2021年天宏大联考河南省中招第一次模拟考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．某同学画出了如图所示的几何体的三种视图，其中正确的是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．②

2．微信根据移动ID所带来的数据，发布了“微信用户春节迁徙数据报告”，该报告显示，2021年1月24日春运首日至2月4日期间，人口流入最多的省份是河南．作为劳务输出．大省，河南约有313万微信用户在春节期间返乡．313万用科学记数法可表示为（ ）

A．3.13×102 B．313×104 C．3.13×105 D．3.13×106

3．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（ ）

A．4 B．7 C．3 D．12

4．已知，如图一次函数y1=ax+b与反比例函数y2= 的图象如图示，当y1＜y2时，x的取值范围是（  ）

A．x＜2                      B．x＞5                        C．2＜x＜5                     D．0＜x＜2或x＞5

5．已知边长为m的正方形面积为12，则下列关于m的说法中，错误的是（ ）

①m是无理数；②m是方程m2 -12=0的解；③m满足不等式组，④m是12的算术平方根．

A．①② B．①③ C．③ D．①②④

6．如图，挂在弹簧秤上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧秤的读数F（kg）与时间t（s）的函数图象大致是（　　）

A． B． C． D．

7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于  AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC＝3，AB＝5，则DE等于（   ） 

A．2 B． C． D．

8．将2×2的正方形网格如图所示的放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形ABCD的顶点都在格点上，若直线y=kx（k≠0）与正方形ABCD有公共点，则k不可能是（ ）.

A．3 B．2 C．1 D．

9．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1 E1E2B2、A2B2 C2D2、D2E3E4B3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为l，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…，则正方形A2017B2017C2017 D2017的边长是（　　）

A．（）2016 B．（）2017 C．（）2016 D．（）2017

二、解答题

10．|-2|-（π-3）0= ____________.

11．先化简，再求值：÷，其中m是方程x2＋2x－3＝0的根．

12．中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：

请根据所给信息，解答下列问题：

（1）a＝　 　，b＝　 　；

（2）请补全频数分布直方图；

（3）这次比赛成绩的中位数会落在　 　分数段；

（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？

13．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以点A为圆心，AB为半径，作⊙A交AC于点F，交BA的延长线于点D，过点D作AC的平行线交⊙A于点E，连接AE、CE，EF．

⑴求证：CE⊥AE;

⑵当∠CAB等于多少度时，四边形ADEF为菱形，并给于证明．

14．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克，且10≤x≤18）之间的函数关系如图所示；

（1）求y（千克）与销售价x的函数关系式；

（2）该经销商想要获得150元的销售利润，销售价应定为多少？

15．数学李老师给学生出了这样一个问题：探究函数的图象与性质．小斌根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小斌的探究过程，请您补充完成：

(1)函数的自变量x的取值范围是__________；

(2)列出y与x的几组对应值，请直接写出m的值，m=______；

(3)请在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；

(4)结合函数的图象，写出函数的一条性质．

16．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．

特例探索

（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝时，a＝ ，b＝ ；

如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝ ，b＝ ；

归纳证明

（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；

拓展应用

（3）如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝，AB＝3．求AF的长．

17．如图，抛物线与y轴交于点C(0，-4)，与x轴交于点A、B，且B点的坐标为(2，0)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P是AB上的一个动点，过点P作PE∥AC交BC于点E，连接CP，求△PCE面积最大时P点的坐标；

(3)在(2)的条件下，若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，当△OMD为等腰三角形时，连接MP、ME，把△MPE沿着PE翻折，点M的对应点为点N，直接写出点N的坐标.

三、填空题

18．用等腰直角三角板画，并将三角板沿方向平移到如图所示的虚线处后绕点逆时针方向旋转，则三角板的斜边与射线的夹角为______．

19．一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是 ．

20．如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为__________．

21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DF的长为_____．

参考答案

1．B

【解析】

从正面看到的叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，依次即可解题.

解：根据几何体的摆放位置，主视图和俯视图正确，左视图中间有一条横线，故左视图不正确.

故选B.

“点静”本题考查了三种视图及它的画法，看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线.

2．D

【解析】科学计数法的表示形式为a×的形式，其中1|a|<10，n为整数，确认n的值是易错点，由于313万有7位，所以可以确定n=7-1=6.

解：313万=3.13×10.

“点睛”本题考查科学计数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键.

