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    2016年江苏省苏州市中考数学试卷带答案解析-

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    2016年江苏省苏州市中考数学试卷


    一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）的倒数是（ ） A． B． C． D．
    2．（3分）肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm，0.0007用科学记数法表示为（ ） A．0.7×10﹣3
    B．7×10﹣3 C．7×10﹣4 D．7×10﹣5
    3．（3分）下列运算结果正确的是（ ） A．a+2b=3ab B．3a2﹣2a2=1
    C．a2•a4=a8 D．（﹣a2b）3÷（a3b）2=﹣b
    4．（3分）一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是（ ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
    5．（3分）如图，直线a∥b，直线l与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1=58°，则∠2的度数为（ ）

    A．58° B．42° C．32° D．28°
    6．（3分）已知点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上，则y1、y2的大小关系为（ ） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2
    D．无法确定
    7．（3分）根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2016年1月1日起对居民生活用水按新的“阶梯水价”标准收费，某中学研究学习小组的同学们在社会实践活动中调查了30户家庭某月的用水量，如表所示： 用水量（吨）
    户数
    15 3
    20 6
    25 7
    30 9
    35 5


    则这30户家庭该用用水量的众数和中位数分别是（ ） A．25，27 B．25，25 C．30，27 D．30，25
    8．（3分）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（ ）

    A．2m B．2m C．（2﹣2）m D．（2﹣2）m
    9．（3分）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（ ）

    A．（3，1） B．（3，） C．（3，） D．（3，2）
    ，E、F分别是AD、10．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（ ）

    A．2

    B． C． D．3
    二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11．（3分）分解因式：x2﹣1= ． 12．（3分）当x= 时，分式的值为0．


    13．（3分）要从甲、乙两名运动员中选出一名参加“2016里约奥运会”100m比赛，对这两名运动员进行了10次测试，经过数据分析，甲、乙两名运动员的平均成绩均为10.05（s），甲的方差为0.024（s2），乙的方差为0.008（s2），则这10次测试成绩比较稳定的是 运动员．（填“甲”或“乙”）
    14．（3分）某学校计划购买一批课外读物，为了了解学生对课外读物的需求情况，学校进行了一次“我最喜爱的课外读物”的调查，设置了“文学”、“科普”、“艺术”和“其他”四个类别，规定每人必须并且只能选择其中一类，现从全体学生的调查表中随机抽取了部分学生的调查表进行统计，并把统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，则在扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是 度．

    15．（3分）不等式组的最大整数解是 ．
    16．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A=∠D，CD=3，则图中阴影部分的面积为 ．

    17．（3分）如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为 ．

    18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（8，0）、

    （0，2），C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC．当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为 ．



    三、解答题（共10小题，满分76分） 19．（5分）计算：（）2+|﹣3|﹣（π+）0．
    20．（5分）解不等式2x﹣1＞
    ，并把它的解集在数轴上表示出来．
    21．（6分）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x=．
    22．（6分）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆？
    23．（8分）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣1、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同．
    （1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为 ；
    （2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标．再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率．



    24．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E． （1）证明：四边形ACDE是平行四边形； （2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．

    25．（8分）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．

    26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF． （1）证明：∠E=∠C；
    （2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；
    （3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG•ED的值．



    27．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜）． （1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为 ；
    （2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值； （3）请你继续进行探究，并解答下列问题：
    ①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；
    ②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由．

    28．（10分）如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B． （1）求该抛物线的函数表达式；
    （2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
    （3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．


    ①写出点M′的坐标；
    ②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．






    2016年江苏省苏州市中考数学试卷
    参考答案与试题解析


    一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）的倒数是（ ） A． B． C． D．
    【解答】解：∵×=1， ∴的倒数是． 故选A．

    2．（3分）肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm，0.0007用科学记数法表示为（ ） A．0.7×10﹣3
    B．7×10﹣3 C．7×10﹣4 D．7×10﹣5
    【解答】解：0.0007=7×10﹣4， 故选：C．

