七年级数学第七章：生活中的轴对称 第一节、第二节北师大版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

第七章：生活中的轴对称

第一节：轴对称现象

第二节：简单的轴对称图形

［教学要求］

1、认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形和对称轴。

2、观察生活中的轴对称现象，探索轴对称现象的共同特征，从而进一步发展空间观念，平分线、线段垂直平分线的有关性质，掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质。

［重点及难点］

1、重点是了解生活中的轴对称图形，能够判定一个图形是否为轴对称图形，并能确定其对称轴，难点是体会轴对称在现实生活中的广泛运用和它的丰富文化价值。

2、重点是点到直线距离、垂直平分线、等腰三角形与等边三角形的概念与性质。难点是垂直平分线的性质和等腰三角形的性质及其应用。

［知识要点］

1、如果一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

关于轴对称的概念中包括两层意思：（1）两个图形（2）沿某直线对折能够互相重合。

2、轴对称和轴对称图形的区别与联系

区别：

（1）轴对称是说两个图形的位置关系，轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形。

（2）轴对称是对两个图形说的，轴对称图形是对一个图形说的。

联系：

（1）它们的定义中，都有沿某直线折叠，图形重合。

（2）如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形，反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。

3、角是轴对称图形

（1）角是轴对称图形

如图（1），设OC是∠AOB的角平分线，若沿着OC将∠AOB对折，则∠AOC与∠BOC能够完全重合，因此，角是轴对称图形，而角平分线所在直线就是它的对称轴，也只有这一条对称轴。

（2）点到直线的距离

如图（2），设A为直线l外一点，过点A作l的垂线，垂足为B，则线段AB的长叫做点A到直线l的距离，而当A在直线l上时，我们认为A到直线l的距离为0。

（3）角平分线性质

角平分线上的任意一点到角两边的距离相等。

4、线段是轴对称图形

（1）线段是轴对称图形

如图（3），设O是线段AB的中点，经过O点与AB垂直的直线为l，则将线段AB沿着直线l折叠后，线段OA能与OB重合，故线段是轴对称图形，如图（3）中的直线l就是线段AB的对称轴。

（2）线段垂直平分线

过线段的中点且和这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线。（简称中垂线）

线段的垂直平分线是这条线段的对称轴。

线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

5、等腰三角形

（1）等腰三角形的概念

如图（4），△ABC中AB＝AC，我们称这种有两条边相等的三角形为等腰三角形，相等的两条边均称为等腰三角形的腰，第三条边则称为底边，两腰的夹角称为顶角，腰与底边的夹角称为底角。

（2）等腰三角形的性质

a等腰三角形是轴对称图形

b等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高重合

（也称“三线合一”），它们均为等腰三角形的对称轴。

c等腰三角形的两个底角相等，如图（4），∠B＝∠C

（3）等边三角形

我们称三边均相等的三角形是等边三角形，也称为正三角形。

a等边三角形是轴对称图形，而且它有三条对称轴，事实上，等边三角形的三条高线所在直线就是它的对称轴。

b等边三角形的三个内角均为60°。

【典型例题】

例1. （1）如图，①正三角形②正四边形③正五边形④正六边形⑤正八边形都是轴对称图形，数一数它们的对称轴的条数，填入下表：

（2）观察后分析，正多边形对称轴的条数与边数n有什么关系?

（3）根据你的分析结果回答：正九边形、正十二边形有几条对称轴?

解：（1）

（2）正多边形对称轴的条数与边数n相等。

（3）由（2）知，正九边形有九条对称轴，正十二边形有十二条对称轴。

例2. 下列图形是由两个字母A和H构成的（把A和H看作是轴对称图形）

A H A H A H A H A H A H…

（1）请仔细观察其中的变化规律，回答以下两个问题：

①第100个字母是什么?

②图形中的字母A在2006个字母中一共出现多少次?

（2）从左往右在图案中取多少个字母能构成一次轴对称?

