3.3 几何概型

自我检测

基础达标

一、选择题

1．圆内有一内接正方形，今投射1镖，则落入正方形内的概率是（　　）

A．word/media/image1_1.png B．word/media/image2_1.png

C．word/media/image3_1.png D．word/media/image4_1.png

答案：B

2．在线段［0，3］上任取一点，则此点坐标不小于2的概率是（　　）

A．word/media/image5_1.png B．word/media/image6_1.png

C．word/media/image7_1.png D．word/media/image8_1.png

答案：A

3．两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率为（　　）

A．word/media/image5_1.png B．word/media/image7_1.png

C．word/media/image6_1.png D．word/media/image9_1.png

答案：A

4．有1杯10升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，则小杯水中含有这个细菌的概率为（　　）

A．0.1 B．0.01

C．0.001 D．0

答案：B

二、填空题

5．公交车30 min一班，在车站停2min，某乘客到达站台立即乘上车的概率是________.

答案：word/media/image10_1.png

6．某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，假定电台每小时报时一次，则他等待的时间短于10min的概率为__________.

答案：word/media/image11_1.png

解析：设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于［50，60］时间段内，因此由几何概型的概率公式得，P（A）=word/media/image12_1.png=word/media/image13_1.png．

三、解答题

7．现向如右图所示的正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分的概率.

解：由word/media/image15_1.png

得A（word/media/image16_1.png，-1）.

∵B(1,-1),∴|AB|=1-word/media/image17_1.png=word/media/image18_1.png．

同理，由word/media/image19_1.png得y=word/media/image7_1.png.

∴C(1, word/media/image7_1.png),

∴|BC|=word/media/image7_1.png-(-1)= word/media/image20_1.png.

∴S△ABC=word/media/image21_1.png×word/media/image18_1.png×word/media/image22_1.png=word/media/image23_1.png．

而正方形面积为2×2=4．

因此所求概率为word/media/image24_1.png．

8．设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连结，求弦长超过半径的概率.

解：如右图所示，|AB|= |AC| =OB（半径），则弦长超过半径，相当于动点落在阴影部分所在的扇形圆弧上.由几何概型的概率计算公式，得P=word/media/image26_1.png.

答：弦长超过半径的概率为word/media/image7_1.png.

9．设有一均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间［0，1］上的诸数字，另一半均匀地刻上区间［1，3］上的诸数字.旋转这陀螺，求它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于［0.5,1.5］上的概率.

解析：如右图，旋转陀螺，其圆周上任一点与桌面的接触是等可能的，因此只要接触点落在阴影部分，就表示圆周上触及桌面的刻度位于［0.5,1.5］，由几何概型求概率公式得

P=word/media/image28_1.png

更上一层

1．一个服务窗口每次只能接待一名顾客，两名顾客将在8小时内随机到达.顾客甲需要1小时服务时间，顾客乙需2小时.求两人都不需要等待的概率.

解：设顾客甲到达的时间为x，顾客乙到达的时间为y.则

0≤x≤8　0≤y≤8

无人需要等待所包含的基本事件为

y-x≥1　x-y≥2

试验的每个结果都是等可能的，由几何概型的条件知，只要在阴影部分就表示无人需要等待.

∴P=word/media/image30_1.png=66.4%．

2．把长度为a的木棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率.

分析：要构成三角形，则必须满足三角形中任意两边之和大于第三边，关键在于确定它所包含的基本事件.

解：设其中两段的长为x、y，则所有基本事件：

x>0,y>0　x+y

而构成三角形所包含的基本事件：

x<word/media/image32_1.png,y<word/media/image33_1.png,x+y>word/media/image34_1.png.

P=word/media/image35_1.png=0.25．

答：可构成三角形的概率是0.25．

3．从甲地到乙地有一班车在9：30到10：00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9：45到10：15出发的汽车到丙地去，问他能赶上车的概率是多少？

思路分析：到达乙地的时间是9.5时到10时之间的任一时刻，汽车从乙地出发的时间是9.75时到10.25时之间的任一时刻，如果在平面直角坐标系内以x轴表示到达乙地的时间，y轴表示汽车从乙地出发的时间，因为到达乙地时间和汽车从乙地出发的时间是随机的，则随机试验的所有结果（x,y)是正方形内等可能的任一点，事件A（他能赶上车）发生的充要条件是x≤y，即对应正方形内阴影部分，事件A发生的概率只与阴影部分的面积有关，适用于几何概型.

