2019-2020学年新疆乌鲁木齐市第七十中学、哈密二中高二下学期期末考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先求出集合、，由此能求出.

【详解】

解：∵集合，

，

∴.

故选：C.

【点睛】

此题考查集合的并集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题

2．已知函数为奇函数，且当时，，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】求得的值，利用奇函数的性质可求得的值.

【详解】

由于函数为奇函数，且当时，，则，

因此，.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性求函数值，考查计算能力，属于基础题.

3．在一次试验中，测得的四组值分别是，，，，则与之间的回归直线方程是（ ）

附：回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：，，其中，为样本平均值.

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】本题是选择题，根据所给的这组数据，取出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入所给的四个选项中验证，若能够成立的只有一个，这一个就是线性回归方程.

【详解】

解：∵，，

∴这组数据的样本中心点是

把样本中心点代入四个选项中，只有成立，

故选：A.

【点睛】

此题考查线性回归方程，属于基础题

4．设，且，则下列不等式成立的是 （ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用不等式的性质可得正确，通过取特殊值即可得错误.

【详解】

，但是不成立，故不正确；

，但是不成立,故不正确；

，正确；

时，，不成立，故选.

【点睛】

用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性

5．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据题中所给的平均数的条件，重新列式求新数据的平均数，根据方差公式写出两组数据的方差，并比较大小.

【详解】

由题意，可得，

设收集的48个准确数据分别记为，

则

，

，所以．

故选:A．

【点睛】

本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，是基础题．

6．设命题．命题：若，则方程表示焦点在x轴上的椭圆．那么下列命题属于真命题的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】首先根据，得到是真命题，化简方程得到，可判定q为真命题，即可得到为真命题。

【详解】

当时，，所以是真命题；

当时，，表示焦点在x轴上的椭圆，所以q为真命题。

所以为真命题．

故选：C

【点睛】

本题主要考查命题真假的判断，同时考查了椭圆的标准方程和特称命题，属于简单题。

7．若a是从区间中任取的一个实数，则方程无实数解的概率是（ ）

A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4

【答案】B

【解析】首先根据方程无实数解和的范围得到，再利用几何概型公式即可得到答案.

【详解】

若方程无实数解，则，

即，又，∴.

所以方程无实数解的概率是．

故选：B

【点睛】

本题主要考查几何概型，同时考查了一元二次方程根的情况，属于简单题.

8．函数的图象大致是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据函数的奇偶性及特殊值，可判断函数的图象．

【详解】

对于，

因为为偶函数，为奇函数，所以为奇函数，

所以排除C，D，

当时，，，

所以，所以排除B选项．

故选：A.

【点睛】

本题考查了根据函数解析式判断函数图象，利用函数的奇偶性、单调性和特殊值，可排除选项，属于基础题．

9．直线与曲线相交，则满足的条件是（ ）

A． B． C． D．且

【答案】A

【解析】由曲线的极坐标方程可得其直角坐标方程：，可知曲线为圆，若要直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于半径，列式即可得解.

【详解】

由曲线的极坐标方程化成直角坐标方程为：，

故曲线为圆，圆心为，，

可得圆心到直线的距离，

由题意可得：，即，

解得：.

故选：A.

【点睛】

本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线和圆的位置关系，考查了计算能力，

属于中档题.

10．已知条件p：；条件q：，若q是p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】解一元二次不等式求得条件中的范围，解一元二次不等式求得条件中的范围，根据是的充分不必要条件列不等式组，解不等式组求得的取值范围.

【详解】

对于条件，，解得.

对于条件，由，解得或.

由于q是p的充分不必要条件，所以或，解得.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据充分不必要条件求参数的取值范围，属于中档题.

11．已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立，则满足的的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据题意可得在上单调递增，又函数的图象关于直线对称，可

得函数在上单调递减，从而根据函数不等式列出不等式，求解取值范围.

【详解】

解：当时，恒成立

∴恒成立

即函数在上单调递增，

又∵函数的图象关于直线对称

∴函数在上单调递减，

若要满足，则需；

解得.

故选：A.

