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    2021年高考文科数学(人教A版)一轮复习讲义：第2讲 第2课时 函数的奇偶性及周期性-

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    第2课时 函数的奇偶性及周期性


    一、知识梳理 1．函数的奇偶性 奇偶性 偶函数
    定义
    如果对于函数f(x的定义域内任意一个x，都有f(－x＝f(x，那么函数f(x是偶函数 如果对于函数f(x的定义域内任意一个x，都有f(－x＝－f(x，那么函数f(x是奇函数
    图象特点 关于y轴对称
    奇函数 关于原点对称
    [注意] 奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
    2．函数的周期性
    (1周期函数：对于函数y＝f(x，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何
    值时，都有f(x＋T＝f(x，那么就称函数y＝f(x为周期函数，称T为这个函数的周期．
    (2最小正周期：如果在周期函数f(x的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x的最小正周期．
    [注意] 不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x＝5. 常用结论
    1．函数奇偶性常用结论
    (1如果函数f(x是偶函数，那么f(x＝f(|x|．
    (2奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
    (3在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
    2．函数周期性常用结论
    对f(x定义域内任一自变量的值x： (1若f(x＋a＝－f(x，则T＝2a(a>0． (2若f(x＋a＝1，则T＝2a(a>0． f（x）1(3若f(x＋a＝－，则T＝2a(a>0．
    f（x）二、习题改编
    1．(必修1P35例5改编下列函数中为偶函数的是( A．y＝x2sin x C．y＝|ln x|
    B．y＝x2cos x D．y＝2x
    －解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x＝f(x且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B. 2．(必修4P46A组T10改编设f(x是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，12－4x＋2，－1≤x<0，3时，f(x＝则f2＝ ． x，0≤x<1，311－＝－4×－＋2＝1. 解析：由题意得，f＝f222答案：1 2

    一、思考辨析
    判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”
    (1若f(x是定义在R上的奇函数，则f(－x＋f(x＝0.( (2偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(

    (3如果函数f(x，g(x为定义域相同的偶函数，则F(x＝f(x＋g(x是偶函数．( (4定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( (5若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0也是函数的周期．( 答案：(1√ (2× (3√ (4√ (5√ 二、易错纠偏
    常见误区(1利用奇偶性求解析式忽视定义域； (2周期不能正确求出从而求不出结果．
    1．已知函数f(x是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x＝x(1＋x，则x<0时，f(x＝ ．
    解析：当x<0时，则－x＞0，所以f(－x＝(－x(1－x．又f(x为奇函数，所以f(－x＝－f(x＝(－x(1－x，所以f(x＝x(1－x．
    答案：x(1－x
    12．已知函数f(x满足f(x＋2＝－.当1≤x≤3时，f(x＝x，则f(105＝ ．
    f（x）1解析：因为f(x＋2＝－，所以f(x＋4＝f(x，故4为函数f(x的一个周期．f(105f（x）＝f(4×26＋1＝f(1＝1.
    答案：1
    判断函数的奇偶性(师生共研

    判断下列函数的奇偶性．



    1(1f(x＝x3－；
    x(2f(x＝x2－1＋1－x2； x2＋2，x＞0，(3f(x＝0，x＝0，
    －x2－2，x<0.【解】 (1原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称， 并且对于定义域内的任意一个x都有 f(－x＝(－x3－11x3－＝－f(x， ＝－x－x从而函数f(x为奇函数．
    (2f(x的定义域为{－1，1}，关于原点对称． 又f(－1＝f(1＝0，f(－1＝－f(1＝0， 所以f(x既是奇函数又是偶函数． (3f(x的定义域为R，关于原点对称，
    当x＞0时，f(－x＝－(－x2－2＝－(x2＋2＝－f(x； 当x<0时，f(－x＝(－x2＋2＝－(－x2－2＝－f(x； 当x＝0时，f(0＝0，也满足f(－x＝－f(x． 故该函数为奇函数．

