课时分层训练(六十三)　排列与组合

A组　基础达标

一、选择题

1．(2016·四川高考)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　　)

A．24　　　　　 B．48

C．60 D．72

D　[第一步，先排个位，有C种选择；

第二步，排前4位，有A种选择．

由分步乘法计数原理，知有C·A＝72(个)．]

2．把6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)

A．144　　 B．120　　　　C．72　　　　D．24

D　[先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把三人带椅子插放在四个位置，共有A＝24种坐法．]

3．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　　)

A．85 B．56

C．49 D．28

C　[分两类：甲、乙中只有1人入选且丙没有入选；甲、乙均入选且丙没有入选，计算可得所求选法种数为CC＋CC＝49.]

4．(2018·广州综合测试(二))从1,2,3,4,5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为(　　)

【导学号：79140344】

A. B.

C. D.

B　[从这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数共有A＝60个，其中是偶数的有CA＝24个，所以所求概率P＝＝，故选B.]

5．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有(　　)

A．24对 B．30对

C．48对 D．60对

C　[正方体六个面的对角线共有12条，则有C＝66对，而相对的两个面中的对角线其夹角都不是60°，则共有3×C＝18对，而其余的都符合题意，因此满足条件的对角线共有66－18＝48对．]

6．(2017·青岛二模)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有(　　)

A．18种 B．24种

C．36种 D．72种

C　[1个路口3人，其余路口各1人的分配方法有CCA种.1个路口1人，2个路口各2人的分配方法有CCA种，由分类加法计数原理知，甲、乙在同一路口的分配方案为CCA＋CCA＝36种．]

7．若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是(　　)

A．540 B．480

C．360 D．200

D　[由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶，有CCA＝50种排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有C＝4种满足题意的选法，故满足题意的三位数共有C×CCA＝200(个)．]

二、填空题

8．如图10­2­1，用五种不同颜色给A、B、C、D涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域涂色不同，共有________种涂法．

图10­2­1

260　[共有5×4×1×4＋5×4×3×3＝260种．]

9．若C>3C，则m＝________.

【导学号：79140345】

7或8　[原不等式可化为

>，

解得m>.

∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，∴1≤m≤8.

又m是整数，∴m＝7或m＝8.]

10．(2017·天津高考)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)

1 080　[①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C·C·A＝960.

②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A＝120.

故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．]

B组　能力提升

11．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有(　　)

A．900种 B．600种

C．300种 D．150种

B　[甲去支教，则乙不去支教，丙去支教，故满足题意的选派方案有C·A＝240种；甲不去支教，则丙不去支教，故满足题意的选派方案有A＝360种．因此，满足题意的选派方案共有240＋360＝600种．故选B.]

12．在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共m＋n＋1个点，现任取其中3个点为顶点作三角形，可作的三角形的个数为(　　)

A．CC＋CC　　　　 B．CC＋CC

C．CC＋CC＋CC D．CC＋CC

C　[作出的三角形可以分成两类，一类是含有O点的，另一类是不含O点的．(1)含有O点的，则在OA，OB上各取1个点，共有CC个；(2)不含有O点的，则在OA上取一点，OB上取两点，或者在OA上取两点，OB上取一点，共有CC＋CC个．所以可作的三角形个数为CC＋CC＋CC，故选C.]

13．某班组织文艺晚会，准备从A，B等8个节目中选出4个节目演出，要求A，B两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为(　　)

A．1 860 B．1 320

C．1 140 D．1 020

C　[当A，B节目中只选一个时，共有CCA＝960种演出顺序；当A，B节目都被选中时，由插空法得共有CAA＝180种演出顺序．所以一共有1 140种演出顺序．]

14．(2017·佛山质检)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为(　　)

A．60 B．90

C．120 D．130

D　[因为xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5，

且1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3，

所以xi中至少两个为0，至多四个为0.

(1)xi(i＝1,2,3,4,5)中有4个0,1个－1或1.A有2C＝10个元素．

(2)xi中有3个0,2个－1或1，A有C×2×2＝40个元素．

(3)xi中有2个0,3个－1或1，A有C×2×2×2＝80个元素．

从而，集合A中共有10＋40＋80＝130个元素．]

15．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种.

【导学号：79140346】

60　[法一(直接法)：若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共CA种方法．由分类加法计数原理知共A＋CA＝60种方法．

法二(间接法)：先任意安排3个项目，每个项目各有4种安排方法，共43＝64种排法，其中3个项目落入同一城市的排法不符合要求共4种，所以总投资方案共43－4＝64－4＝60种．]

16．摄像师要对已坐定一排照像的5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为________．(用数字作答)

20　[先从5位小朋友中选取2位，让他们位置不变，其余3位都改变自己的位置，即3人不在其位，共有方案种数为N＝C·C·C·C＝20种．]