3．简谐运动的图像和公式

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1．坐标系的建立

在简谐运动的图像中，以横轴表示质点振动的时间，以纵轴表示质点偏离平衡位置的位移．

2．物理意义

表示做简谐运动质点的位移随时间变化的规律．

3．图像的特点

是一条正弦(或余弦)曲线．

4．从图像中可以直接得到的信息

(1)任意时刻质点偏离平衡位置的位移；

(2)振动的周期；

(3)振动的振幅．

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1．简谐运动图像反映了物体在不同时刻相对平衡位置的位移．(√)

2．振动位移的方向总是背离平衡位置．(√)

3．振子的位移相同时，速度也相同．(×)

4．简谐运动的图像都是正弦或余弦曲线．(√)

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1．简谐运动的图像是否是振动物体的运动轨迹？

【提示】　不是．简谐运动的图像是描述振动物体的位移随时间变化的规律，并不是物体的运动轨迹．

2．简谐运动中振动物体通过某一位置时，加速度和速度方向是否一致？

【提示】　不一定．振动物体通过某一位置时，加速度方向始终指向平衡位置，但速度方向可能指向平衡位置，也可能背离平衡位置，故加速度和速度方向不一定一致．

1．图像含义

表示某一质点不同时刻的位移；简谐运动图像不是做简谐运动的物体的运动轨迹．

2．图像斜率

该时刻速度的大小和方向．

3．判断规律

(1)随时间的延长，首先得到质点相对平衡位置的位移情况．

(2)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图1­3­1中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a此刻向上振动．

图1­3­1

(3)任意时刻质点的速度、回复力、加速度的变化情况及大小比较：看下一时刻质点的位置，判断是远离还是靠近平衡位置，如图1­3­1中b点，从正位移向着平衡位置运动，则速度为负且增大．回复力方向与位移方向相反，总指向平衡位置，t轴上方曲线上各点回复力取负值．t轴下方曲线上各点回复力取正值，回复力大小和位移成正比，离平衡位置越远，回复力越大．加速度变化步调与回复力相同．

1．一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图所示，由图1­3­2可知(　　)

图1­3­2

A．质点振动频率是4 Hz

B．t＝2 s时，质点的加速度最大

C．质点的振幅为2 cm

D．t＝2 s时，质点的位移是2 cm

E．从t＝0开始经过3 s，质点通过的路程是6 cm

【解析】　由图像知：质点的周期是4 s，频率是70e7efdd0b858341812e625a071abd09.pngHz，A错；t＝2 s时，质点的加速度最大，B对；由图线知质点的振幅为2 cm，C对；t＝2 s时，质点的位移是－2 cm，D错；从t＝0开始经过3 s，质点通过的路程s＝3A＝6 cm，E正确．

【答案】　BCE

2．弹簧振子做简谐运动的振动图像如图1­3­3所示，则(　　)

图1­3­3

A．t＝0时，质点位移为零，速度为零，加速度为零

B．t＝1 s时，质点位移最大，速度为零，加速度最大

C．t1和t2时刻振子具有相同的速度

D．t3和t4时刻振子具有相同的加速度

E．t2和t3时刻振子具有相同的速度

【解析】　t＝0时刻，振子位于平衡位置O，位移为零，加速度为零，但速度为最大值，选项A错误；t＝1 s时，振子位于正向最大位移处，位移最大，加速度最大，而速度为零，选项B正确；t1和t2时刻振子位于正向同一位置，t1时刻是经此点向正方向运动，t2时刻回到此点向负方向运动，两时刻速度大小相等，但方向相反，所以速度不相同，选项C错误；t3和t4时刻振子位移相同，即处在同一位置，因此有大小相等、方向相同的加速度，选项D正确；t2和t3时刻振子速度的大小和方向都相同，E正确．

【答案】　BDE

3．如图1­3­4所示为质点P在0～4 s内的振动图像，下列叙述正确的是(　　)

【导学号：18640006】

图1­3­4

A．再过1 s，该质点的位移是正的最大

B．再过1 s，该质点的速度沿正方向

C．再过1 s，该质点的加速度沿正方向

D．再过1 s，该质点加速度最大

E．再过2 s，质点回到平衡位置

【解析】　将图像顺延续画增加1 s，质点应在正最大位移处，故A、D正确．再过2 s质点回到平衡位置，E正确．

【答案】　ADE

简谐运动图像的应用技巧

1．判断质点任意时刻的位移大小和方向

质点任意时刻的位移大小看质点离开平衡位置距离的大小即可，也可比较图像中纵坐标值的大小．方向由坐标值的正负判断或质点相对平衡位置的方向判断．

2．判断质点任意时刻的加速度(回复力)大小和方向

由于加速度(回复力)的大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，所以只要从图像中得出质点在任意时刻的位移大小和方向即可．

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1．简谐振动的一般表达式为x＝A sin (bc925b9f5636369aa0e5f5a11ac30d01.pngt＋φ)．

(1)x表示振动质点偏离平衡位置的位移，t表示振动时间．

(2)A表示简谐运动的振幅．

(3)bc925b9f5636369aa0e5f5a11ac30d01.pngt＋φ叫简谐振动的相位．初始时刻t＝0时的相位为φ，叫做初相位．简称初相．

(4)圆频率(也叫角频率)：ω＝bc925b9f5636369aa0e5f5a11ac30d01.png＝2πf.

