对于二维平面对三维空间的切割问题探究

北京四中 高二十班 王鑫洋

命题：对于n个平面在三维空间里任意摆放，可以将空间分成的份数的最大值为f(n)。试求f(n)和n的关系

解答：1.先考虑平面上，n条直线至多可以分平面为块。

通过观察，可以得到为二阶等差数列

(*)

由数学归纳法，由于第n+1条线可以与前n条都有1个交点，所以易知(*)成立。

2.对于二维平面的切割问题，我们考虑两平面的交线。设至多可把三维空间分为块。

先证引理1：对于第n刀，总会和前n-1个面相交，会多出现n-1个交线，也就相当于增加个块空间

因为交线只要交出面，则交出的该面与形成交线的面就可以形成一个封闭区域

结合（*）式，我们得到：

综上可知，。 （**）

法二：（此方法属于北京四中高二十班任逸同学）

引理2（未进行证明）：对于m维平面切割m+1维的空间(m≥1,).存在。

由此引理，可以设：

当m=2时，出现。多项式有四个未知数，于是需要四个方程。

经试验，f(1)=2, f(2)=4,f(3)=8,f(4)=15。

注：当n=1，2，3时，易。

当n=4时，设三维空间为一个中心为（0，0，0），边长为4的立方体。前三个面平凡的将立方体分成了2×2×2等大的立方体。第四个面，为过(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)的平面。

经过待定系数的计算，可以得到答案。

探究：对于n个m维平面切割m+1维的空间(m≥1,)，则将m+1维的空间至多分成个m+1维空间

m=1时，

m=2时，

由引理1,可知：

m≥3时，

计算，得：

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