解析：在平面直角坐标系内，以x和y分别表示到达乙地和汽车从乙地出发的时间，则能赶上汽车的充要条件是x≤y.而（x,y）的所有可能结果是边长为0.5的正方形，而可能赶上车的时间由上图中的阴影所表示.这是一个几何概率问题.

由公式得

P（A）=word/media/image37_1.png=0.875．

答案：能赶上车的概率为0.875．

一、选择题

1．下列属于相对脆弱的自然生态系统的是(　　)

A．绿洲荒漠交界带　　　　 B．水土流失严重区

C．地质灾害易发区 D．高寒带生态系统

解析：选D　相对脆弱的自然生态系统常见的有海岛生态系统、干旱区生态系统和高寒带生态系统等。

2．下列属于非洲的荒漠化问题特别严重的自然原因是(　　)

A．气候干旱 B．乱垦滥伐

C．过度放牧 D．破坏植被

解析：选A　非洲北部为热带沙漠气候，降水稀少，气候干旱，荒漠化问题特别严重；乱垦滥伐、过度放牧和破坏植被为人为原因。

新中国成立以来，我国沙漠化土地面积不断扩大，河北怀来沙漠离北京天安门已不足70 km。我国形成的沙漠化土地有85%是滥垦、滥牧和滥伐森林的结果；10%是水资源利用不当和工矿建设破坏林草造成的；5%是沙丘入侵农田和草场所致。据此完成3～4题。

3．这些沙漠化土地主要分布在(　　)

A．华南、华东和华北地区

B．西北、西南和东北地区

C．西北、东北和华北地区

D．东北、华北和西南地区

4．这些沙漠化土地的形成(　　)

A．主要是人类对土地进行不合理的开发和利用，使植被受到破坏所致

B．是人类发展工农业所致

C．主要是由于降水减少，蒸发加剧

D．是由于气候干旱，沙丘不断向农牧业土地推进

解析：3.C　4.A　第3题，沙漠化土地主要分布在干旱、半干旱和具有旱害的半湿润地区，在我国主要分布在东北、华北和西北地区。第4题，由材料可知，我国形成的沙漠化土地有85%是滥垦、滥牧和滥伐森林的结果。

位于长江中上游的某茶场，茶园面积600亩，每年四月、七月、十一月要锄草三次，久而久之，茶园“消瘦”了。同时，锄草需要大量劳动力，困惑之际，茶场主人想到“羊喜吃嫩草，却不吃嫩茶”，于是把羊引进茶园，既节约人力、物力，又保持了水土，肥沃了茶园，可谓一举两得。据此完成5～7题。

5．长江中上游植被破坏后，给下游地区带来的危害是(　　)

A．泥沙淤积河、湖，洪水排泄不畅，致使洪涝灾害频繁

B．水土流失日趋严重

C．气候恶化，导致全球气候变暖

D．河流径流的季节变化减小

6．根据长江流域地理特征可以推知，三次锄草中，水土流失最严重的是(　　)

A．四月、七月 B．四月

C．七月 D．十一月

7．茶园“消瘦”的主要原因是(　　)

A．缺乏分解者

B．缺少枯枝落叶

C．土壤中有机质被微生物分解

D．表层土壤被大量冲走

解析：5.A　6.C　7.D　第5题，长江中上游植被破坏后，导致水土流失加重，河流含沙量增大，因而造成下游淤积严重，洪水排泄不畅，致使洪涝灾害频繁。第6题，长江流域降水夏季最为集中，在暴雨冲刷下，水土流失严重，因此四月、七月、十一月相比，水土流失最严重的是七月。第7题，从材料中可以看出茶园“消瘦”的主要原因是水土流失造成的表层土壤被大量冲走。

二、综合题