    3．（3分）下列运算结果正确的是（ ） A．a+2b=3ab B．3a2﹣2a2=1
    C．a2•a4=a8 D．（﹣a2b）3÷（a3b）2=﹣b
    【解答】解：A、a+2b，无法计算，故此选项错误； B、3a2﹣2a2=a2，故此选项错误； C、a2•a4=a6，故此选项错误；
    D、（﹣a2b）3÷（a3b）2=﹣b，故此选项正确； 故选：D．

    4．（3分）一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是（ ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
    【解答】解：根据题意得：40﹣（12+10+6+8）=40﹣36=4， 则第5组的频率为4÷40=0.1，


    故选A．

    5．（3分）如图，直线a∥b，直线l与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1=58°，则∠2的度数为（ ）

    A．58° B．42° C．32° D．28° 【解答】解：∵直线a∥b， ∴∠ACB=∠2， ∵AC⊥BA， ∴∠BAC=90°，
    ∴∠2=∠ACB=180°﹣∠1﹣∠BAC=180°﹣90°﹣58°=32°， 故选C．

    6．（3分）已知点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上，则y1、y2的大小关系为（ ） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2
    D．无法确定
    【解答】解：∵点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上，
    ∴每个象限内，y随x的增大而增大， ∴y1＜y2， 故选：B．

    7．（3分）根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2016年1月1日起对居民生活用水按新的“阶梯水价”标准收费，某中学研究学习小组的同学们在社会实践活动中调查了30户家庭某月的用水量，如表所示： 用水量（吨）
    户数
    15 3
    20 6
    25 7
    30 9
    35 5


    则这30户家庭该用用水量的众数和中位数分别是（ ） A．25，27 B．25，25 C．30，27 D．30，25 【解答】解：因为30出现了9次， 所以30是这组数据的众数，
    将这30个数据从小到大排列，第15、16个数据的平均数就是中位数，所以中位数是25， 故选D．

    8．（3分）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（ ）

    A．2m B．2m C．（2﹣2）m D．（2，
    ﹣2）m
    【解答】解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=∴AD=4sin60°=2（m），
    ，
    在Rt△ACD中，∵sin∠ACD=∴AC=故选B．

    =2（m）．
    9．（3分）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（ ）



    A．（3，1） B．（3，） C．（3，） D．（3，2）
    【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小． ∵D（，0），A（3，0）， ∴H（，0），
    ∴直线CH解析式为y=﹣x+4， ∴x=3时，y=， ∴点E坐标（3，） 故选：B．



    10．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（ ）

    A．2 B． C． D．3
    【解答】解：连接AC，过B作EF的垂线交AC于点G，交EF于点H， ∵∠ABC=90°，AB=BC=2∴AC==，
    =4，
    ∵△ABC为等腰三角形，BH⊥AC， ∴△ABG，△BCG为等腰直角三角形， ∴AG=BG=2


    ∵S△ABC=•AB•BC=×2∴S△ADC=2， ∵=2，
    ×2=4，
    ∵△DEF∽△DAC， ∴GH=BG=， ∴BH=， 又∵EF=AC=2，
    ∴S△BEF=•EF•BH=×2×=， 故选C．
    方法二：S△BEF=S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED， 易知S△ABE+S△BCF=S四边形ABCD=3，S△EDF=，
    ∴S△BEF=S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED=6﹣3﹣=． 故选C．



    二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11．（3分）分解因式：x2﹣1= （x+1）（x﹣1） ． 【解答】解：x2﹣1=（x+1）（x﹣1）． 故答案为：（x+1）（x﹣1）．

