____第29课__三角函数的最值问题____

1. 会通过三角恒等变形、利用三角函数的有界性、结合三角函数的图象，求三角函数的最值和值域．

2. 掌握求三角函数最值的常见方法，能运用三角函数最值解决一些实际问题.

1. 阅读：必修4第24～33页、第103～116页、第119～122页．

2. 解悟：①正弦、余弦、正切函数的图象和性质是什么？②三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最值及对应条件；③两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么？辅助角公式是否熟练？④二倍角公式是什么？由倍角公式得到的降幂扩角公式是什么？必修4第123页练习第4题怎么解？

3. 践习：在教材空白处，完成必修4第131页复习题第9、10、16题.

　基础诊断　

1. 函数f(x)＝sinx，x∈的值域为__．

2. 函数f(x)＝sinx－cos的值域为__[－，]__．

解析：因为f(x)＝sinx－cos(x＋)＝sinx－cosx＋sinx＝sinx－cosx＝sin(x－)，所以函数f(x)＝sinx－cos(x＋)的值域为[－，]．

3. 若函数f(x)＝(1＋tanx)cosx，0≤x<，则f(x)的最大值为__2__．

解析：f(x)＝(1＋tanx)cosx＝cosx＋sinx＝2sin.因为0≤x<，所以≤x＋<，所以sin∈，

所以当sin＝1时，f(x)有最大值2.

4. 函数y＝2sin2x－3sin2x的最大值是＋1．

　范例导航　

考向❶ 形如y＝asin2x＋bcosx＋c的三角函数的最值

　例1　已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.

(1) 求f的值；

(2) 求f(x)的最大值和最小值．

解析：(1) f＝2cos＋sin2－4cos＝－1＋－2＝－.

(2) f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx

＝3cos2x－4cosx－1

＝3－，x∈R.

因为cosx∈[－1，1]，

所以当cosx＝－1时，f(x)取最大值6；

当cosx＝时，f(x)取最小值－.

已知sin＝，A∈.

(1) 求cosA的值；

(2) 求函数f(x)＝cos2x＋sinAsinx的值域．

解析：(1) 因为<A<，且sin＝，

所以<A＋<，cos＝－，

所以cosA＝cos[(A＋)－]

＝coscos＋sinsin

＝－×＋×

＝.

(2) 由(1)可得sinA＝，

所以f(x)＝cos2x＋sinAsinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2＋，x∈R.

因为sinx∈[－1，1]，

所以当sinx＝时，f(x)取最大值；

当sinx＝－1时，f(x)取最小值－3.

所以函数f(x)的值域为.

考向❷ 形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的三角函数的最值

　例2　已知函数f(x)＝2cosxsin－sin2x＋sinxcosx＋1.

(1) 求当函数f(x)取得最大值时，x的取值集合；

(2) 当x∈时，求f(x)的值域．

解析：(1) 因为f(x)＝2cosxsin－sin2x＋sinxcosx＋1

＝2cosx－sin2x＋sinxcosx＋1

＝2cosx(sinx＋cosx)－sin2x＋sinx·cosx＋1　

＝2sinxcosx＋cos2x－sin2x＋1

＝sin2x＋cos2x＋1

＝2(sin2x＋cos2x)＋1

＝2sin＋1.

由2x＋＝2kπ＋，k∈Z，可得x＝kπ＋，k∈Z，

所以函数f(x)取得最大值时，x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．

(2) 由x∈，得2x＋∈，

所以≤sin(2x＋)≤1，

所以＋1≤f(x)≤3，

故f(x)的值域为[＋1，3]．

【注】 对于三角函数最值问题，通常将表达式化为形如y＝Af(ωx＋φ)＋B的形式，确定变量x取值的集合通常由等式ωx＋φ＝2kπ＋θ，k∈Z解出x.

已知函数f(x)＝sin＋2cos2ωx－1(ω>0)的最小正周期为π.

(1) 求ω的值；

(2) 求f(x)在区间上的最大值和最小值．

解析：(1) 因为f(x)＝sin＋2cos2ωx－1

＝＋cos2ωx

＝sin2ωx＋cos2ωx＝sin，

所以f(x)的最小正周期T＝＝π，解得ω＝1.

(2) 由(1)得f(x)＝sin.

因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，

所以当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值为1；

当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值为－.　

