2017年辽宁省大连市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．在下列实数中，是无理数的为（　　）

A．0 B．﹣3.5 C． D．

2．据统计，“五一”小长假期间，大连市共接待海内外游客825400余人次，数825100用科学记数法表示为（　　）

A．8251×102 B．825.1×103 C．82.51×104 D．8.251×105

3．下列几何体中，主视图是三角形的为（　　）

A． B． C． D．

4．把抛物线y=2x2向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为（　　）

A．y=2x2+5 B．y=2x2﹣5 C．y=2（x+5）2 D．y=2（x﹣5）2

5．如图，直线y=kx+b与x轴、y轴分别相交于点A（﹣3，0）、B（0，2），则不等式kx+b＞0的解集是（　　）

A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜2

6．在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（　　）

A．15个 B．20个 C．30个 D．35个

7．为了考察某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，量得它们的长度如下（单位：cm）：16、9、14、11、12、10、16、8、17、16则这组数据的中位数为（　　）

A．9 B．11 C．13 D．16

8．一圆锥的底面直径为4cm，高为cm，则此圆锥的侧面积为（　　）

A．20πcm2 B．10πcm2 C．4πcm2 D．4πcm2

二、填空题（本小题共8小题，每小题3分，共24分）

9．因式分解：x2﹣36=　 　．

10．在函数y=中，自变量x的取值范围是　 　．

11．一个正多边形的每一个内角都等于160°，则这个正多边形的边数是　 　．

12．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=3，则BD的长为　 　．

13．如图，从与旗杆AB相距27m的点C处，用测角仪CD测得旗杆顶端A的仰角为30°，已知测角仪CD的高为1.5米，则旗杆AB的高约为　 　m（精确到0.1m，参考数据≈1.73）

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B的坐标为（1，2），将△AOB沿x轴向右平移得到△A′O′B′，点B的对应点B′恰好在函数y=（x＞0）的图象上，此时点A移动的距离为　 　．

15．在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（2，﹣1）、（3，0），以原点O为位似中心，把线段AB放大，点B的对应点B′的坐标为（6，0），则点A的对应点A′的坐标为　 　．

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB沿直线AB翻折，点O落在点O′处，则点O′的坐标为　 　．

三、解答题（本题共39分）

17．计算：（﹣）0+|4﹣|﹣．

18．先化简，再求值：m（m﹣2）﹣（m﹣1）2+m，其中m=﹣．

19．如图，▱ABCD中，AB=3，BC=5，∠ABC的平分线与AD相交于点E，求DE的长．

20．某区为了解七年级学生开展跳绳活动的情况，随机调查了该区部分学校七年级学生1分钟跳绳的次数，将调查结果进行统计，下面是根据调查数据制作的统计图表的一部分．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）在被调查的学生中，跳绳次数在120≤x＜130范围内的人数为　 　人，跳绳次数在0≤x＜120范围内的人数占被调查人数的百分比为　 　%；

（2）本次共调查了　 　名学生，其中跳绳次数在130≤x＜140范围内的人数为　 　人，跳绳次数在x≥140范围内的人数占被调查人数的百分比为　 　%；

（3）该区七年级共有4000名学生，估计该区七年级学生1分钟跳绳的次数不少于130个的人数．

四、解答题（本题共28分）

21．某车间加工1500个零件后，采用了新工艺，工作效率提高了50%，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前每小时加工多少个零件？

22．某商场销售一种商品，在一段时间内，该商品的销售量y（千克）与每千克的销售价x（元）满足一次函数关系（如图所示），其中30≤x≤80．

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）若该种商品每千克的成本为30元，当每千克的销售价为多少元时，获得的利润为600元？

23．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABD=∠CBD=60°，AC与BD相交于点E，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点F．

（1）判断△ACD的形状，并加以证明

（2）若CF=2，DE=4，求弦CD的长．

五、解答题（本题共35分）

24．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（0，3）、（7，0），点C在第一象限，AC∥x轴，∠OBC=45°．

（1）求点C的坐标；

（2）点D在线段AC上，CD=1，点E的坐标为（n，0），在直线DE的右侧作∠DEG=45°，直线EG与直线BC相交于点F，设BF=m，当n＜7且n≠0时，求m关于n的函数解析式，并直接写出n的取值范围．

