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    2016年北京市高考文科数学试题及答案-

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    2016年普通高等学校招生全国考试
    数学（文）（北京卷）
    本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。

    第一部分（选择题共40分）

    一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
    （1）已知集合A{x|2x4},B{x|x3或x>5}，则AB

    （A）{x|2<x<5} （B）{x|x<4或x>5} （C）{x|2<x<3} （D）{x|x<2或x>5} （2）复数12i= 2i（A）i（B）1+i（C）i （D）1i
    （3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为 （A）8 （B）9 （C）27 （D）36



    （4）下列函数中，在区间(1,1 上为减函数的是 （A）y1 （B）ycosx （C）yln(x1 （D）y2x 1x（5）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为
    （A）1 （B）2 （C）2 （D）22 （6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为
    （A）1289 （B） （C） （D） 525255（7）已知A（2，5），B（4，1）.若点P（x，y）在线段AB上，则2x−y的最大值为
    （A）−1 （B）3 （C）7 （D）8
    （8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛
    —
    成绩，其中有三个数据模糊. 学生序号
    1     2     3     4     5     6     7     8     9     10 立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳（单位：次）
    63     a     75     60     63     72     70 a−1 b     65 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则
    （A）2号学生进入30秒跳绳决赛 （B）5号学生进入30秒跳绳决赛 （C）8号学生进入30秒跳绳决赛 （D）9号学生进入30秒跳绳决赛
    第二部分（非选择题共110分）
    二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
    （9）已知向量a=(1,3,b(3,1 ，则a与b夹角的大小为_________. （10）函数f(xx(x2的最大值为_________. x1（11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.
    x2y2(12 已知双曲线221 （a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（5 ,0），则a=_______；abb=_____________. (13在△ABC中，A2b ，a=3c，则=_________. c3(14某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有______种； ②这三天售出的商品最少有_______种.
    三、解答题（共6题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
    （15）（本小题13分）
    已知{an}是等差数列，{bn}是等差数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4. （Ⅰ）求{an}的通项公式；
    （Ⅱ）设cn= an+ bn，求数列{cn}的前n项和.

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    2
    —


    （16）（本小题13分）
    已知函数f（x）=2sin ωx cos ωx+ cos 2ωx（ω>0）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；
    （Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.


    （17）（本小题13分）
    某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：

    （I）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
    （II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.



    （18）（本小题14分）
    如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC,DCAC （I）求证：DC平面PAC； （II）求证：平面PAB平面PAC；
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    3
    —
    (III设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA平面CEF?说明理由.

    （19）（本小题14分）

    x2y2已知椭圆C：221过点A（2,0），B（0,1）两点. ab（I）求椭圆C的方程及离心率；
    （II）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.

    （20）（本小题13分） 设函数fxxaxbxc.
    3    2（I）求曲线yfx.在点0,f0处的切线方程；
    （II）设ab4，若函数fx有三个不同零点，求c的取值范围；
    2（III）求证：a3b＞0是fx.有三个不同零点的必要而不充分条件.

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    2016年普通高等学校招生全国统一考试
    数学(文(北京卷参考答案
    一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
    （1）C （2）A （3）B （4）D （5）C （6）B （7）C （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）6 （10）2 （11）32 （12）1 2 （13）1 （14）16 29 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（I）等比数列bn的公比qb3b93， 23所以b1b2q1，b4b3q27． 设等差数列an的公差为d． 因为a1b11，a14b427， 所以113d27，即d2．
    所以an2n1（n1，2，3，）．
    （II）由（I）知，a1，bn1n2nn3． 因此cn1nanbn2n13．
    从而数列cn的前n项和
    S1n132n1133n
    n12n1123n13
    n23n12．
    （16）（共13分）
    解：（I）因为fx2sinxcosxcos2x
    sin2xcos2x
    欢迎下载 —
    5
    —
    2sin2x，
    4所以fx的最小正周期依题意，2． 2，解得1．
    2sin2x．
    4（II）由（I）知fx函数ysinx的单调递增区间为2k由2k得k2,2k（k）． 222x42k2，
    3xk． 883,k（k）． 88所以fx的单调递增区间为k（17）（共14分）
    解：（I）由用水量的频率分布直方图知，
    该市居民该月用水量在区间0.5,1，1,1.5，1.5,2，2,2.5，2.5,3内的频 率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15．
    所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%． 依题意，w至少定为3．
    （II）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表： 组号 分组 频率
    1     2     3     4     5     6     7     8 2,4
    0.1
    4,6
    0.15
    6,8
    0.2
    8,10
    0.25
    10,12
    0.15
    12,17 17,22 22,27
    0.05
    0.05
    0.05
    根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：
    40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.05
    ． 10.5（元）（18）（共13分）
    解：（I）因为C平面CD，
    所以CDC． 又因为DCC， 所以DC平面C．
    （II）因为//DC，DCC， 所以C．
    因为C平面CD， 所以C．
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    6
    所以平面C．
    所以平面平面C．
    （III）棱上存在点F，使得//平面CF．证明如下： 取中点F，连结F，C，CF． 又因为为的中点， 所以F//．
    又因为平面CF， 所以//平面CF．


    （19）（共14分）
    解：（I）由题意得，a2，b1．
    所以椭圆C的方程为x24y21． 又ca2b23， 所以离心率eca32． （II）设xy220,0（x00，y00），则x04y04．
    又2,0，0,1，所以， 直线的方程为yy0x2x2． 0令x0，得y2y0x2，从而1y2y01x．002直线的方程为yy01xx1．
    0令y0，得xx0y，从而2x2x0．01y01所以四边形的面积
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    7
    —
    S    1
    2x2y01201 2y01x0222x04y04x0y04x08y04
    2x0y0x02y022x0y02x04y04
    x0y0x02y022．
    从而四边形的面积为定值． （20）（共13分）
    解：（I）由fxxaxbxc，得fx3x2axb．
    3    2    2因为f0c，f0b，
    所以曲线yfx在点0,f0处的切线方程为ybxc． （II）当ab4时，fxx4x4xc，
    3    2所以fx3x8x4．
    2令fx0，得3x28x40，解得x2或x2．
    3fx与fx在区间,上的情况如下：
    x
    ,2


    2
    22,
    32 32, 3

    fx fx
    所以，当c0且c0
    c


    0
    c32
    272320时，存在x14,2，x22,，
    3272x3,0，使得fx1fx2fx30．
    3由fx的单调性知，当且仅当c0,3232时，函数fxx4x4xc有三个不同零点． 27欢迎下载 8
    （III）当4a212b0时，fx3x22axb0，x,，
    此时函数fx在区间,上单调递增，所以fx不可能有三个不同零点．
    当4a212b0时，fx3x22axb只有一个零点，记作x0．
    当x,x0时，fx0，fx在区间,x0上单调递增； 当xx0,时，fx0，fx在区间x0,上单调递增． 所以fx不可能有三个不同零点．
    综上所述，若函数fx有三个不同零点，则必有4a212b0． 故a23b0是fx有三个不同零点的必要条件．
    当ab4，c0时，a23b0，fxx34x24xxx22只有两个不同零点， 所以a23b0不是fx有三个不同零点的充分条件． 因此a23b0是fx有三个不同零点的必要而不充分条件．

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