数与代数

专题二 数的运算

浙江省舟山市第一小学 周莹（小）

考点精讲

一、 四则运算的意义、关系及运算顺序。

加法：把两个数（或几个数）合并成一个数的运算，叫做加法；相加的两个数叫做加数；加得的数叫做和。

加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数

减法：已知两个数的和与其中的一个加数求另一个加数的运算，叫做减法；在减法中，已知的和叫做被减数；已知的一个加数叫做减数；减得的数叫做差。

被减数－减数＝差 被减数－差＝ 减数 差＋减数＝被减数

乘法：求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。相乘的两个数叫做因数（乘数）；乘得的数叫做积。

因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数

除法：已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。在除法中，已知的积叫做被除数；已知的因数叫做除数；除得的结果叫做商。

被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数

减法是加法的逆运算；乘法是除法的逆运算；乘法是加法的一种特殊形式（加数相同的加法的简便形式）。

计算一个没有括号的算式，要先乘除后加减；计算一个有括号的算式，要先算括号里的再算括号外的，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。

二、 整数、小数、分数四则运算的计算方法。

整数加法：相同数位对齐，从个位加起。哪一位上的数相加满十，就要向前一位进1。

整数减法：数位对齐，从个位减起。哪一位上的数不够减，要从前一位退1。（若前一位是0，则向再高一位借一作十，逐位退下来）

整数乘法：先用一个乘数个位上的数去乘另一个乘数，得数的末位与乘数的个位对齐。再用这个乘数十位上的数去乘另一个乘数，乘得的积与乘数的十位对齐 ……，最后把各次乘得的积加起来。

整数除法：

从被除数的最高位除起，除数是一位数就先试除被除数的前一位，如果它比除数小，再试除前两位；除数是两位数就先试除被除数的前两位，如果它比除数小，再试除前三位；除到被除数的哪一位，就在那一位的上面写商；求出每一次除后余下的数，跟被除数余下数位的数合起来继续除，要注意每一次余下的数都必须比除数小。

小数加减法：先把小数点对齐，再按整数加减法的方法计算。

小数乘法：先按照整数乘法算出积，再点小数点；点小数点时，要看所有因数中一共有几位小数，就从积的最末位起数出几位，点上小数点；若乘得的积的小数位数不够，要在前面用0补足，再点小数点。

小数除法：先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动相同的位数（位数不够，在末位用零补足）；然后按除数是整数的除法计算。（商的小数点要和被除数的小数点对齐）

小数四则运算，计算结果的小数部分末尾是0，根据小数的基本性质，可以省略不写。

分数加减法： 同分母的分数加减法，分母不变，只把分子相加减。异分母分数相加减，先通分，然后按同分母分数加减法进行计算。

分数乘法：用分子相乘的积作分子，分母相乘的积做分母（能约分的先约分再乘可以使计算简便）。

分数除法：根据“一个数除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数”这条规律，将分数除法转化成分数乘法计算。

分数四则运算，计算结果能约分的一般要约成最简分数。

整数、小数、分数的加减法中末位对齐、小数点对齐、通分的目的都是为了统一计数单位，因为加减法中只有相同计数单位的数才能直接相加减；小数乘法是先转化为整数乘法来计算的，小数除法也是先把除数转化成整数后，按除数是整数的除法来计算的；分数除法是用乘“除数的倒数”转化成分数乘法来计算的。

三、 运算定律及应用

交换律：加法a＋b＝b＋a 乘法 a×b＝b×a

结合律: 加法(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 乘法(a×b) ×c＝a×(b×c)

乘法分配率: a×(b＋c)＝a×b＋a×c

商不变性质: a÷b=（a×c）÷（b×c） a÷b=（a÷c）÷（b÷c）

注：c≠0

减法运算性质a－b－c＝a－(b＋c)

除法运算性质a÷b÷c＝a÷(b×c)