2．如果两个简谐运动的频率相等，其初相位分别为φ1和φ2，当φ2＞φ1时，它们的相位差是φ2－φ1.

(1)若φ2－φ1＝0，称之为同相．

(2)若φ2－φ1＝π，称之为反相．

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1．x＝Asin ωt中的A为振幅是矢量．(×)

2．简谐运动的位移表达式与计时时刻物体所在位置无关．(×)

3．一个物体运动时其相位变化2π，就意味着完成一次全振动．(√)

4．简谐运动的表达式x＝Asin(ωt＋φ)中，ωt＋φ的单位是弧度．(√)

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1．有两个简谐运动：x1＝3asin81aa847ef6ac99bc881089f37bf80c04.png和x2＝9asin 69b783a9115130532657fd33f22b3269.png，它们的振幅之比是多少？频率各是多少？

【提示】　它们的振幅分别为3a和9a，比值为1∶3；频率分别为2b和4b.

2．简谐运动的相位差Δφ＝φ2－φ1的含义是什么？

【提示】　两个简谐运动有相位差，说明其步调不相同，例如甲和乙两个简谐运动的相位差为003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.pngπ，意味着乙总比甲滞后265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.png个周期或265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.png次全振动．

1．根据表达式画振动图像

(1)根据x＝Asin (bc925b9f5636369aa0e5f5a11ac30d01.pngt＋φ)找出振幅A和振动周期T；

(2)令t＝0，找出初始时刻的位移x(x的正、负要有明确表示)；

(3)选好标度，画出正弦函数图像．

2．根据图像写表达式

(1)从图像中找出振幅A和周期T；

(2)根据t＝0时的位移求出初相φ，即x0＝Asin φ；

(3)把A、φ代入表达式x＝Asin (bc925b9f5636369aa0e5f5a11ac30d01.pngt＋φ)即可．(若图像为余弦或其他形式也可以用该方法求得，只不过φ不相同)．

4．物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin16c7246a936c658dd5a8adf202e580fb.png m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sine650be652cf35671ddc165fdea505ee4.png m．比较A、B的运动(　　)

A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m

B．周期是标量，A、B周期相等，为100 s

C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB

D．A振动的圆频率ωA等于B振动的圆频率ωB

E．A的相位始终超前B的相位5a777e0b4347abb14c3c394ee80f7e68.png

【解析】　振幅是标量，A、B的振幅分别是3 m，5 m，A错；A、B的圆频率ω＝100，周期T＝3a0e0b4365a970a6cf10b135e8b247f0.png＝75becd0542996b2da7531b6927c3fbf2.png s＝6.28×10－2 s，B错，D对；因为TA＝TB，故fA＝fB，C对；Δφ＝φAO－φBO＝4f721218eba5d18ccd316b88f7a3735f.png为定值，E对．

【答案】　CDE

5．一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动．可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s．当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐．地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船．在一个周期内，游客能舒服登船的时间是________．

【解析】　由于振幅A为20 cm，振动方程为y＝Asinωt(平衡位置计时，ω＝bc925b9f5636369aa0e5f5a11ac30d01.png)，由于高度差不超过10 cm，游客能舒服地登船，代入数据可知，在一个振动周期内，临界时刻为t1＝57cbcca3afc5d2f333fc03cc067c8b24.png，t2＝996998fb8ca8fc12ea170dc0cbcb688b.png，所以在一个周期内舒服登船的时间为Δt＝t2－t1＝1322a14627b8cfc888a75b3c28b4c2fd.png＝1.0 s.

【答案】　1.0 s

6．一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动，试写出用正弦函数表示的振动方程，并画出相应的振动图像．

【解析】　简谐运动的表达式为x＝Asin(ωt＋φ)，根据题目所给条件得A＝8 cm，ω＝2πf＝π，所以x＝8sin(πt＋φ)，将t＝0，x0＝4 cm代入得4＝8sin φ，解得初相φ＝2d92062ca55eeb1d9ee7279c5d828e14.png或φ＝dce86acf8e7cbf373b1b85b330778472.pngπ，因为t＝0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取φ＝dce86acf8e7cbf373b1b85b330778472.pngπ，所求的振动方程为x＝8sin(πt＋dce86acf8e7cbf373b1b85b330778472.pngπ) cm，画对应的振动图像如图所示．

【答案】　见解析

用简谐运动表达式解答振动问题的方法

1．明确表达式中各物理量的意义，可直接读出振幅、圆频率、初相．

2．ω＝bc925b9f5636369aa0e5f5a11ac30d01.png＝2πf是解题时常涉及到的表达式．

3．解题时画出其振动图像，会使解答过程简捷、明了．