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维普资讯 http://www.cqvip.com ２００２血 青海师范大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｑｉｎｇｈａｉ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） ２００２ 第３期 Ｎｏ．３ 指数分布下基于失效次数估计参数的方法 周 莉 （烟台师范学院数学与计算机科学系，山东烟台 ２６４０２５） 摘要：本文给出指数分布下基于失效次数进行参数估计的几种不同方法的比较。 关键词：指数分布；参数估计；生存函数；置信区间 中圈分类号：０２１３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００１—７５４２（２ｏｏ２）Ｏ３—００１５一ｏ４ 设有 个样品组成的随机样本，它们的寿命时间分别是Ｔ。，Ｔ ，… ， 对每个样品都附有 一 个固定的截尾时间Ｌ ＞Ｏｏ我们仅在 ≤Ｌｉ时，能观察到 ，因此数据是由以下数对组成 （ｔ ， ），ｉ＝１，２，… 其中 ｔｉ＝优 （ ，Ｌｉ）， ＝【。ｌ ￣ ｔｉ ， ， 看 在指数模型为 厂（ｔ；０）＝０ ｅ ，ｔ≥０的场合下，上述 Ｉ型截尾数据的似然函数为 Ｌ（ ）＝ １ ） Ｌｌ “’ ： Ｉ ｅｘｐ（一 ｉ ＝１ ｔｉ ） （１） 其中ｒ＝∑ 是能观察到的寿命时间的个数。记Ｔ＝∑￡ ：∑ ＋∑Ｌ 是 个样品的总观察时间，其中Ｄ和Ｃ分别表示观察到寿命时间的样品集合和被截尾的样品集合。这里 统计量（ｒ，Ｔ）是０的最小充分统计量，在ｒ＞０的假设下最大化（１＞式可得０的极大似然估计为 Ｔ ＝ ， （２） 则枢轴量２ 近似于 （２ｒ＋１）分布。 对于上述来自指数分布的Ｉ型截尾数据，在某些情况下，推断可根据ｒ方便地进行，由于忽略了真 实的失效时间，不可避免地会损失某些信息。假设所有的样品采用固定的截尾时间Ｌ，在此情形下，，．服 从参数为７＂／和Ｐ＝１一ｅｘｐ（一ＬＩｏ）的二项分布即ｒ～Ｂ（７／＂，Ｐ），以下对基于失效次数进行参数估计的 几种方法进行讨论。 １ 在大样本下将只使用ｒ估计０的精度与同时使用ｒ与∑ｔ 给出的０的估计精度进行比较， 并同 时给出什么情况下只使用ｒ引起的信息量损失达到最小。 １．１ 只使用ｒ对参数０进行估计 由于ｒ～Ｂ（７／＂，Ｐ），Ｐ＝１一ｅｘｐ（一ＬＩｏ） 欲求０的置信区间，只需求Ｐ的置信区间。若以Ｇ（ｒ，Ｐ）表示ｒ的分布函数，则有 ‘ １一Ｇ（ｒ， ）＝ ＝ ｃ： （１一Ｐ） 一 ＝Ｂ（Ｐ；ｒ＋１， 一ｒ） ， ） Ｆ（ ‘ 其中ｆｌ＝２（ｒ＋１）， ＝２（７＂ ／一ｒ）。易知，１一Ｇ（ｒ，Ｐ）是Ｐ的连续增函数，从而Ｇ（ｒ，Ｐ）是Ｐ的连续 收稿日期：２００２—０３—０５ 作者简介：周莉（１９６６一）， 女（汉族）。山东人，硕士。