    12．（3分）当x= 2 时，分式【解答】解：∵分式∴x﹣2=0， 解得：x=2．
    的值为0，
    的值为0．


    故答案为：2．

    13．（3分）要从甲、乙两名运动员中选出一名参加“2016里约奥运会”100m比赛，对这两名运动员进行了10次测试，经过数据分析，甲、乙两名运动员的平均成绩均为10.05（s），甲的方差为0.024（s2），乙的方差为0.008（s2），则这10次测试成绩比较稳定的是 乙 运动员．（填“甲”或“乙”） 【解答】解：因为S甲2=0.024＞S乙2=0.008，方差小的为乙， 所以本题中成绩比较稳定的是乙． 故答案为乙．

    14．（3分）某学校计划购买一批课外读物，为了了解学生对课外读物的需求情况，学校进行了一次“我最喜爱的课外读物”的调查，设置了“文学”、“科普”、“艺术”和“其他”四个类别，规定每人必须并且只能选择其中一类，现从全体学生的调查表中随机抽取了部分学生的调查表进行统计，并把统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，则在扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是 72 度．

    【解答】解：根据条形图得出文学类人数为90，利用扇形图得出文学类所占百分比为：30%，
    则本次调查中，一共调查了：90÷30%=300（人）， 则艺术类读物所在扇形的圆心角是的圆心角是360°×故答案为：72．

    15．（3分）不等式组的最大整数解是 3 ．
    =72°；
    【解答】解：解不等式x+2＞1，得：x＞﹣1， 解不等式2x﹣1≤8﹣x，得：x≤3， 则不等式组的解集为：﹣1＜x≤3，


    则不等式组的最大整数解为3， 故答案为：3．

    16．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A=∠D，CD=3，则图中阴影部分的面积为
    ．

    【解答】解：连接OC，
    ∵过点C的切线交AB的延长线于点D， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD=90°， 即∠D+∠COD=90°， ∵AO=CO， ∴∠A=∠ACO， ∴∠COD=2∠A， ∵∠A=∠D， ∴∠COD=2∠D， ∴3∠D=90°， ∴∠D=30°， ∴∠COD=60° ∵CD=3， ∴OC=3×=，
    ﹣    =，
    ∴阴影部分的面积=×3×故答案为：．





    17．（3分）如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为 2 ．

    【解答】解：如图，作DF⊥B′E于点F，作B′G⊥AD于点G， ∵∠B=60°，BE=BD=4，
    ∴△BDE是边长为4的等边三角形， ∵将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE， ∴△B′DE也是边长为4的等边三角形， ∴GD=B′F=2， ∵B′D=4， ∴B′G=∵AB=10， ∴AG=10﹣6=4， ∴AB′=故答案为：2．
    =    =2．
    =    =2，



    18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，2），C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC．当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为 （1，） ．



    【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（8，0），（0，2∴BO=，AO=8
    ）
    由CD⊥BO，C是AB的中点，可得BD=DO=BO=设DP=a，则CP=4﹣a
    =PE，CD=AO=4
    当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，设BP与CE交于点F，则∠FCP=∠DBP
    又∵EP⊥CP，PD⊥BD ∴∠EPC=∠PDB=90° ∴△EPC∽△PDB ∴，即
    解得a1=1，a2=3（舍去） ∴DP=1 又∵PE=∴P（1，
    ）
    ）
    故答案为：（1，


    三、解答题（共10小题，满分76分） 19．（5分）计算：（）2+|﹣3|﹣（π+）0．
    【解答】解：原式=5+3﹣1 =7．



    20．（5分）解不等式2x﹣1＞
    ，并把它的解集在数轴上表示出来．
    【解答】解：去分母，得：4x﹣2＞3x﹣1， 移项，得：4x﹣3x＞2﹣1， 合并同类项，得：x＞1，
    将不等式解集表示在数轴上如图：



    21．（6分）先化简，再求值：【解答】解：原式===当x=

    22．（6分）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆？
    【解答】解：设中型车有x辆，小型车有y辆，根据题意，得

    ÷（1﹣
    ），其中x=．
    ÷•，

    时，原式==．
    解得
    答：中型车有20辆，小型车有30辆．

    23．（8分）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣1、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同．
    （1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为 ；
    （2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M