3．B

【解析】

试题分析：∵DE：EA=3：4，∴DE：DA=3：7，∵EF∥AB，∴，∵EF=3，∴，解得：AB=7，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=7．故选B．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．

4．D

【解析】

【分析】

根据图象得出两交点的横坐标，找出一次函数图象在反比例图象下方时x的范围即可．

【详解】

根据题意得：当y1＜y2时，x的取值范围是0＜x＜2或x＞5．

故选D．

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解答本题的关键．

5．C

【解析】

①根据边长为m的正方形面积为12，可得m2=12，所以m=2，然后根据是一个无理数，可得m是无理数，据此判断即可．

②根据m2=12，可得m是方程m2﹣12=0的解，据此判断即可．

③首先求出不等式组的解集是4＜m＜5，然后根据m=2＜2×2=4，可得m不满足不等式组，据此判断即可．

④根据m2=12，而且m＞0，可得m是12的算术平方根，据此判断即可．

解：∵边长为m的正方形面积为12，∴m2=12，∴m=2，∵是一个无理数，∴m是无理数，∴结论①正确；

∵m2=12，∴m是方程m2﹣12=0的解，∴结论②正确；

∵不等式组的解集是4＜m＜5，m=2＜2×2=4，∴m不满足不等式组，

∴结论③不正确；

∵m2=12，而且m＞0，∴m是12的算术平方根，∴结论④正确．

综上，可得

关于m的说法中，错误的是③．

故选C．

“点睛”（1）此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．（2）此题还考查了无理数和有理数的特征和区别，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数．

（3）此题还考查了不等式的解集的求法，以及正方形的面积的求法，要熟练掌握．

6．C

【详解】

解： 当长方体铁块浸没在水中这段的弹簧称的读数保持不变，当铁块进入空气中的过程中，弹簧称的读数逐渐增大，当铁块全部进入空气中，弹簧称的读数保持不变．根据弹簧称的读数保持不变﹣逐渐增大﹣保持不变．得出函数的图象．选项中A的图像与描述一致，

故选C．

【点睛】

本题考查函数的概念及其图象．

7．C

【解析】

根据勾股定理求出BC，根据线段垂直平分线性质求出AE=BE，根据勾股定理求出AE，再根据勾股定理求出DE即可.

解：在RtABC中，由勾股定理得：BC==4,

连接AE，

从作法可知：DE是AB的垂直评分线，

根据性质AE=BE，

在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC+CE=AE，

即3+（4-AE）=AE，

解得：AE=，

在Rt△ADE中，AD=AB=，由勾股定理得：DE+()=()，

解得：DE=.

故选C.

“点睛”：本题考查了线段垂直平分线性质，勾股定理的应用，能灵活运用勾股定理得出方程是解此题的关键.

8．A

【解析】

试题分析：先求出A、C两点的坐标，再求出直线过A、C两点时k的值，进而可得出结论．∵由图可知，A（1，2），C（2，1），∴当直线y=kx过点A时，k=2；当直线过点C时，2k=1，即k=，∴≤k≤2，∴k不可能是3．故选A．

考点：一次函数图象上点的坐标特征．

9．C

【解析】

利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．

解：如图所示：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…

∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，

∴D1E1=C1D1sin30°=，则B2C2===（）1，

同理可得：B3C3==（）2，

故正方形AnBnCnDn的边长是：（）n﹣1．

则正方形A2017B2017C2017D2017的边长是：（）2016．

故选C．

“点睛”此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．

10．1

【解析】原式利用零指数幂法则，绝对值的代数意义计算即可得到结果．

解：|-2|-（π-3）0=2 -1=1，

“点睛”本题涉及负整数指数幂、,绝对值2个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

11．原式=，当m=l时，原式=

【解析】

先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，由于m是方程x2+3x-1=0的根，那么m2+3m-1=0，可得m2+3m的值，再把m2+3m的值整体代入化简后的式子，计算即可．

解：原式=

∵x2+2x-3=0， ∴x1=-3,x2 =1

∵‘m是方程x2 +2x-3=0的根， ∴m=-3或m=1

∵m+3≠0, ∴.m≠-3, ∴m=1

当m=l时，原式：

“点睛”本题考查了分式的化简求值、一元二次方程的解，解题的关键是通分、约分，以及分子分母的因式分解、整体代入．

12．（1）60，0.15；（2）见解析；（3）80≤x＜90；（4）1200．

【解析】

试题分析：（1）样本容量是：10÷0.05=200，a=200×0.30=60，b=30÷200=0.15；

（2）补全频数分布直方图，如下：

（3）一共有200个数据，按照从小到大的顺序排列后，第100个与第101个数据都落在第四个分数段，

所以这次比赛成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段；

（4）3000×0.40=1200（人）．即该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等的大约有1200人．

考点：①频数（率）分布直方图；②用样本估计总体；③频数（率）分布表；④中位数．

13．（1）证明见解析；

（2）当∠CAB =60°多少度时，四边形ADFE为菱形，证明见解析.