维普资讯 http://www.cqvip.com １６ 青海师范大学学报（自然科学版） ２００２年 减函数，故Ｐ的１一ａ的置信区间的上限为方程Ｇ（ｒ，Ｐ）＝ａ／ ２的解，即 可 ’ｒ ． ＝ ＦＨ（２（ｒ＋１），２（，】一号 十 ， ｚ—ｒ））一 （３）ｊ 而下限则为方程 Ｇ（ｒ一１，Ｐ）＝１一ａ／ ２的解，即 ——— ■一 ．‘丁＿ 二二一 ＝ ：Ｐ一＊／２（２ｒ，ｒ， ，２（，ｚ—ｒ＋１））ｚ—ｒ十上 （４）ｑ 由（３）（４）两式可解得Ｐ的置信区间，而后利用Ｐ与 之间的单调关系，即：Ｐ＝１一ｅｘｐ（一ｚ．１Ｏ），可得 参数 的１一Ｏ ｔ置信区间。 １．２ 利用ｒ和∑ｔ 估计参数 两 由 ２ｒＯｌＯ～ （２ｒ＋１） （５） 其中， 由（２）式给出，利用（５）式对 的置信区间进行估计， 不仅利用了ｒ中所含样品信息，同时利 用了Ｔ＝∑ｔ 中所含有的样品信息。 １．３ 通过实例，对以上两种估计方法进行比较 例 在一个试验中，有２０个样品投入检测，检测１５０小时后中止，有１５个样品失效，时间分别为３， １９，２３，２６，２７，３７，３８，４１，４５，５８，８４，９０，９９，１０９，１３８．用以上两种方法求 的双边０．９０置信区间， 解 在只考虑ｒ的情形下，，ｚ＝２０，ｒ＝１５， Ｆｏ ． ９５（３２，ｌｏ）：２．６９２， Ｆｏ ０５（３０，１２）＝１／Ｆｏ ９ ５（１２，３０）＝０，４７７ 由 ・ｒ ＝２，６９２ 得ｐ ＝０，８９６；由 ・ ＝０．４７７得ｐＬ＝０．５４４ 从而， 的１一ａ置信区间为（６６．２８４，１９１．０８３）． 若同时考虑ｒ与∑ｔ ，由于２ ～ （２ｒ＋１），其中ｒ＝１５， ：丁／ｒ＝１ ０５．８ Ｔ＝∑Ｔｉ＋∑Ｌ ＝８３７＋７５０＝１５８７ 故 ０，９＝Ｐ（ 。５（３１）＜ ＜ ２ ． ９５（３１）） 从而７０．５８＜ ＜１６４．５２ 显然，用第二种方法得到的估计效果优于第一种方法，区间长度稍短。原因在于第一种方法忽略了 样品真实的失效时间，当共同的截尾时间Ｌ＜ｔ 或Ｌ较小时，信息量的损失才能达到最小。 ２ 假定我们希望估计生存函数ｓ（ｔ。），０＜ｔ。＜Ｌ，以下将上述两种方法的结果与基于ｍ的分布的非 参数方法进行比较，其中，ｍ是小于等于ｔ。的观测值的个数。 ２．１ 基于ｍ的非参数方法 与上述只用ｒ估计 的方法类似，为估计Ｓ（ｔ。），我们只须估计Ｆ（ｔ。），将（３）、（４）两式中的ｒ换成 ｍ，Ｌ换成ｔ０即可。假设ｔ０＝１００． 以１．３中例题为例，此时， ，ｚ＝２０，ｔ。＝１００，ｍ＝１３，Ｐ＝１一Ｓ（１００）＝１一ｅｘｐ（一ｌＯＯ／Ｏ）， 则Ｐ的１一ａ上限为方程 可 ’Ｉ ・ ＝ Ｆ 一号（２（ｍ＋１），２（，１一号 ｚ 十ｌ ，ｚＬ 一 ｚ— ）） 的解。下限为方程 ——— ——一’． ： ａ／２（２ｍ，２（，２ ｚ，ｚ ｚ—ｍ＋１））一十ｌ