    的横坐标．再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率．

    【解答】解：（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率=； 故答案为； （2）画树状图为：

    共有9种等可能的结果数，其中点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数为6，
    所以点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率==．

    24．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E． （1）证明：四边形ACDE是平行四边形； （2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．

    【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AC⊥BD， ∴AE∥CD，∠AOB=90°， ∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，


    ∴∠AOB=∠EDB， ∴DE∥AC，
    ∴四边形ACDE是平行四边形；
    （2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6， ∴AO=4，DO=3，AD=CD=5， ∵四边形ACDE是平行四边形， ∴AE=CD=5，DE=AC=8，
    ∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18．

    25．（8分）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．

    【解答】解：∵点B（2，n）、P（3n﹣4，1）在反比例函数y=（x＞0）的图象上， ∴．
    解得：m=8，n=4．
    ∴反比例函数的表达式为y=． ∵m=8，n=4，
    ∴点B（2，4），P（8，1）．
    过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB与点P′．



    在△BDP和△BDP′中，

    ∴△BDP≌△BDP′． ∴DP′=DP=6． ∴点P′（﹣4，1）．
    将点P′（﹣4，1），B（2，4）代入直线的解析式得：解得：．
    ，
    ∴一次函数的表达式为y=x+3．

    26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF． （1）证明：∠E=∠C；
    （2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；
    （3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG•ED的值．

    【解答】（1）证明：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，即AD⊥BC， ∵CD=BD，
    ∴AD垂直平分BC， ∴AB=AC， ∴∠B=∠C， 又∵∠B=∠E， ∴∠E=∠C；



    （2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形， ∴∠AFD=180°﹣∠E， 又∵∠CFD=180°﹣∠AFD， ∴∠CFD=∠E=55°， 又∵∠E=∠C=55°，
    ∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；

    （3）解：连接OE， ∵∠CFD=∠E=∠C， ∴FD=CD=BD=4，
    在Rt△ABD中，cosB=，BD=4， ∴AB=6， ∵E是的中点，AB是⊙O的直径，
    ∴∠AOE=90°， ∵AO=OE=3， ∴AE=3∵E是， 的中点，
    ∴∠ADE=∠EAB， ∴△AEG∽△DEA， ∴=，
    即EG•ED=AE2=18．



    27．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以

    PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜）． （1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为 1 ；
    （2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值； （3）请你继续进行探究，并解答下列问题：
    ①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；
    ②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由．

    【解答】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°，AB=CD=6．AD=BC=8， ∴BD=∵PQ⊥BD， ∴∠BPQ=90°=∠C， ∵∠PBQ=∠DBC， ∴△PBQ∽△CBD， ∴∴====， ，
    ==10，
    ∴PQ=3t，BQ=5t，
    ∵DQ平分∠BDC，QP⊥DB，QC⊥DC， ∴QP=QC， ∴3t=8﹣5t， ∴t=1，


    故答案为：1．
    （补充：直接利用角平分线的性质得到DP=DC=6，BP=4，从而t=1） （2）解：如图2中，作MT⊥BC于T． ∵MC=MQ，MT⊥CQ， ∴TC=TQ，
    由（1）可知TQ=（8﹣5t），QM=3t， ∵MQ∥BD， ∴∠MQT=∠DBC， ∵∠MTQ=∠BCD=90°， ∴△QTM∽△BCD， ∴=，
    ∴∴t=∴t=
    =（s），
    ，
    s时，△CMQ是以CQ为底的等腰三角形．
    （3）①证明：如图2中，延长QM交CD于E， ∵EQ∥BD， ∴=，
    t，
    ∴EC=（8﹣5t），ED=DC﹣EC=6﹣（8﹣5t）=∵DO=3t， ∴DE﹣DO=t﹣3t=t＞0，
    ∴点O在直线QM左侧．
    ②解：如图3中，由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H，QM与CD交于点E．
    ∵EC=（8﹣5t），DO=3t， ∴OE=6﹣3t﹣（8﹣5t）=t， ∵OH⊥MQ， ∴∠OHE=90°，