    判定函数奇偶性的3种常用方法

    (1定义法


    (2图象法

    (3性质法
    ①设f(x，g(x的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇；
    ②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．
    [提醒] 对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f(－x0＝－f(x0，不能判断函数f(x是奇函数．

    xx 已知函数f(x＝x，g(x＝，则下22－1列结论正确的是(

    A．h(x＝f(x＋g(x是偶函数 B．h(x＝f(x＋g(x是奇函数 C．h(x＝f(xg(x是奇函数 D．h(x＝f(xg(x是偶函数
    解析：选A.易知h(x＝f(x＋g(x的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．因为f(－x＋g(－x－xx·2xxx（1－2）－xxxxx＝x＋＝－－＝－＝＋＝f(x＋g(x，所以h(x＝f(x＋22x－122－－121－2x21－2x－xg(x是偶函数．故选A.
    函数奇偶性的应用(师生共研

    (2019·高考全国卷Ⅱ设f(x为奇函数，且当x≥0时，f(x＝ex－1，则当x＜0时，f(x＝(

    A．ex－1 C．－ex－1
    －－B．ex＋1 D．－ex＋1 －－【解析】 通解：依题意得，当x<0时，f(x＝－f(－x＝－(e－x－1＝－e－x＋1，选D. 优解：依题意得，f(－1＝－f(1＝－(e1－1＝1－e，结合选项知，选D. 【答案】
    D
    已知函数奇偶性可以解决的3个问题
    (1求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出． (3求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x±f(－x＝0得到关于参数的恒等
    式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组，进而得出参数的值．
    (一题多解已知函数f(x为奇函数，当x>0时，f(x＝x2－x，则当x<0时，函数f(x的最大值为 ．
    解析：法一：当x<0时，－x>0，所以f(－x＝x2＋x. 又因为函数f(x为奇函数，
    所以f(x＝－f(－x＝－x2－x＝－x＋1＋1，
    2421所以当x<0时，函数f(x的最大值为.
    4法二：当x>0时，f(x＝x2－x＝x－1－1，最小值为－1， 24421因为函数f(x为奇函数，所以当x<0时，函数f(x的最大值为.
    41答案：
    4

    函数的周期性(师生共研
    (1(2020·广东六校第一次联考在R上x＋a，－1≤x<0函数f(x满足f(x＋1＝f(x－1，且f(x＝其中a∈R，若f(－5＝f(4.5，则|2－x|，0≤x<1，a＝(

    A．0.5 C．2.5
    B．1.5 D．3.5 (2已知f(x是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x＝x3－x，则函数y＝f(x的图象在区间[0，4]上与x轴的交点的个数为(

    A．2 C．4
    B．3 D．5 【解析】 (1由f(x＋1＝f(x－1，得f(x是周期为2的函数，又f(－5＝f(4.5，所以f(－
    1＝f(0.5，即－1＋a＝1.5，所以a＝2.5.故选C.
    (2当0≤x<2时，令f(x＝x3－x＝x(x2－1＝0，所以y＝f(x的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.
    当2≤x<4时，0≤x－2<2，又f(x的最小正周期为2，所以f(x－2＝f(x，所以f(x＝(x－2(x－1(x－3，所以当2≤x<4时，y＝f(x的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.又f(4＝f(2＝f(0＝0，综上可知，共有5个交点．
    【答案】 (1C
    (2D
    函数周期性的判定与应用
    (1判断函数的周期性只需证明f(x＋T＝f(x(T≠0便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
    (2根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0也是函数的周期．

    已知定义在R上的函数满足f(x＋21＝－，当x∈(0，2]时，f(x＝2x－1.则f(17＝ ，f(20＝ ．
    f（x）1解析： 因为f(x＋2＝－，
    f（x）所以f(x＋4＝－1＝f(x，
    f（x＋2）所以函数y＝f(x的周期T＝4. f(17＝f(4×4＋1＝f(1＝1.
    111f(20＝f(4×4＋4＝f(4＝f(2＋2＝－＝－＝－.
    3f（2）2×2－11答案：1 －
    3