【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作OA交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交OA于点F，连接AF、BF，DF．

解：(1)证明：∵EF∥AB，

∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB．∵∠E=∠EFA ．∠FAB=∠CAB．

在△ABC和△ABF中，

AF=AC，∠FAB=∠CAB，AB=AB，

∵△ABG≌△ABF，∴∠AFB=∠ACB=90°，

∴BF⊥AF．

(2)当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形，

证明：∵∠ CAB=60°．

∴∠FAB=∠CAB=∠ CAB=60°．

∴EF=AD=AE．

∴四边形ADFE是菱形，

“点睛”本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定方法及全等三角形的判定方法，难度不大．

14．（1）y与x之间的函数关系式y=﹣2x+60（10≤x≤18）；（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．

【分析】

（1）设函数关系式=y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入求出k和b即可；

（2）根据销售利润=销售量×每一件的销售利润得到W和x的关系，利用二次函数的性质得最值即可.把y=150代入函数关系式中，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值.

【详解】

解：(1)设y =kx+b．将x=10，y=40 和x=18，y=24代入得：

解之得：

∴y= -2x+60．

(2)由题意得：(x-10)( -2 x+60) =150，

整理得：x2 -40x+375 =0， 解之得：x1 =15，x2=25

∵10≤x≤1 8，

∴x2=25舍去

答：销售价应定为15元．

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键，结合实际情况利用二次函数的性质解决问题.

15．(1)自变量x的取值范围是x≠-1；

(2)m=3；

(3)画出函数的图象见解析；

(4)写出函数的一条性质略，只要符合均给分.

【解析】

（1）根据4分母非零即可得到x+1≠0，解之即可得出x的取值范围；

（2）将y=代入函数解析式中求出x的值即可；

（3）描点、连线画出函数图象；

（4）观察函数图象，写出函数的一条性质即可.

解：（1）∵x+1≠0，

∴x≠-1.

故答案为x≠-1.

（2）当y=时，x=3.

故答案为3.在x<-1和x>-1上均单调递增.

描点、连线画出图象如图所示.

（4）观察函数图象，发现：函数y=在x<-1和x>-1上均单调递增.

“点睛”本题考查了反比例函数的性质以及函数图象，根据给定数据描点、连线画出函数图象是解题的关键.

16．（1）2，2；2，2；（2）+=5；（3）AF=4．

【详解】

（1）【思路分析】由题可知AF、BE是的中线，因此EF即为的中位线，由此可得，且EF的长是AB的一半，题中已知的度数和边AB的长，利用相似三角形的性质和勾股定理即可得解；

解：（1），；，．

解法提示：由题可得EF即为的中位线，

，且，

，

，

①当时，

，

，

，

则在中，，

，

，即，

；

②当时，

，

，

则在和中，

，

．

（2）【思路分析】连接EF，由（1）中相似三角形可知PE与PB、PF与PA的比例关系，设，由此可得AP、PB的长，依次将线段长代入和中，即可求解；

解：猜想三者之间的关系是：．

证明如下：如解图①，连接EF，

∵AF，BE是的中线，

∴EF是的中位线．

，且．

，

．

图①

方法一：设，则，

在中，①；

在中，②；

在中，③；

由①，得．

由②+③，得．

．

方法二：在和中，

，

．

．

，即．

（3）【思路分析】求AF的长，则首先想到构造“中垂三角形”，由题可知，，设AF、BE交于点P，取AB的中点H，连接FH、AC，结合平行四边形的性质可证得为“中垂三角形”，利用“中垂三角形”的三边关系即可求解．

解：设AF，BE交于点P．

图②

如解图②，取AB的中点H，连接FH，AC．

∵E，G分别是AD，CD的中点，F是BC的中点，

．

又，

．

∵四边形ABCD是平行四边形，

，

，

是“中垂三角形”，

，即，

．

图③

一题多解：如解图③，连接AC，CE，延长CE交BA的延长线于点H．

∵在中，E，G分别是AD、CD的中点，

．

，

．

又中，，

．

．

∴BE，CA是的中线，

是“中垂三角形”，

．

，

，即．

∵AF是的中位线，

．

难点突破：本题的难点在于第（2）问中求得PE与PB、PF与PA的比例关系后，利用勾股定理将其转换为三者之间的关系；第（3）问中在平行四边形中利用平行四边形的性质构造“中垂三角形”，利用“中垂三角形”的三边关系进行求解．

17．(1)抛物线的解析式为y=4；

(2) 当P点的坐标为(-1，0)时, S△PCE的最大，且最大值为3；

(3) M点关于PE的对称点N的坐标为(1，1)或(2，0).

