数 学 建 模 论 文

课题：猪的最佳销售时期的数学模型

问题重述：

一般从事猪的商业性饲养和销售总是希望获得利润，因此，饲养某种猪是否获利，怎样获得最大利润，是饲养者必须首先考虑的问题。如果把饲养技术水平、猪的类型等因素视为不变的，且不考虑市场的需求变化，那么影响获利大小的一个主要因素是如何选择猪的售出时机。也许有人认为，猪养得越大，售出后获利越大。其实不然，因为随着猪的生长，单位时间消耗的饲养费用也就越多，但同时其体重增长的速度却不断下降，所以饲养时间太长是不合算的。试作适当的假设，引入相应的参数，建立猪的最佳销售时机的数学模型。

一、模型假设

1、猪的市场价格的变化是连续的，即市场猪肉价格随时间变化的函数可以视为连续函数。

2、饲料市场价格的变化是连续的，即饲料价格随时间变化的函数可以视为连续函数。

3、成本主要由猪苗价格与饲料消耗组成，不考虑其他因素。

4、饲养技术水平、猪的类型等因素视为不变的，且不考虑市场的需求变化。

二、符号说明

1、市场猪肉价格为q(t) 元/公斤

2、饲料价格为p(t) 元/公斤

3、猪苗价格为r元/公斤

4、猪苗重量为m公斤

5、饲养了t时间后，猪的重量为M(t)公斤

6、t时刻，单位时间增加重量为a(t)公斤

7、t时刻，每消耗1公斤饲料增加的重量为d(t)公斤

8、t时刻，单位时间消耗的饲料为c(t)公斤

9、0~t内消耗饲料的总花费为Z(t)元

10、在t时刻出售可获的利润为Q(t)元

三、模型建立

1、饲养了t时间后，猪的重量M(t)的估计

由上述符号说明可知：a(t)=c(t)d(t)

当时间很短时，即：t~t+⊿t内增加的重量可由下式表示：

M(t~t+⊿t)-M(t)≈a(t) *⊿t= c(t)d(t) *⊿t

即为：——————————①

初值条件：M(0)=m

故：——————————②

2、0~t内消耗饲料的总花费Z(t)的估计

当时间很短时，即：t~t+⊿t内的总花费可由下式表示：

Z(t~t+⊿t)-Z(t)≈c(t)p(t) *⊿t

即为：——————————③

初值条件：Z(0)=0

故：———————————④

3、在t时刻出售可获利润Q(t)的估计

由于：利润=t时刻售价*猪重量饲料总花费猪苗单价*猪苗重量

即为：——————————⑤

将②④式代入可得：

————————————⑥

4、在t时刻出售可获利润Q(t)最大值的估计

由⑥式：要求时刻t，使得Q(t)最大，必须令

即：

———————————⑦

由⑦式的方程即可解出使Q(t)达到最大的时间,记为T

则最大利润为：

———————————⑧

（模型中的函数p(t)、q(t)、c(t)、d(t)均可由统计数据回归得出）

四、模型简化与模型求解

如果市场猪肉价格与饲料价格取为长期价格水平的平均值(即为常数)，分别为p元/公斤与q元/公斤。

则⑥式变为：

——————————⑨

要求时刻t，使得Q(t)最大，必须令

即：

由于（即：不可能不消耗饲料），故。

记，使的最小的时间为T（取最小是因为d(t)可能不是单调函数，可能出现多个解）

T即为使利润Q(t)达到最大的时刻

则此时，利润Q(t)的最大值为：

五、模型优缺点分析

此预测模型用连续的观点（常微分方程，定积分）来描述利润随时间的变化，并综合统计中的回归来建立最终的求解模型。但是，当市场价格长期处于上下波动的不稳定状态时，在回归上就会有一定的困难。