（1）证明：∵Sn=nan﹣n（n﹣1）

∴Sn+1=（n+1）an+1﹣（n+1）n…

∴an+1=Sn+1﹣Sn=（n+1）an+1﹣nan﹣2n…

∴nan+1﹣nan﹣2n=0

∴an+1﹣an=2，

∴{an}是以首项为a1=1，公差为2的等差数列 …

由等差数列的通项公式可知：an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，

数列{an}通项公式an=2n﹣1；…

（2）证明：由（1）可得，

…

=…

（3）∴，

=，

两式相减得…

=，

=，

=，

=，

∴…

∴…

∵n∈N*，

∴2n＞1，

∴，

∴…

2016年12月3日