    [基础题组练] 1．下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0上单调性也相同的是(
    1A．y＝－

    xC．y＝1－x2

    B．y＝log2|x| D．y＝x3－1 解析：选C.函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0上为增函数，选项A的函数为奇函数，不符合要求；选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合要求；选项D的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项C符合要求．
    2．已知f(x为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x＝2x＋m，则f(－2＝( A．－3 5C.
    45B．－
    4D．3 解析：选A.由f(x为R上的奇函数，知f(0＝0，即f(0＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2＝－f(2＝－(22－1＝－3. 3133．已知定义域为R的奇函数f(x满足f2＋x＝f2－x，且当0≤x≤1时，f(x＝x，则5f2＝(

    27A．－

    81C.
    81B．－
    827D.
    8315311＋x＝f－x，所以f＝f＋1＝f－1＝f－，又因为函数解析：选B.因为f2222221111－＝－f＝－＝－. 为奇函数，所以f22284．已知定义域为[a－4，2a－2]的奇函数f(x＝2 018x3－sin x＋b＋2，则f(a＋f(b的值为(

    A．0 C．2
    B．1 D．不能确定
    3解析：选A.依题意得a－4＋2a－2＝0，所以a＝2.又f(x为奇函数，故b＋2＝0， 所以b＝－2，所以f(a＋f(b＝f(2＋f(－2＝0. 2|x|＋x3＋15．已知函数f(x＝|x|的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于(

    2＋1A．0
    B．2
    C．4 D．8 2|x|＋x3＋1x3x3解析：选B.f(x＝|x|＝1＋|x|.设g(x＝|x|，因为g(x定义域为R，关于原2＋12＋12＋1点对称，且g(－x＝－g(x，所以g(x为奇函数，所以g(xmax＋g(xmin＝0.因为M＝f(xmax＝1＋g(xmax，m＝f(xmin＝1＋g(xmin，所以M＋m＝1＋g(xmax＋1＋g(xmin＝2. 6．已知f(x是奇函数，g(x是偶函数，且f(－1＋g(1＝2，f(1＋g(－1＝4，则g(1等于 ．
    解析：f(－1＋g(1＝2，即－f(1＋g(1＝2①， f(1＋g(－1＝4，即f(1＋g(1＝4②， 由①②得，2g(1＝6，即g(1＝3. 答案：3 37．设函数f(x是定义在R上周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x＝x＋1，则f2＝ ．
    解析：依题意得，f(2＋x＝f(x，f(－x＝f(x， 31113－＝f＝＋1＝. 则f＝f222223答案：
    2log3（x＋1），x≥0，8．设函数f(x是定义在R上的奇函数，且f(x＝则g(f(－8g（x），x<0，＝ ．
    解析：因为f(x是定义在R上的奇函数， 所以f(－8＝－f(8＝－log39＝－2，
    所以g(f(－8＝g(－2＝f(－2＝－f(2＝－log33＝－1. 答案：－1 9．设f(x是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x＝f(1－x，当－1≤x≤0时，f(x＝－x. (1判定f(x的奇偶性；
    (2试求出函数f(x在区间[－1，2]上的表达式． 解：(1因为f(1＋x＝f(1－x，所以f(－x＝f(2＋x． 又f(x＋2＝f(x，所以f(－x＝f(x．又f(x的定义域为R，

    所以f(x是偶函数．
    (2当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]， 则f(x＝f(－x＝x；
    从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0， f(x＝f(x－2＝－(x－2＝－x＋2. －x，x∈[－1，0]，故f(x＝x，x∈（0，1），
    －x＋2，x∈[1，2].10．设f(x是(－∞，＋∞上的奇函数，f(x＋2＝－f(x，当0≤x≤1时，f(x＝x. (1求f(π的值；
    (2当－4≤x≤4时，求f(x的图象与x轴所围成的图形的面积． 解：(1由f(x＋2＝－f(x，得f(x＋4＝f((x＋2＋2＝－f(x＋2＝f(x， 所以f(x是以4为周期的周期函数． 所以f(π＝f(－1×4＋π＝f(π－4 ＝－f(4－π＝－(4－π＝π－4. (2由f(x是奇函数与f(x＋2＝－f(x， 得f((x－1＋2＝－f(x－1＝f(－(x－1， 即f(1＋x＝f(1－x．
    从而可知函数y＝f(x的图象关于直线x＝1对称．
    又当0≤x≤1时，f(x＝x，且f(x的图象关于原点成中心对称，则f(x的图象如图所示．

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