一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．抛物线的焦点的坐标是（ ）

A． B． C． D．

2．已知全集，集合，，则等于（ ）

A． B． C D．

3．已知非零实数、，满足，则下列不等式恒成立的是（ ）

A． B． C． D．

4．已知向量，，若，则为（ ）

A． B． C． D．

5．在等比数列中，为其前项和，已知，，则此数列的公比为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

6．设函数，则其反函数的图象是（ ）

7．已知在矩形中，，，沿将矩形折成一个直角二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）

A． B． C． D

8．设 则不等式的解集为（ ）

A． B．

C． D．

9．若曲线在点处的切线为，则点到直线的距离为（ ）

A． B． C． D．

10．若同时具有以下两个性质：①是偶函数；②对于任意实数，都有，则的解析式可以是（ ）

A． B．

C． D．

11．过双曲线的右顶点作斜率为1的直线，若与该双曲线的其中一条渐近线相交于点，则该双曲线的离心率是（ ）

A． B． C． D．

12．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（ ）

A．234 B．346 C．350 D．363

第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．的展开式中的的系数是，

则= ．

14．已知某地教育部门为了解学生在数学答卷中的

有关信息，从上次考试的10000名考生的数学

试卷中，用分层抽样的方法抽取500人，并根据

这500人的数学成绩画出样本的频率分布直方图

(如图)，则这10000人中数学成绩在[140，150]中

的约有 人．

15．在棱长均相等的正三棱柱中，与平面所成的角的正弦值为 ．

16．若以原点为圆心的圆全部在区域内，则圆面积的最大值为 。

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)

17．(本小题满分10分)

在中，角、、的对边分别为、、，且满足．

(1)求角B的大小；

(2)已知函数，求的取值范围。

18．(本小题满分12分)

如图，已知平面，，是

正三角形，且．

(1)若为中点，求证：平面；

(2)求平面与平面所成二面角的大小．

19．(本小题满分12分)

某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间 (单位：年)有关。若，则销售利润为元；若，则销售利润为元；若，则销售利润为元．设每台该种电器的无故障使用时间，及这三种情况发生的概率分别为，，，叉知，是方程的两个根，且

(1)求，，的值；

(2)求销售两台这种家用电器的销售利润总和为200元的概率．

20．(本小题满分12分)

设的极小值为，其导函数的图象经过点，，如图所示。

（1）求的解析式；

（2）若对都有

恒成立，求实数的取值范围。

21．(本小题满分12分)

数列的前项和为，， ．求：

(1)数列的通项；

(2)数列的前项和．

22．(本小题满分12分)

如图，在直角坐标系中，已知椭圆： 的离心率，左、右两个焦点分别为、。过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交、两点，且．

(1)求椭圆的方程；

(2)设椭圆的左顶点为，下顶点为，动点满足，试求点的轨迹方程，使点关于该轨迹的对称点落在椭圆上．

参考答案

1．D 2．D 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．C 9．B 1 0．C 11．A 12．B

13． 14． 15． 16．

提示：

1．D 由，得，所以焦点

2．D 解不等式，得，∴，

∴，故

3．D （法一）当时，推导不出，排除C；故选D。

（法二）∵，为非零实数且满足，∴，即，故选D。

4．D ，，∴，∴．

5．B 两式相减得，∴，∴．

6．C 令，解得，∴．

7．C 可知四面体的外接球以的中点为球心，故

8．C 由已知有或解得或

9．B ，∴，又，

∴切线的方程为，即，∴点到直线的距离为期不远

10．C 对于A、D，与，不是对称轴；对于B，电不是偶函数；对于C，符合要求．

11．A 由题意知直线的方程为，当时，，即点是渐近线上一点，∴，即离心率．

12． B 应先求出2人坐进20个座位的排法。排除2人相邻的情况即可。

共有11+12=23个座位，去掉前排中间3个不能入坐的座位，还有20个座位，则2人坐入20个座位的排法有种，排除①两人坐前排相邻的12种情况；②两人坐后排相邻的22种情况，∴不同排法的种数有（种）．

13． 展开式中的的系数是，

14．800 由图知成绩在中的频率为，所以在10000人中成绩在中的人有人。

15． 设棱长均为2，由图知与到的距离相等，而到平面的距离为，故所成角的正弦值为。

16． 求圆面积的最大值，即求原点到三条直线，和距离的最小值，由于三个距离分别为、、，最小值为，所以圆面积的最大值为。

17．解：（1）由，得，…2分

∴，∵，∴，∴

…………………………………………………………………………4分

∵，∴………………………………………5分

（2）∵，∴，

∴

……………8分

∵，∴，∴……………10分

18．解：（1）证明：延长、相交于点，连结。

∵，且，∴为的中点，为的中点。

∵为的中点，由三角形中位线定理，有

∵平面，平面，∴平面…………………6分

（2）（法一）由（1）知平面平面。

∵为的中点，∴取的中点，则有。

∵，∴

∵平面，∴为在平面上的射影，∴

∴为平面与平面所成二面角的平面角。……………………10分

∵在中，，，

∴，即平面与平面所成二面角的大小为。…………12分

（法二）如图，∵平面，，

∴平面，

取的中点为坐标原点，以过且平行的直线为轴，所在的直线为 轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系。

设，则，，，，

∴，

设为平面的法向量，

则

取，可得

又平面的法向量为，设与所成的角为，………………… 8分

则，

由图可知平面与平面所成二面角为锐角。

∴平面与平面所成二面角的大小为………………………………12分

19．解：（1）由已知得，∵，∴

∵、是方程的两个根，∴

∴，…………………………………………6分

（2）设两台电器无故障使用时间分别为、，则销售利润总和为200元有三种情况：

，；，；，，

其概率分别为；；

∴销售两台这种家用电器的销售利润总和为200元的概率为

………………………12分

20．解：（1）∵，且的图象经过点，，

∴∴

∴

由图象可知函数在上单调递减，在上单调递增，在 上单调递减，

∴，解得，

∴………………………6分

（2）要使对都有恒成立，只需即可。

由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，

在上单调递减，且，，、

∴，

，

故所求的实数的取值范围为………………………12分

21．解：（1）∵，∴，∴

又∵，∴数列是首项为1，公比为3的等比数列， 。

当时，（），∴

（2），

当时，；

当时，，①

②

①-②得：

∴

又∵也满足上式：∴……………………12分22．解（1）∵轴，∴，由椭圆的定义得：

∵，∴……………………2分

又得，∴，∵，∴，，

∴，

∴所求椭圆的方程为……………………5分

（2）由（1）知点，点为，设点的坐标为，

则，，

由得，

∴点的轨迹方程为……………………7分

设点B关于P的轨迹的对称点为，则由轴对称的性质可得，，解得，……………………9分

∵点在椭圆上，∴，整理得

，解得或。

∴点P的轨迹方程为或，……………………11分

经检验和都符合题设，

∴满足条件的点P的轨迹方程为或……………………12分

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