【变式题】

已知函数f(x)＝sin＋cosx.

(1) 求f(x)的最大值，并写出当f(x)取得最大值时，x的集合；

(2) 若α∈，f＝，求f(2a)的值．

解析：(1) f(x)＝sin＋cosx

＝sinx＋cosx＝

＝sin，

所以f(x)max＝.

此时，x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝2kπ＋，k∈Z.

故当f(x)取得最大值3时，x的集合为{x|x＝2kπ＋，k∈Z}．

(2) 由f＝sin(α＋)＝，　

得sin＝，

所以cosα＝，sinα＝，α∈，

所以f(2α)＝sin

＝

＝ [×2sinαcosα＋×(2cos2α－1)]

＝×[×2××＋×(2×－1)]

＝×＝.

考向❸ 三角函数最值问题常见的其他函数形式

例3　(1) 已知x∈(0，π)，求函数y＝sinx＋的最小值；

(2) 已知θ∈(0，π)，求函数y＝的最大值；

(3) 求函数y＝(sinx－2)(cosx－2)的最大值与最小值．

解析：(1) 设sinx＝t(0≤1)，则原函数可化为y＝t＋，在(0，1]上为减函数，

故当t＝1时，ymin＝3.

(2) 因为θ∈(0，π)，所以sinθ∈(0，1]，y＝≤＝，当且仅当sinθ＝时等号成立，故ymax＝.

(3) 原函数可化为y＝sinxcosx－2(sinx＋cosx)＋4，令sinx＋cosx＝t(|t|≤)，

则sinxcosx＝，

所以y＝－2t＋4＝ (t－2)2＋.

因为对称轴为直线t＝2∉[－，]，且函数在区间[－，]上是减函数，

所以当t＝，即x＝2kπ＋ (k∈Z)时，ymin＝－2；

当t＝－，即x＝2kπ－ (k∈Z)时，ymax＝＋2.　

【注】 (1) 直接利用三角函数的有界性，并直接利用基本不等式去求解．

(2) 首先是对分数函数的一般的处理方式，然后回到(1)的步骤去解决．y＝sinx＋型三角函数求最值，当sinx>0，a>1时，不能用均值不等式求最值，适宜用函数在区间内的单调性求解．

(3) 含有“正、余弦三姐妹”，即含有sinx±cosx，sinxcosx的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx＝t，|t|≤，将sinxcosx转化为关于t的函数关系式，从而转化为二次函数的最值问题，在转化过程中尤其要注意新变量t的范围的确定．

【变式题】

(1) 求函数y＝的最小值；

(2) 若0<x<，求函数y＝(1＋)(1＋)的最小值．

解析：(1) y＝＝－1≥，

所以最小值为.

(2) y＝

＝1＋，

令t＝sinx＋cosx，t∈(1，]，

则sinxcosx＝，　

所以y＝1＋＝＝＝1＋，

由1<t≤，得y≥3＋2，

所以函数的最小值为3＋2.

　自测反馈　

1. 函数y＝2sin－cos (x∈R)的最小值是__－1__．

解析：因为cos＝sin，所以y＝2sin－cos＝2sin－sin＝－sin.因为x∈R，所以ymin＝－1.

2. 函数y＝sinx在区间[0，b]上恰好取得2个最大值，则实数b的取值范围是____．

解析：因为函数y＝sinx的周期为＝6，函数y＝sinx在区间[0，b]上恰好取得2个最大值，则实数b满足≤b<，解得≤b<.故实数b的取值范围为.

3. 函数y＝的值域是__[－1，1]__．

解析：2y＋ysinx＝cosx，ysinx－cosx＝－2y，得sin(x＋φ)＝－2y，sin(x＋φ)＝，则||≤1，解得－1≤y≤1.

4. 函数f(x)＝sinx＋cosx＋sinx·cosx的值域是．

解析：令t＝sinx＋cosx＝sin，则t∈[－，]，t2＝1＋2sinxcosx，则sinxcosx＝，则f(x)＝sinx＋cosx＋sinxcosx＝t＋＝ (t2＋2t－1)＝ (t＋1)2－1.因为－≤t≤，所以f(x)∈[－1，＋]．

1. 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：

①形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；

②形如y＝asin2x＋bcos x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；

③形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值).

2. 你还有哪些体悟，写下来：