四、 问题解决及常见的数量关系。

单价×数量=总价；每件商品的价钱，叫做单价；买了多少，叫做数量；一共用的钱数，叫做总价。

路程×时间=路程；一共行了多长的路，叫做路程；每单位时间（每小时，每分钟等）行的路程，叫做速度；行驶的几小时、几分钟等，叫做时间。

解决问题时，首先要理解题意，弄清楚已知的信息和所求问题；然后分析数量关系并列式；最后还要检验结果，反思解决问题的过程。

易漏的知识点

乘法的运算规律：比0大的数乘一个数，如果这个乘数比1大，乘得的结果一定比原数大；如果这个乘数比1小，结果一定比原数小。如果这个乘数等于1，则结果和原数相等。

除法的运算规律：一个比0大的数除以一个数，如果这个除数比1大，除得的结果一定比原数小；如果这个除数比1小，结果一定比原数大。如果这个除数等于1，则结果和原数相等。

关于0的运算：0乘或除以一个不是0的数，结果一定得0；一个数加上或减去0仍得原数。

四则混合算式中，当乘除法被加减法隔开、两个括号被运算符号隔开这样“两肩挑”的情形，乘除法或者两个括号可以同时运算。

估算算式的答案，一般只需按四舍五入法对参与运算的数取近似数后直接计算即可；用估算解决问题时要根据解决问题的实际需要决定往大估或这往小估；估计时要根据实际情况调整估算的精度。

易错的知识点

加减法计算，谨记只有相同计数单位上的数才能直接相加减的总法则。减法运算时一定是被减数去减减数的每一位，而不是大数减小数，避免出现某些数位“倒减”的情况。

商中间或者末位有“0” 的除法计算：“除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果那一位上不够商1，一定要补“0”占位。谨记除一次写商一次，除被除数的首位上有可能没有写商外，被除数的其余数位每一位上都应该有写商。

谨记利用“商不变性质”做除法，商不变余数要变！即把被除数和除数同时扩大或缩小除得商后，若有余数，要把余数反过去缩小或者扩大相应的倍数，调整回原来的大小。

除数是两位数的除法估算：要根据除数的近似数确定商，估算结果一般为整数且没有余数。

0不能当除数，因为这时若被除数不是0，会出现商不存在；若被除数也是0，则会出现商有无数种答案。因为这两种现象都是我们运算时不想看到的结果。因此，0还不能当分母、不能作比的后项、0也不能求倒数。

简便运算时，算式的每次变形都要有运算规律或运算性质作依据，避免无依据的乱简便、避免受“125×8”、“25×4”等表面现象干扰，简便过程中整个算式的总结果恒等不变是判断简便对错的终极标准。

当计算结果是分数时，一般要化分子与分母互质，即要检查最后结果是否为最简分数再停笔。

典型考题分析

例1 1.37-0.7=（ ） 56－17=（ ）

分析：

此题是减法计算法则的应用。学生对于此类计算题很熟悉，大多数同学会按笔算的方法直接口算。因为比较简单，往往忽视“相同数位相加减”，“用被减数的个位减去减数的个位”等规则，出现“1.3”和“41”的错误计算结果。讲解时建议放在一组口算题中，先请学生独立计算，再分析错误原因，引起重视。

例2 4.98×1.01 ○ 4.98 3.56×0.89 ○ 3.56

4.79÷0.92 ○ 4.73 9.52÷8.9 ○ 9.6

分析：本题为大小比较题。计算后再比较或应用乘除法运算规律都可以解决问题。从数据来看，先计算再比较狠繁琐，运用规律比较则简单得多。两道乘法是运算规律的直接应用，两道除法还需要多一次比较。如第3题，根据除法的运算规律“4.79÷0.92”的结果一定比4.79大，4.79大于4.73，根据传递性，4.79÷0.92＞4.73

例3 28×＋28× 28÷＋28÷

分析：本题为简便运算的对比题组，前者可以根据乘法结合律行进简便运算，后者则不行。本题意在引导学生在简便运算时要根据运算规律或性质简便，不能无依据地单纯追求凑整。当没有运算定律或性质做依托时，则要按照原来的运算顺序和计算法则进行计算。