【点睛】

此题考查由函数的单调性和对称性解不等式，考查转化思想，属于基础题

12．已知函数，，若函数在区间上恰有两个不同的零点，则实数的取值范围（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】令，则，问题转化为在上有两个不同的实解，即在上有两个不同的实解.利用二次函数的图象，可得结论.

【详解】

因为函数的零点为方程的根，

而，所以.

令，由则，

问题转化为在上有两个不同的实解，

即在上有两个不同的实解.

令，

则，∴，，即

由在上有两个不同的实解，

即与图象有两个不同交点，

所以实数的取值范围是.

故选：C

【点睛】

本题主要考查函数的零点，函数的单调性，二次函数的图象与性质，考查学生逻辑思维能力，转化与化归能力，运算求解能力.

二、填空题

13．定义域为的偶函数为周期函数，其周期为，当时，，则__________.

【答案】

【解析】利用函数的周期和奇偶性可得出，进而得解.

【详解】

由于函数是上周期为的偶函数，且当时，，

因此，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值，考查计算能力，属于基础题.

14．函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为_____..

【答案】8

【解析】可看出的图象过定点，从而可据题意得出，

再根据，从而得出，再由基本不等式，即可得出结果.

【详解】

恒过定点；

又点在直线上；

∴；

∴；

∵；

∴；

∴的最小值为8.

故答案为：8.

【点睛】

本题主要考查由基本不等式求最值，涉及函数图像过定点，属于基础题型.

15．代数式的展开式的常数项是________（用数字作答）

【答案】3

【解析】的通项公式为.

令，得；令，得.

∴常数项为

故答案为.

点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.

16．今有6个人组成的旅游团，包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有_____种.（用数字作答）

【答案】348

【解析】根据题意，按6人乘坐缆车的数目分2种情况讨论，求出每种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案.

【详解】

解：根据题意，分2种情况讨论：

①，若6人乘坐2辆缆车，需要将6人分成2组，有种分组方法，在三辆不同的缆车中任选2辆，安排2个组，有种情况，

则此时有种乘车方式；

②，若6人乘坐2辆缆车，需要先将4名大人分为2、1、1的三组，有种分组方法，

将分好的三组对应三辆缆车，有种情况，

若2名小孩作两辆缆车，需要在三辆不同的缆车中任选2辆，安排2名小孩，有种情况，

若2名小孩作一辆缆车，有2种情况，

则此时有种情况，

则一共有种不同的安排方法；

故答案为：348.

【点睛】

本题考查排列、组合的简单应用，涉及分类、分步计数原理的计算，属于基础题.

三、解答题

17．某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位:min)进行调查,将收集到的数据分成[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]六组,并作出频率分布直方图(如图).将日均课外体育锻炼时间不低于40 min的学生评价为“课外体育达标”.

(1)请根据频率分布直方图中的数据填写下面的2×2列联表,并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关?

(2)现从“课外体育达标”学生中按分层抽样抽取5人,再从这5名学生中随机抽取2人参加体育知识问卷调查,求抽取的这2人课外体育锻炼时间都在[40,50)内的概率.

附参考公式与数据:K2=

【答案】(1)答案见解析；(2)0.6.

【解析】试题分析：

(1)根据频率分布直方图,得“课外体育达标”的学生数为50.由2×2列联表可知“课外体育达标”的男生人数为30,女生人数为20.据此完成列联表即可，计算观测值K2≈6.061<6.635,故在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关.

(2)从“课外体育达标”学生中按分层抽样抽取5人,其中课外体育锻炼时间在[40,50)内有4人,列出所有可能的基本事件，共有10种,其中2人都在[40,50)内的基本事件有6种,故所求的概率为=0.6.

试题解析：

(1)根据频率分布直方图,得“课外体育达标”的学生数为200×(0.020+0.005)×10=50.

由2×2列联表可知“课外体育达标”的男生人数为30,女生人数为20.

补全2×2列联表如下:

计算K2=≈6.061<6.635,故在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关.

(2)从“课外体育达标”学生中按分层抽样抽取5人,其中课外体育锻炼时间在[40,50)内有5×=4(人),分别记为a,b,c,d;

在[50,60]上有1人,记为E.

从这5人中抽取2人,总的基本事件有ab,ac,ad,aE,bc,bd,bE,cd,cE,dE共10种,其中2人都在[40,50)内的基本事件有ab,ac,ad,bc,bd,cd共6种,故所求的概率为=0.6.