25．阅读下面材料：

小明遇到这样两个问题：

（1）如图1，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为D，BC=﹣6，求OD的长；

（2）如图2△ABC中，AB=6，AC=4，点D为BC的中点，求AD的取值范围．

对于问题（1），小明发现根据垂径定理，可以得出点D是AC的中点，利用三角形中位线定理可以解决；对于问题（2），小明发现延长AD到E，使DE=AD，连接BE，可以得到全等三角形，通过计算可以解决．

请回答：

问题（1）中OD长为　 　；问题（2）中AD的取值范围是　 　；

参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：

（3）如图3，△ABC中，∠BAC=90°，点D、E分别在AB、AC上，BE与CD相交于点F，AC=mEC，AB=2EC，AD=nDB．

①当n=1时，如图4，在图中找出与CE相等的线段，并加以证明；

②直接写出的值（用含m、n的代数式表示）．

26．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣4）与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与x轴相交于点C，点D在线段CB上（点D不与B、C重合），过点D作CA的平行线，与抛物线相交于点E，直线BC的解析式为y=kx+2．

（1）抛物线的解析式为　 　；

（2）求线段DE的最大值；

（3）当点D为BC的中点时，判断四边形CAED的形状，并加以证明．

2017年辽宁省大连市中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．在下列实数中，是无理数的为（　　）

A．0 B．﹣3.5 C． D．

【考点】26：无理数．

【分析】由于无理数就是无限不循环小数．有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【解答】解：A、0是有理数，故A选项错误；

B、﹣3.5是有理数，故B选项错误；

C、是无理数，故C选项正确；

D、=3，是有理数，故D选项错误．

故选：C．

2．据统计，“五一”小长假期间，大连市共接待海内外游客825400余人次，数825100用科学记数法表示为（　　）

A．8251×102 B．825.1×103 C．82.51×104 D．8.251×105

【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：825100=8.251×105，

故选D．

3．下列几何体中，主视图是三角形的为（　　）

A． B． C． D．

【考点】U1：简单几何体的三视图．

【分析】根据主视图的观察角度，从物体的正面观察，即可得出答案．

【解答】解：A、其三视图是矩形，故此选项错误；

B、其三视图是三角形，故此选项正确；

C、其三视图是矩形，故此选项错误；

D、其三视图是正方形形，故此选项错误；

故选：B．

4．把抛物线y=2x2向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为（　　）

A．y=2x2+5 B．y=2x2﹣5 C．y=2（x+5）2 D．y=2（x﹣5）2

【考点】H6：二次函数图象与几何变换．

【分析】只要求得新抛物线的顶点坐标，就可以求得新抛物线的解析式了．

【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向上平移5个单位，那么新抛物线的顶点为（0，5），可设新抛物线的解析式为：y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2x2+5．

故选A．

5．如图，直线y=kx+b与x轴、y轴分别相交于点A（﹣3，0）、B（0，2），则不等式kx+b＞0的解集是（　　）

A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜2

【考点】FD：一次函数与一元一次不等式．

【分析】根据图象和A的坐标得出即可．

【解答】解：∵直线y=kx+b和x轴的交点A的坐标为（﹣3，0），

∴不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣3，

故选A．

6．在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（　　）

A．15个 B．20个 C．30个 D．35个

【考点】X8：利用频率估计概率．

【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．

【解答】解：设袋中有黄球x个，由题意得=0.3，

解得x=15，则白球可能有50﹣15=35个．

故选D．

7．为了考察某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，量得它们的长度如下（单位：cm）：16、9、14、11、12、10、16、8、17、16则这组数据的中位数为（　　）