维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期 的解。由 周 莉：指数分布下基于失效次数估计参数的方法 １７ 。 ． ． ： Ｆｏ ９５（２８ １４），可得 Ｐ ：０．８２３８２３ １４），可得“＝０・ ． ， 由 ８・ ＝Ｆ ｏ．ｏ５ （２６，１６），可得ｐＬ＝０． ４４２ 从而，Ｓ（１００）的０．９０置信区间为（０．１７７，０．５５８） ２．２ 利用１．１与１．２中的方法的参数估计 １．１与１．２中的方法均是利用（０，Ｌ）时间段上的信息估计参数 ，然后利用Ｓ（ｔ。）与 的单调关系， 即Ｓ（ｔ。）＝ｅｘｐ（－ｔｏ／ｏ），来求得Ｓ（ｔ。）的置信区间。 以１．３中例题为例，由６６．２８４＜ ＜１９１．０８３，可得Ｓ（１００）的０．９０置信区间为０．２２１＜Ｓ（１００） ＜０．５９２，由７０．５８＜ ＜１６４．５２，可得０．２４２＜Ｓ（１００）＜０．５４５． ２．３ 三种估计方法的比较 由比较可知，仍是１．２中的估计方法精度较高，非参数方法估计的精度稍差。但由以上计算过程可 知，基于ｍ的分布的非参数方法的优点在于，它把Ｓ（ｔ。）整体作为参数来进行估计， 计算方法简单，且 误差只产生一次，而１．１与１．２中的两种方法在求参数 时，产生一次误差，然后， 求其幂时，又使误差进 一 步扩大。 ３ １．２中可用来替换近似式２ ／０～ （２ｒ＋１）的另外两种方法。 ３．１ 大样本下的近似式 在Ｉ型截尾场合，由于ｒ是随机的，于是，精确的小样本检验和区间估计方法不容易获得，以下为 基于极大似然估计的大样本性质的方法。 由＜１）式可得对数似然函数的一阶和二阶导数 盥 ｄＯ一 ＋吾骞ｚ。 ｄＯ ＝ 一 （、 ６） （７） 吾 为得到期望信息量，需求Ｅ（一ｄ ｌｏｇＬ／ｄＯ ） 由于 Ｐ，（ ｃ＝０）＝ｅｘｐ（一Ｌ ／ｏ）＝１一Ｐ，（ ｉ＝１） 故 Ｅ（ｔ Ｉ ＝０）＝Ｌ ≤Ｌ ） ｅ～．ｅ—ｚ １ Ｅ（ｔ Ｉ ＝１）＝Ｅ（ Ｉ Ｊ。 ‘ ＝ 一 故 Ｅ（ｔ ）＝Ｅ（ｔ Ｉ ：０）・Ｐ （ ＝０）＋Ｅ（ｔ Ｉ ＝１）Ｐ （ ＝１） ＝ Ｌ 一“ ＋（ 一｝ ）（１一ｅ—ＬＩ ） ＝ （１一ｅ一 ｆ／ ） 由于 Ｅ（ｒ）＝∑Ｅ（ ）＝∑（１一ｅ－Ｕｌｅ） 故样本的期望信息量为 砌）－Ｅ（ ）＝ 耋（１ ）
维普资讯 http://www.cqvip.com １８ 青海师范大学学报（自然科学版） ２００２生 利用极大似然估计的渐近正态性 ～ Ｊ（ ）－１／２ Ｎ（０，１）’上 （８） 作为（８）式的替换式，有 ｌｒ １一 １２ ～ Ｎ（０，１）’ ， （９） Ｊ０ 其中Ｊ。＝（一ｄ ｌｏｇＬ／ｄＯ ） ：ａ是可观测到的信息量。 近似式（８）、（９）是在大样本场合下适用的，在中、小样本场合近似效果较差 。 ３．２ 中小样本场合下的近似式 （１）Ｓｐｒｏｔｔ（１９７３）和另外一些作者指出，在小样本场合， ＝ 的分布要比 的分布更近似正态 分布， 的分布近似于均值为 ＝０ 和方差为（ｄｋ／ｄＯ） ＡＳｖａｒ（０）＝ １９Ｑ的正态分布，其中 Ａｓｖａｒ（Ｏ）＝０ｚ／Ｑ，Ｑ＝Ｅ（ｒ）＝∑（１一Ｐ—Ｌｌ ），类似于（８）式， 有 （ ／９Ｑ