18．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若函数的最小值为，正数，满足，求证：.

【答案】（1）或；（2）证明见解析.

【解析】（1）根据绝对值的几何意义，分，，三种情况讨论求解.

（2）利用绝对值三角不等式求出，然后利用基本不等式结合不等式的性质证明即可.

【详解】

（1）当时，得，∴.

当时，得.∴无解.

当时，得.

所以不等式的解集为或.

（2）∵，

∴，即，

又由均值不等式有：，，

两式相加得，

∴.

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式以及基本不等式和不等式的基本性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

19．选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）

以为极点，轴为正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若直线与曲线交于，两点．

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）若点是曲线上不同于，的动点，求面积的最大值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）先根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，再将直线的参数方程代人，利用直线参数方程的几何意义得；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知以只需求到直线的距离最大值，由点到直线距离公式以及三角函数性质求最值

【详解】

解：（Ⅰ），，

化为将代入，

得曲线的直角坐标方程为，

将代入曲线方程，

得，

设对应的参数分别为，

则，由直线参数方程的几何意义得，

．

（Ⅱ）将直线的参数方程化为普通方程得，

设，

得到直线的距离为：

，

最大值为，由（Ⅰ）知，

因而面积的最大值为.

20．某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树.某农户考察三种不同的果树苗、、，经引种试验后发现，引种树苗的自然成活率为0.8，引种树苗、的自然成活率均为.

（1）任取树苗、、各一棵，估计自然成活的棵数为，求的分布列及；

（2）将（1）中的取得最大值时的值作为种树苗自然成活的概率.该农户决定引种棵种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活.

①求一棵种树苗最终成活的概率；

②若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种种树苗多少棵？

【答案】（1）详见解析；（2）①0.96；②700棵.

【解析】（1）依题意，得到的所有可能值为，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用公式求得数学期望；

（2）由（1）可知当时，取得最大值，①利用概率的加法公式，即可求得一棵树苗最终成活的概率；②记为棵树苗的成活棵数，为棵树苗的利润，求得，要使，即可求解.

【详解】

（1）依题意，的所有可能值为0，1，2，3.

则；

，

即，

，

；

的分布列为：

所以 .

（2）当时，取得最大值.

①一棵树苗最终成活的概率为.

②记为棵树苗的成活棵数，为棵树苗的利润，

则，，，

，要使，则有.

所以该农户至少种植700棵树苗，就可获利不低于20万元.

【点睛】

本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，以及期望的实际应用问题，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.

21．已知椭圆的一个焦点是，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设经过点的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，求 的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用椭圆的性质及，即可得出；

（2）分直线的斜率存在于不存在讨论，当的斜率存在时，可设直线的方程为 ，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系及其中点坐标公式及其基本不等式的性质即可得出.

【详解】

解：（1）设椭圆的半焦距是.依题意，得.

因为椭圆的离心率，

所以，，.

故椭圆的方程为 .

（2）当轴时，显然.

当与轴不垂直时，可设直线的方程为.

由消去整理得

.

设，，线段的中点为，

则.

所以，.

线段的垂直平分线方程为.

在上述方程中令，得.

当时，；当时，.

所以，或.

综上：的取值范围是.

【点睛】

此题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查转化思想和计算能力，属于中档题

22．已知函数，其中常数.

（1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（2）若，且时，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）问题等价于恒成立，构造函数，利用导数求其最小值即可得到实数的取值范围；

（2）不等式等价于证明，设，只需求出的最小值，并说明其大于0即可得证.

【详解】

（1）由题意知当时，不等式恒成立，即，

设，则，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

∴的最小值为，

∴实数的取值范围为；

（2）证明：由题意知，要证，

即证，即证，

设，

则，

设，则，

由得；由得；

所以函数在单调递减，在单调递增；

则，

又，，，

所以存在，使得，即，

故当时，，即函数单调递减；

当时，，即函数单调递增；

∴，

由于，所以，即.

【点睛】

本题主要考查由导数的方法研究不等式恒成立的问题，考查由导数的方法证明不等式，熟记导数的方法求函数的单调性，最值等即可，属于常考题型.