【解析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出△PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论．

解：（1）把点C（0，﹣4），B（2，0）分别代入y=x2+bx+c中，

得，

解得

∴该抛物线的解析式为y=x2+x﹣4．

（2）令y=0，即x2+x﹣4=0，解得x1=﹣4，x2=2，

∴A（﹣4，0），S△ABC=AB•OC=12．

设P点坐标为（x，0），则PB=2﹣x．

∵PE∥AC，

∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，

∴△PBE∽△ABC，

∴，即，

化简得：S△PBE=（2﹣x）2．

S△PCE=S△PCB﹣S△PBE=PB•OC﹣S△PBE=×（2﹣x）×4﹣（2﹣x）2

=x2﹣x+

=（x+1）2+3

∴当x=﹣1时，S△PCE的最大值为3．

（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当DM=DO时，如答图①所示．

DO=DM=DA=2，

∴∠OAC=∠AMD=45°，

∴∠ADM=90°，

∴M点的坐标为（﹣2，﹣2）；

（II）当MD=MO时，如答图②所示．

过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，

∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，

又△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=3，

∴M点的坐标为（﹣1，﹣3）；

（III）当OD=OM时，

∵△OAC为等腰直角三角形，

∴点O到AC的距离为×4=，即AC上的点与点O之间的最小距离为．

∵＞2，∴OD=OM的情况不存在．

综上所述，点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）．

“点睛”本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰三角形等知识点，以及分类讨论的数学思想．第（2）问将面积的最值转化为二次函数的极值问题，注意其中求面积表达式的方法；第（3）问重在考查分类讨论的数学思想，注意三种可能的情形需要一一分析，不能遗漏．　

18．

【分析】

根据的平移性质，对应线段平行，再根据旋转角为22°进行计算．

【详解】

如图，

根据题意，得

∠AOB=45°，M处三角板的45°角是∠AOB的对应角，

根据三角形的外角的性质，可得

三角板的斜边与射线OA的夹角为22°．

故答案为22．

【点睛】

平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．本题关键是利用了对应线段平行且对应角相等的性质．

19．．

【详解】

解：根据树状图，蚂蚁获取食物的概率是=．故答案为．

考点：列表法与树状图法．

20．．

【解析】

【分析】

连接CD，根据题意可得△DCE≌△BDF，阴影部分的面积等于扇形的面积减去△BCD的面积．

【详解】

解：连接CD，

作DM⊥BC，DN⊥AC．

∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，

∴DC=AB=1，四边形DMCN是正方形，DM=．

则扇形FDE的面积是：．

∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，

∴CD平分∠BCA，

又∵DM⊥BC，DN⊥AC，

∴DM=DN，

∵∠GDH=∠MDN=90°，

∴∠GDM=∠HDN，

则在△DMG和△DNH中， ，

∴△DMG≌△DNH（AAS），

∴S四边形DGCH=S四边形DMCN=．

则阴影部分的面积是：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DMG≌△DNH，得到S四边形DGCH=S四边形DMCN是关键．

21．或

【解析】

试题分析：如图1所示；点E与点C′重合时．在Rt△ABC中，BC==4．由翻折的性质可知；AE=AC=3、DC=DE．则EB=2．设DC=ED=x，则BD=4﹣x．在Rt△DBE中，DE2+BE2=DB2，即x2+22=（4﹣x）2．解得：x=．∴DE=．如图2所示：∠EDB=90时．由翻折的性质可知：AC=AC′，∠C=∠C′=90°．∵∠C=∠C′=∠CDC′=90°，∴四边形ACDC′为矩形．又∵AC=AC′，∴四边形ACDC′为正方形．∴CD=AC=3．∴DB=BC﹣DC=4﹣3=1．∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA．∴，即．解得：DE=．点D在CB上运动，∠DBC′＜90°，故∠DBC′不可能为直角．

考点：翻折变换（折叠问题）．