引入新课]

1．通过观察一条直线与一个平面相交，思考如何量化它们相交程度的不同．

2．平面的斜线的定义： ；

叫做斜足； 叫做这个点到平面的斜线段．

3．过平面外一点向平面引斜线和垂线，那么过斜足与垂足

的直线就是 ；

线段就是线段 ．

4．斜线与平面所成的角的概念

，其范围是 ．

指出右上图中斜线与平面所成的角是 ，你能证明这个角是与平面内经过点的直线所成的所有角中最小的角吗？

一条直线垂直于平面时，这条直线与平面所成的角是 　　　　　；

一条直线与平面平行或在平面内，我们说他们所成的角是 　．

思考：直线与平面所成的角的范围是 　　　　　　 ．

例题剖析

例1 　如图：已知，分别是平面垂线和斜线，分别是垂足和斜足， ， ，求证： ．

能用文字语言表述这个结论吗？

例2 　如图，∠BAC在平面内，点P ，∠PAB=∠PAC．求证：点P在平面内的射影在∠BAC的平分线上．

[思考]：

（1）若∠PAB=∠PAC=60°，∠BAC=90°，则直线PA与所成角的大小__________．

（2）从平面外同一点引平面的斜线段长相等，那么它们在内射影长相等吗？反之成立吗?

（3）若将例2中条件“∠PAB=∠PAC”改为“点P到∠BAC的两边AB、AC的距离相等”，结论是否仍然成立？

（4）你能设计一个四个面都是直角三角形的四面体吗？

巩固练习

1．如图，，平面，则在的边所在直线中：

（1）与垂直的直线有：

（2）与垂直的直线有：

2．在正方体中，直线与平面

所成的角是

3．如果PA、PB、PC两两垂直, 那么P在平面ABC内的射影一定是△ABC的 ( )

A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心

4．如图，一块正方体木料的上底面内有一点，要经过点在上底面内画一条直线与垂直，应怎样画？

课堂小结

平面的斜线及斜线在平面内的射影的概念；直线与平面所成的角概念、范围．

课后训练

一　基础题

1．若直线与平面不垂直，那么在平面内与直线垂直的直线 （ ）

只有一条 有无数条 是平面内的所有直线 不存在

2．设PA、PB、PC是从点P引出的三条射线, 每两条的夹角都等于60°，

则直线PC与平面APB所成角的余弦值是 ．

3．在三棱锥P-ABC中，顶点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心，

则三条侧棱PA、PB、PC大小关系是_________________．

二　提高题

4．在四棱锥中，是矩形，平面．

（1）指出图中有哪些三角形是直角三角形，并说明理由；

（2）若，试求与平面所成角的正切值．

5．求证：如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和这条斜线在这个平面内的射影垂直．

三　能力题

6．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC上的射影O是△ABC的垂心，求证：PA⊥BC．