第一章 函数与极限

（A）

一、填空题

1、设，其定义域为 。

2、设，其定义域为 。

3、设，其定义域为 。

4、设的定义域是[0，1]，则的定义域为 。

5、设的定义域是[0，2] ，则的定义域为 。

6、，则k= 。

7、函数有间断点 ，其中 为其可去间断点。

8、若当时 ， ，且处连续 ，则 。

9、 。

10、函数在处连续是在连续的 条件。

11、 。

12、，则k= 。

13、函数的间断点是 。

14、当时，是比 的无穷小。

15、当时，无穷小与x相比较是 无穷小。

16、函数在x=0处是第 类间断点。

17、设，则x=1为y的 间断点。

18、已知，则当a为 时，函数在处连续。

19、设若存在 ，则a= 。

20、曲线水平渐近线方程是 。

21、的连续区间为 。

22、设在连续 ，则常数

a= 。

二、计算题

1、求下列函数定义域

（1）； （2）；

（3）；

2、函数和是否相同？为什么？

（1）；

（2）；

（3）；

3、判定函数的奇偶性

（1）； （2）；

（3）；

4、求由所给函数构成的复合函数

（1）；

（2）；

5、计算下列极限

（1）； （2）；

（3） ； （4）；

（5）； （6）；

（7）； （8）；

（9）；

6、计算下列极限

（1）； （2）；

（3）； （4）；

（5）； （6）；

7、比较无穷小的阶

（1）；

（2）；

8、利用等价无穷小性质求极限

（1）； （2）；

9、讨论函数的连续性

10、利用函数的连续性求极限

（1）； （2）；

（3）； （4）；

（5）；

（6）；

11、设函数

应当怎样选择a ，使得内的连续函数。

12、证明方程至少有一个根介于1和2之间。

（B）

1、设的定义域是[0 ，1] ，求下列函数定义域

（1） （2）

2、设

求

3、利用极限准则证明：

（1） （2）；

（3）数列的极限存在 ；

4、试比较当时 ，无穷小与的阶。

5、求极限

（1）； （2）；

（3）；

（4）；

6、设 要使内连续，

应当怎样选择数a ？

7、设 求的间断点，并说明间断点类型。

（C）

1、已知，且，求并写出它的定义域。

2、求下列极限：

（1）、；（2）、；

（3）、求；（4）、已知，求常数。

（5）、设在闭区间上连续 ，且，

证明：在开区间内至少存在一点，使 。

第一章 函数与极限

习 题 答 案

（A）

一、填空题

（1） （2） （3）[2 ，4]

（4） （5）

（6）-3 （7） （8）2 （9）1

（10）充分 （11） （12） （13）x=1 , x=2 （14）高阶

（15）同阶 （16）二 （17）可去 （18）2 （19）-ln2

（20）y=-2 （21） （22）1

二、计算题

1、（1）

（2） （3）

2、（1）不同，定义域不同 （2）不同，定义域、函数关系不同

（3）不同，定义域、函数关系不同

3、（1）偶函数 （2）非奇非偶函数 （3）奇函数

4、（1） （2） （3）

5、（1）[ 2 ] （2） （3）-9 （4）0 （5）2 （6）

（7）0 （8） （9）

6、（1）w （2） （3）1 （4） （5） （6）

7、（1） （2）是同阶无穷小

8、（1） （2）

9、不连续

10、（1）0 （2）1 （3）0 （4） （5）0 （6）-2

11、a=1

（B）

1、（1）提示：由解得：

（2）提示：由解得：

2、提示：分成和两段求。， ，

,

4、（1）提示： （2）提示：

（3）提示：用数学归纳法证明：

5、提示： 令（同阶）

6、（1）提示：乘以； （2）提示：除以；

（3）提示：用等阶无穷小代换 ；

（4）提示：

（）

7、提示： （）

8、是第二类间断点 ，是第一类间断点

（C）

1、解：因为，故，再由，

得： ，即。所以：， 。

2、解：原式==

==0

3、解：因为当时 ， ，

则===

4、解：因为：9====

所以，

5、证明：令，在上连续 ，且

， 。由闭区间上连续函数的零点定理 ，在开区间内至少存在一点，使，即。