四渐开线与摆线

1．渐开线的产生过程

把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．

2．摆线的概念及产生过程

圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线．

3．圆的渐开线和摆线的参数方程

(1)圆的渐开线方程： (φ为参数)．

(2)摆线的参数方程：.(φ为参数)．

[例1]　求半径为4的圆的渐开线的参数方程．

[思路点拨]　关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系．

[解]　以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量的方向为x轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM，按渐开线定义，弧的长和线段AM的长相等，记和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM|＝＝4θ.

作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得

＝(4cos θ，4sin θ)．

由几何知识知∠MAB＝θ，

＝(4θsin θ，－4θcos θ)，

得＝＋.

＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)

＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．

又＝(x，y)，

因此有

这就是所求圆的渐开线的参数方程．

圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角；另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程．

1．已知圆的渐开线的参数方程(φ为参数)，则此渐开线对应基圆的半径是________．

解析：圆的渐开线的参数方程可化为(φ为参数)，圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径r＝3.

答：3

2．已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上的两点A，B对应的参数分别是和，求A，B两点的距离．

解：根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是(φ为参数)，

分别把φ＝和φ＝代入，可得A，B两点的坐标分别为A，B.

那么，根据两点之间的距离公式可得A，B两点的距离为

|AB|＝

＝.

即A，B两点之间的距离为

.

[例2]　求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α，(以弧度为单位)为参数)

[思路点拨]　利用向量知识和三角函数的有关知识求解．

[解]　当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如图所示，∠ABM＝α.

由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA的长和圆弧的长相等，它们的长都等于2α，从而B点坐标为(2α，2)，

向量＝(2α，2)，

向量＝(2sin α，2cos α)，

＝(－2sin α，－2cos α)，

因此＝＋

＝(2α－2sin α，2－2cos α)

＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．

动点M的坐标为(x，y)，向量＝(x，y)

所以

这就是所求摆线的参数方程．

(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．

(2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．

3．摆线(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是________．

答案：(π－2,2)；(3π＋2,2)

4．圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点O.圆上点M起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M的轨迹方程．

解：xM＝r·φ－r·cos

＝r(φ－sin φ)，

yM＝r＋r·sin(φ－)

＝r(1－cos φ)．

即点M的轨迹方程为

一、选择题

1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是(　　)

A．π　　　　　　　　　　 B．2π

C．12π D．14π

解析：根据条件可知，圆的摆线方程为

(φ为参数)，把y＝0代入，

得φ＝2kπ(k∈Z)，此时x＝6kπ(k∈Z)．

答案：C

2．给出下列说法：

①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；

②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；

③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；

④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．

其中正确的说法有(　　)

A．①③ B．②④

C．②③ D．①③④

解析：对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．

答案：C

3．已知一个圆的参数方程为(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取对应的点A与点B之间的距离为(　　)

A.－1 B.

C. D.

解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得

即A(3(－1)，3)，

∴|AB|＝＝.

答案：C

4．如图ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH长是(　　)

A．3π　　　　　　　 B．4π

C．5π D．6π

解析：根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.

答案：C

二、填空题

5．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为________．

解析：关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于y＝x对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换．

答案： (φ为参数)

6．已知圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是__________，当参数φ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．

解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝时对应的坐标只需把φ＝代入曲线的参数方程，得x＝＋，y＝－，由此可得对应的坐标为.　

答案：2　

7．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为______________．

解析：圆的摆线的参数方程为

令r(1－cos φ)＝0，得：φ＝2kπ代入x＝r(φ－sin φ)

得：x＝r(2kπ－sin2kπ)，又过(1,0)，

∴r(2kπ－sin2kπ)＝1，∴r＝

又r＞0，∴k∈N*

答案： (φ为参数，k∈N*)

三、解答题

8．有一个半径是2a的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M，与轮子中心的距离是a，求点M的轨迹方程．

解：设轮子中心为O，则OM＝a.

点M的轨迹即是以O为圆心，a为半径的基圆的摆线．

由参数方程知点M的轨迹方程为

9．已知一个圆的摆线方程是(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．

解：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是

(φ为参数)

10．已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．

解：令y＝0，可得a(1－cos φ)＝0，

由于a＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．

代入x＝a(φ－sin φ)，得x＝a(2kπ－sin2kπ)．

又因为x＝2，所以a(2kπ－sin2kπ)＝2，

即得a＝(k∈Z)．

又由实际可知a＞0，所以a＝(k∈N*)．

易知，当k＝1时，a取最大值为.

代入即可得圆的摆线的参数方程为

(φ为参数)

圆的渐开线的参数方程为

(φ为参数)