    ∵∠HEO=∠CEQ， ∴∠HOE=∠CQE=∠CBD， ∵∠OHE=∠C=90°， ∴△OHE∽△BCD， ∴=，
    ∴=∴t=．
    ，
    ∴t=s时，⊙O与直线QM相切．
    连接PM，假设PM与⊙O相切，则∠OMH=PMQ=22.5°， 在MH上取一点F，使得MF=FO，则∠FMO=∠FOM=22.5°， ∴∠OFH=∠FOH=45°， ∴OH=FH=，FO=FM=∴MH=（由由==+1），
    ，
    得到HE=， 得到EQ=，
    ，
    ∴MH=MQ﹣HE﹣EQ=4﹣﹣=∴（+1）≠，矛盾，
    ∴假设不成立．
    ∴直线PM与⊙O不相切．







    28．（10分）如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B． （1）求该抛物线的函数表达式；
    （2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
    （3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′． ①写出点M′的坐标；
    ②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．

    【解答】解：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，


    ∴y=3， ∴B（0，3），
    把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4， ∴3=a+4， ∴a=﹣1，
    ∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；

    （2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3， ∴0=﹣x2+2x+3， ∴x=﹣1或3，
    ∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3， ∵M在抛物线上，且在第一象限内， ∴0＜m＜3，
    令y=0代入y=﹣3x+3， ∴x=1，
    ∴A的坐标为（1，0），
    由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3）， S=S四边形OAMB﹣S△AOB =S△OBM+S△OAM﹣S△AOB
    =×m×3+×1×（﹣m2+2m+3）﹣×1×3 =﹣（m﹣）2+
    ∴当m=时，S取得最大值
    ．
    （3）①由（2）可知：M′的坐标为（，）； ②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F， 根据题意知：d1+d2=BF，
    此时只要求出BF的最大值即可， ∵∠BFM′=90°，
    ∴点F在以BM′为直径的圆上， 设直线AM′与该圆相交于点H， ∵点C在线段BM′上，


    ∴F在优弧上，
    ∴当F与M′重合时， BF可取得最大值， 此时BM′⊥l1，
    ∵A（1，0），B（0，3），M′（，）， ∴由勾股定理可求得：AB=过点M′作M′G⊥AB于点G， 设BG=x，
    ∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2， ∴∴x=﹣（，
    =，
    ﹣x）2=﹣x2，
    ，M′B=，M′A=，
    cos∠M′BG=∵l1∥l′， ∴∠BCA=90°， ∠BAC=45°
    方法二：过B点作BD垂直于l′于D点，过M′点作M′E垂直于l′于E点，则BD=d1，ME=d2，
    ∵S△ABM′=×AC×（d1+d2）
    当d1+d2取得最大值时，AC应该取得最小值，当AC⊥BM′时取得最小值． 根据B（0，3）和M′（，）可得BM′=∵S△ABM=×AC×BM′=，∴AC===， ，
    ，
    当AC⊥BM′时，cos∠BAC=∴∠BAC=45°．







































    赠送：初中数学几何模型举例
    【模型四】 几何最值模型： 图形特征：
    B    APA'    l

    PABCDl


    运用举例：
    1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为



    A    E    M    F    B    P    C

    2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
    D    C    F    AEB


    3.在Rt△POQ中，OP=OQ=4．M是PQ中点，把一把三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心．旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B。 （1）求证：MA=MB；
    （2）连接AB．探究：在旋转三角尺的过程中．△AOB的周长是否存在最小值．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

    P    M    AOB    Q




    4.如图，在锐角△ABC中，AB=42，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M和N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是
    .
    C    D    M    A    N    B

    5.如图，△ABC中，BAC60，ABC45，AB=22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 。
    A    O    E    F    B    D    C


    6. 在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA3，OB4，D为边OB的中点.
    （1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；


    （2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标. yBCDOEAx
    y    B    C    D    OAx



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