多元复合函数的二阶偏导数公式

黄世强郑州工业大学数力系　孙跃俊焦作工学院基础部454150摘　要　本文建立了多元复合函数的二阶偏导数公式。关键词　偏导数矩阵内积中图分类号　O17211使用Jacobi矩阵能够给出多元复合函数的一阶偏导数公式1。但是长期以来对于多元复合函数的高阶偏导数却只有运算法则没有计算公式。本文以具有两个中间变元的复合函数为例建立了多元复合函数的二阶偏导数公式。从而使繁冗且易错的运算可以规范化地进行。1　一阶偏导数的各种表示式设函数zfuv∈C2其中uuxy∈C2vvxy∈C2。构造函数矩阵行向量2:A〔f′uf′v〕Bx〔u′xv′x〕By〔u′yv′y〕则成立一阶偏导数公式5z5xf′uu′xf′vv′xABTxABx15z5yf′uu′yf′vv′yABTyABy2其中AT是A的转置ABx是A与Bx的内积。定义　称F�6�9f〃uuf〃uvf〃uvf〃vv为A关于u、v的导数矩阵。2　定理定理一　矩阵A关于x或y的偏导数等于矩阵Bx或By左乘A关于u、v的导数矩阵F。证明5A5x〔55xf′u5A5xf′v〕〔u′xv′x〕f〃uuf〃uvf〃uvf〃vvBxF3同理可得5A5yByF4定理二　设矩阵G〔Υx、y.7x、y〕∈C′则55xAGTBxFGTA55xGT5第18卷　第3期1997年　9月　郑州工业大学学报　JournalofZhengzhouUniversityofTechnology　Vol118　No131Sep1　199755yAGTByFGTA55yGT6　　证明　由式1及内积求导公式2并利用式3有55xAGT55xAG5A5xGA5G5xBxFGTA55xGT同理可得6式。3　复合函数的二阶偏导数公式取GBx或GBy将其分别代入式5、6整理后就有:52Z5x2〔u′xv′x〕f〃uuf〃uvf〃uvf〃vvu′xv′x〔f′u.f′v〕u〃xxv〃xx752Z5y2〔u′yv′y〕f〃uuf〃uvf〃uvf〃vvu′yv′y〔f′u.f′v〕u〃yyv〃yy852Z5x5y〔u′yv′y〕f〃uuf〃uvf〃uvf〃vvu′xv′x〔f′u.f′v〕u〃xyv〃xy9特别地当uuxvvx时有d2Zdx2〔u′v′〕f〃uuf〃uvf〃uvf〃vvu′v′〔f′u.f′v〕u〃v〃。10参考文献1　CGOFFMAN著.史济怀等译.多元微积分.人民教育出版社.19792　谢树艺著.矢量分析与场论第二版.高等教育出版社.1990TheFormulaofPartialDerivativeofSecondOrderonCompoundFunctionofManyVarablesHuangShiqiangZhenzhouUniversityofTechnology　SunYuejunJiaozuoInstituteofTechnology454150Abstract　Inthispapertheformulaofpartialderivativeofsecondorderoncom2poundfunctionofmanyvarablesisestablished.Keywords　partialdifferentialmatrixinnerparitial411　　郑　州　工　业　大　学　学　报1997年