解：（1）①第100个字母是H。

②图形中的字母A在2006个字母中一共出现1003次。

（2）从左往右在图案中取奇数个字母能构成一次轴对称。

例3. 如图，已知CD垂直平分线段AB，AB平分∠CAD，求证： CB∥AD

分析：欲证线段平行，往往先证有关角相等，如∠B＝∠BAD，再结合角平分线的性质，又可实现角的转换，只须证∠B＝∠CAB，而此式只需用垂直平分线性质即可得证。

证明：CD垂直平分线段AB→CA＝CB→∠CAB＝∠CBA

AB平分∠CAD→∠CAB＝∠DAB →∠DAB＝∠CBA→

CB∥AD（内错角相等，两直线平行）

例4. 如图，已知AB＝AC，DB＝DC，P是AD上一点，求证： ∠ABP＝∠ACP

分析：本题欲证∠ABP＝∠ACP，注意到∠ABP＝∠ABC－∠PBC， ∠ACP＝∠ACB－∠PCB，不妨先探讨∠ABC与∠ACB， ∠PBC与∠PCB的关系。

证明：连接BC，AB＝AC（已知）→∠ACB＝∠ABC

点A、D都在线段BC的垂直平分线上，而两点确定一条直线→AD就是线段BC的垂直平分线→PC＝PB→∠PBC＝∠PCB

∠ABC－∠PBC＝∠ACB－∠PCB→∠ABP＝∠ACP

说明：（1）在有线段相等的条件下证明角的相等，常可用恒等变形的方法转化为另外一个角的相等问题来证。（2）本题可以用三角形全等来证。

例5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是边AB上的垂直平分线，交BC于点D，垂足为E，如果∠1：∠2＝1：2，求∠B的度数。

解：DE是边AB上的垂直平分线→AD＝DB→∠DAB＝∠DBA

∠CAB+∠CBA＝90°，∠1：∠2＝1：2→∠CBA＝×90°＝22.5°

【模拟试题】（答题时间：45分钟）

一、填空题

1、如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫（ ），这条直线叫做（ ）

2、对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么这两个图形成（ ），这条直线是（ ）

3、轴对称是指（ ）个图形的位置关系，轴对称图形是指（ ）个具有特殊形状的图形。

4、轴对称图形的对称轴是一条（ ）线。

5、正方形是轴对称图形吗？答：（ ），它共有（ ）条对称轴。

6、两条直角边相等的直角三角形是轴对称图形吗？答：（ ），它有（ ）条对称轴。

7、角是轴对称图形，（ ）线是它的对称轴

8、线段是轴对称图形，它的对称轴是（ ）

9、等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（ ）

10、三边相等的三角形是（ ）三角形，也叫（ ）三角形。

11、角平分线上任意一点到角两边的距离（ ）

12、线段垂直平分线上的点到（ ）距离相等。

13、等腰三角形顶角的（ ）与底边上的（ ）、（ ）重合，它们都是等腰三角形的（ ），也称（ ）

14、等腰三角形的一个内角为40°，则它的一个底角为（ ）

15、有一条对称轴的三角形是（ ）三角形，有三条对称轴的三角形是（ ）三角形。

16、一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，则它的顶角是（ ），底角是（ ）。

二、选择题

1、长方形是轴对称图形，它的对称轴有（ ）

A. 1条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4条

2、轴对称图形的对称轴数（ ）

A. 只有1条 B. 2条 C. 3条 D. 至少1条

3、圆是轴对称图形，它的对称轴有（ ）

A. 1条 B. 2条 C. 4条 D. 无数条

4、下列图形中：（1）等腰三角形（2）直角三角形（3）线段（4）角（5）等腰直角三角形，其中轴对称图形有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

5、等腰三角形的底边长是8厘米，腰长是5厘米，那么这个等腰三角形的周长是（ ）

A. 21厘米 B. 18厘米 C. 18厘米或21厘米 D. 13厘米或26厘米

6、等腰三角形的一个内角为150°，则它的底角为（ ）

A. 30° B. 15° C. 30°或15° D. 50°

7、等腰三角形的一个底角为40°，则它的底角为（ ）

A. 40° B. 70° C. 120° D. 40°或70°

8、下列说法错误的是（ ）

A. 等腰三角形底边上的高是它的对称轴

B. 等腰三角形底边上的中线是它的对称轴

C. 等腰三角形顶角的平分线是它的对称轴

D. 等腰三角形一个角的平分线是它的对称轴

三、两个大小不同的圆可以组成以下五种图形，请找出每个图形的对称轴，并说一说它们的对称轴有什么共同的特点。

四、如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试问DE与DF相等么？为什么？

【试题答案】

一、填空题

1、轴对称图形、对称轴

2、轴对称、对称轴

3、两、一

4、直

5、是、四

6、是、1

7、角平分

8、线段的垂直平分线

9、底边的垂直平分线

10、等边、正

11、相等

12、这条线段的两个端点的

13、平分线、中线、高线、对称轴、三线合一

14、70°或40°

15、等腰、等边

16、36°、72°

二、选择题

1、B 2、D 3、D 4、D

5、B 6、B 7、D 8、D

三、它们的对称轴都经过两圆圆心。

四、相等，证明略。