例4

分析：本题组在审题不够仔细的情况下，第一题容易先做两边乘法，第二题容易错误地使用乘法分配律，从而造成计算出错。其次，根据算式的具体情况，灵活合理选择计算方法也是计算时需要研究的问题。第一题除了从左往右依次计算的常规方法外，把“”看作一个被除数去除以，不失为一种灵活的方法（因为计算时把被除数与除数看成分数的分子与分母，里面相同的可以约去），使计算更为简便。第二题则是对学生在分数小数混合运算时，小数转化为分数、分数转化为小数或者小数分数直接约分三种方法的灵活选择的考查。同时本题也是乘除法被加减法隔开，可以同时计算情形的应用，书写上三步计算两个递等号就可以完成。

例5 一篇文章1180字，小丁叔叔平均每分钟打42个字，31分钟能打完吗？

分析：本题重在解决问题策略的选择，学生可以选择精确计算或估算。题目中虽然没有“大约”等要求估算的词语出现，但从解决问题的需要来看，本题不需要具体多长时间能够完成工作的精确数据，因此可以选择估算。

精确计算：

1）1180÷42＝28 28＜31 31分钟能打完这篇文章。

2）42×31＝1302（个） 1302＞1180 31分钟能打完这篇文章。

估算：

1) 1180÷42≈30（分） 30＜31 31分钟能打完这篇文章。

2) 42×31＞1200 1200＞1180 31分钟能打完这篇文章。

专题训练

一、 填空

1. 51的是（ ）；（ ）的是12。

2. 在算式（ ）÷9=106……（ ）中，被除数最大的是（ ）。

3. 从9.6里连续减去（ ）个0.24，结果是0。

4. 两个数积是70，一个因数扩大100倍，另一个因数缩小到原来,积是（　）。

5. + + + + + = （ ）。

6. 减数是被减数的，差是减数的（ ）。

7. 5÷9的商用小数表示是（　　），保留三位小数约是（　　）。

8. 有一块布料，做上衣用去米，做裤子用去米，还剩12 米，这些布料一共用去（ ）米。

9. 两个数相除的商是18.6，如果被除数和除数都扩大到它的10倍，商是（ ），如果被除数扩大到原来的100倍，除数不变，商是（ ），如果被除数不变，除数缩小到它的，商是( )。

10. 20以内最大质数与最小合数的和除以它们的差，列式为（ ）。

11. 在○里填上“＞”、“＜”或“＝”。

×○ 12×○12÷3×2 ÷○ 12÷○12÷2×3

二、 判断题

1. 4100÷800＝41÷8＝5……1 （ 　　）

2. 3.2÷0.12，商是26，余数是8。 （　 　）

3. 35元减少元后，再增加它的，结果是35元。 （　 　）

4. 一个大于0的数除以的商，比这个数乘的积大。 （　 　）

5. 3＋42÷7×0 = 0 （　 　）

三、 计算

1．直接写出得数。

1.25÷＝ 1.5－＝ ÷4 ＝ ×÷×＝

8÷0.02＝ 25＋7.5＝ 25×40%＝ 0.5×（1.6－1）÷0.5＝

2.估算

387 ＋ 1319 ≈ 745 － 287 ≈ 316 × 28 ≈ 1432 ÷72 ≈

3.竖式计算并验算

19.2-18.34= 9.435+8.37= 5.65×46= 246÷2.4=

4.递等式计算

[12-（5.6+3.8）]÷1.3 —0.75 +—0.25 ×0.21＋0.79÷

1800÷25—15 （×－）× 18×17×(－)

参考答案：

一、填空

9 12 962 40 700 0. 0.556 12 18.6 1860 186 （19＋4）÷（19－4）

二、判断

×××√×

三、计算

1. 10 400 32.5 10 0

2. 1700 400 9000 20

3. 0.86 17.805 255.76 102.5

4. 2 1 57 1