2018-2019学年高中数学人教版A版必修一学案：第三单元 3

3.2.2　函数模型的应用实例

学习目标　1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点).2.能建立函数模型解决实际问题(重、难点)．

预习教材P102－P106，完成下面问题：

知识点1　常见的函数模型

【预习评价】

一个矩形的周长是40，矩形的长y关于宽x的函数解析式为(　　)

A．y＝20－x(0 B．y＝20－2x(0

C．y＝40－x(0 D．y＝40－2x(0

解析　由题意可知2y＋2x＝40，即y＝20－x，又20－x>x，所以0，故选A．

答案　A

知识点2　解决函数应用问题的步骤

利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：

(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．

这些步骤用框图表示如图：

【预习评价】

某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．

解析　L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000＝－Q2＋30Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500，当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元．

答案　2 500

题型一　一次函数、二次函数模型

【例1】　商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售．问：

(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？

(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？

解　(1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，

则x∈(100,300]，n＝kx＋b(k<0)，∵0＝300k＋b，即b＝－300k，∴n＝k(x－300)．

∴利润y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10 000k(x∈(100,300])

∵k<0，∴x＝200时，ymax＝－10 000k，

即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．

(2)由题意得，k(x－100)(x－300)＝－10 000k·75%，

x2－400x＋37 500＝0，解得x＝250或x＝150，

所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元．

规律方法　利用二次函数求最值的方法及注意点

(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．

(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符．

【训练1】　某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100(0≤t≤24)，则每天何时蓄水池中的存水量最少．

解　设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－100(0≤t≤24)．

设u＝，则u∈[0,2]，y＝60u2－100u＋400＝602＋150，

∴当u＝即t＝时，蓄水池中的存水量最少．

题型二　指数型函数、对数型函数模型

【例2】　大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．

(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？

(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍．

解　(1)由v＝log3可知，

当θ＝900时，v＝log3＝log39＝1(m/s)．

所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.

(2)由v2－v1＝1，即log3－log3＝1，得＝9.所以耗氧量的单位数为原来的9倍．

规律方法　指数型、对数型函数问题的类型及解法

(1)指数型函数模型：y＝max(a>0且a≠1，m≠0)，在实际问题中，有关人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示．

(2)对数型函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解．

(3)指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论．

【训练2】　一片森林原来面积为a，计算每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止，森林面积为a.

(1)求p%的值；

(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

(3)今后最多还能砍伐多少年？

解　(1)由题意得a(1－p%)10＝，

即(1－p%)10＝，解得p%＝1－.

(2)设经过m年森林面积为a，

则a(1－p%)m＝a，即＝，得＝，解得m＝5.

故到今年为止，已砍伐了5年．

(3)设从今年开始，n年后森林面积为a·(1－p%)n，

令a(1－p%)n≥a，即(1－p%)n≥，

≥，得≤，解得n≤15，

故今后最多还能砍伐15年．

题型三　分段函数模型

【例3】　经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足于f(t)＝(元)．

(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；

(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．

解　(1)由已知，由价格乘以销售量可得：

y＝

＝

＝

(2)由(1)知①当0≤t≤10时y＝－t2＋10t＋1 200＝

－(t－5)2＋1 225，

函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0,5]递增，在t∈(5,10]递减，

∴ymax＝1 225(当t＝5时取得)，ymin＝1 200(当t＝0或10时取得)；

②当10≤20时y＝t2－90t＋2 000＝(t－45)2－25，

图象开口向上，对称轴为t＝45，该函数在t∈(10,20]递减，∴ymax＝1 200(当t＝10时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得)．

由①②知ymax＝1 225(当t＝5时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得)．

规律方法　应用分段函数时的三个注意点

(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．

(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．

(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．

【训练3】　某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：

H(x)＝

其中x是仪器的月产量．

(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；

(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)

解　(1)设每月产量为x台，则总成本为t＝10 000＋100x.又f(x)＝H(x)－t.

∴f(x)＝

(2)当0≤x≤200时，f(x)＝－(x－150)2＋12 500，

所以当x＝150时，有最大值12 500；

当x>200时，f(x)＝30 000－100x是减函数，

f(x)<30 000－100×200<12 500.

所以当x＝150时，f(x)取最大值，最大值为12 500.

所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元．

题型四　建立拟合函数模型解决实际问题

【例4】　为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示.

(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；

(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；

(3)根据所建立的函数模型，估计若变今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？

解　(1)描点、作图，如图(甲)所示：

(2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx(a，b为常数且b≠0)．取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，得用计算器可得a≈2.2，b≈1.8.这样，得到一个函数模型：

y＝2.2＋1.8x，作出函数图象如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．

(3)由(2)得到的函数模型为y＝2.2＋1.8x，则由y＝2.2＋1.8×25，求得y＝47.2，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地约为47.2公顷．

规律方法　建立拟合函数与预测的基本步骤

【训练4】　我国1999年至2002年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：

(1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；

(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较．

解　(1)画出函数图形，如图．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上．设所求的函数为y＝kx＋b，

把直线通过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式，

解方程组，可得k＝0.677 7，b＝8.206 7.

因此，所求的函数关系式为

y＝f(x)＝0.677 7x＋8.206 7.

(2)由得到的关系式计算出2000年和2001年的国内生产总值分别为f(1)＝0.677 7×1＋8.206 7＝8.884 4，

f(2)＝0.677 7×2＋8.206 7＝9.562 1.

与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．

课堂达标

1．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.

现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的(　　)

A．y＝log2x　　　B．y＝2x　　　 C．y＝x2　　 D．y＝2x

解析　逐个检验可得答案为B．

答案　B

2．一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是(　　)

A．y＝2t　　　 B．y＝120t C．y＝2t(t≥0)　　 D．y＝120t(t≥0)

解析　90 min＝1.5 h，所以汽车的速度为180÷1.5＝120 km/h，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是y＝120t(t≥0)．

答案　D

3．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元．

解析　设彩电的原价为a，∴a(1＋0.4)·80%－a＝270，∴0.12a＝270，解得a＝2 250.∴每台彩电的原价为2 250元．

答案　2 250

4．2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1)．

解析　设x年我国人口将超过20亿，由已知条件：14(1＋1.25%)x－2 008>20，x－2 008>＝＝28.7，则x>2 036.7，即x＝2 037.

答案　2 037

5．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖掉，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨价格为40元，求实数a，b的值．

解　设利润为y元，

则y＝Qx－P＝ax＋－1 000－5x－x2＝x2＋(a－5)x－1 000，

依题意得

化简得解得

课堂小结

1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：

(1)利用给定的函数模型解决实际问题；

(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；

(3)建立拟合函数模型解决实际问题．

2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．

3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．

4．根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示．