。

。

。

。

内部文件，版权追溯

内部文件，版权追溯

二 综合法与分析法

1．综合法

(1)定义

从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫顺推证法或由因导果法．

(2)证明的框图表示

用P表示已知条件或已有的不等式，用Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为

→→→…→

2．分析法

(1)定义

证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法．

(2)证明过程的框图表示

用Q表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为→→→…→

　已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求证：·≥9.

　可将所证不等式左边展开，运用已知和基本不等式可得证，也可以用x＋y取代“1”，化简左边，然后再用基本不等式．

　法一：∵x>0，y>0，∴1＝x＋y≥2.

∴xy≤.

∴＝1＋＋＋

＝1＋＋＝1＋≥1＋8＝9.

当且仅当x＝y＝时，等号成立．

法二：∵x＋y＝1，x>0，y>0，

∴＝

＝

＝5＋2

≥5＋2×2＝9.

当且仅当x＝y＝时， 等号成立．

综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．

1．已知a，b，c∈R＋，证明不明式：a＋b＋c≥＋＋，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

证明：因为a>0，b>0，c>0，故有

a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立；

b＋c≥2，当且仅当b＝c时，等号成立；

c＋a≥2，当且仅当c＝a时，等号成立．

三式相加，得a＋b＋c≥＋＋.

当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

2．已知a，b，c都是实数，求证：

a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.