A．9 B．11 C．13 D．16

【考点】W4：中位数．

【分析】根据中位数的定义即可得．

【解答】解：这组数据重新排列为：8、9、10、11、12、14、16、16、16、17，

则其中位数为=13，

故选：C．

8．一圆锥的底面直径为4cm，高为cm，则此圆锥的侧面积为（　　）

A．20πcm2 B．10πcm2 C．4πcm2 D．4πcm2

【考点】MP：圆锥的计算．

【分析】利用勾股定理易得圆锥母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．

【解答】解：圆锥的底面直径为4cm，高为cm，则底面半径=2cm，底面周长=4πcm，

由勾股定理得，母线长=5cm，侧面面积=×4π×5=10πcm2．

故选B．

二、填空题（本小题共8小题，每小题3分，共24分）

9．因式分解：x2﹣36=　（x+6）（x﹣6）　．

【考点】54：因式分解﹣运用公式法．

【分析】直接用平方差公式分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．

【解答】解：x2﹣36=（x+6）（x﹣6）．

10．在函数y=中，自变量x的取值范围是　x≥﹣　．

【考点】E4：函数自变量的取值范围；72：二次根式有意义的条件．

【分析】当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，即2x+1≥0．

【解答】解：依题意，得2x+1≥0，

解得x≥﹣．

11．一个正多边形的每一个内角都等于160°，则这个正多边形的边数是　18　．

【考点】L3：多边形内角与外角．

【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案．

【解答】解：设多边形为n边形，由题意，得

（n﹣2）•180°=160°n，

解得n=18，

故答案为：18．

12．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=3，则BD的长为　6　．

【考点】LB：矩形的性质．

【分析】根据矩形的对角线相等且相互平分即可解决问题．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，

∵OA=3，

∴BD=2OA=6，

故答案为6．

13．如图，从与旗杆AB相距27m的点C处，用测角仪CD测得旗杆顶端A的仰角为30°，已知测角仪CD的高为1.5米，则旗杆AB的高约为　17.1　m（精确到0.1m，参考数据≈1.73）

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】根据题意：过点D作DE⊥AB，交AB与E；可得Rt△ADE，解之可得AE的大小；进而根据AB=BE+AE可得旗杆AB的高．

【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E．

在直角△ADE中，有AE=DE×tan30°=9，

那么旗杆AB的高为AE+EB=9+1.5≈17.1（m）．

故答案为17.1

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B的坐标为（1，2），将△AOB沿x轴向右平移得到△A′O′B′，点B的对应点B′恰好在函数y=（x＞0）的图象上，此时点A移动的距离为　2　．

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；Q3：坐标与图形变化﹣平移．

【分析】设A点向右移动的距离为a，由点B的坐标为（1，2）可知，B′（1+a，2），由点B′恰好在函数y=（x＞0）的图象上求出a的值即可．

【解答】解：设A点向右移动的距离为a，

∵点B的坐标为（1，2），

∴B′（1+a，2）．

∵点B′恰好在函数y=（x＞0）的图象上，

∴2（1+a）=6，解得a=2．

故答案为：2．

15．在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（2，﹣1）、（3，0），以原点O为位似中心，把线段AB放大，点B的对应点B′的坐标为（6，0），则点A的对应点A′的坐标为　（4，﹣2）　．

【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质．

【分析】由以原点O为位似中心，相似比为，根据位似图形的性质，即可求得答案．

【解答】解：∵以原点O为位似中心，B（3，0）的对应点B′的坐标为（6，0），

∴相似比为2，

∵A（2，﹣1），

∴点A′的对应点坐标为：（4，﹣2），

故答案为：（4，﹣2）．

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB沿直线AB翻折，点O落在点O′处，则点O′的坐标为　（，）　．

【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；PB：翻折变换（折叠问题）．

【分析】根据已知条件得到OA=2，OB=1，根据折叠的性质得到AO′=AO=2，BO′=BO=1，∠AO′B=90°，延长AC交y轴于C，过O′作O′D⊥OA于D，根据相似三角形的性质得到BC=，CO′=，得到OC=，AC=，根据O′D∥OC，得到△ADO′∽△AOC，根据相似三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：在y=﹣x+1中，令x=0，得y=1，令y=0，得x=2，

∴A（2，0），B（0，1），

∴OA=2，OB=1，

∵将△AOB沿直线AB翻折，点O落在点O′处，

∴AO′=AO=2，BO′=BO=1，∠AO′B=90°，

延长AC交y轴于C，

过O′作O′D⊥OA于D，

∴∠CO′B=∠AOC=90°，

∵∠BCO′=∠ACO，

∴△BCO′∽△ACO，

∴，

∴==，

∴BC=，CO′=，

∴OC=，AC=，

∵O′D⊥OA，

∴O′D∥OC，

∴△ADO′∽△AOC，

∴==，即==，

∴DO′=，AD=，

∴OD=，

∴O′（，），

故答案为：（，）．

三、解答题（本题共39分）

17．计算：（﹣）0+|4﹣|﹣．

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂．

【分析】直接利用立方根和二次根式的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简求出答案．

【解答】解：原式=1+2﹣4+3

=2．

18．先化简，再求值：m（m﹣2）﹣（m﹣1）2+m，其中m=﹣．

【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．

【分析】根据单项式乘多项式、完全平方公式和合并同类项可以化简题目中的式子，然后将m的值代入化简后的式子即可解答本题．

【解答】解：m（m﹣2）﹣（m﹣1）2+m

=m2﹣2m﹣m2+2m﹣1+m

=m﹣1，

当m═﹣时，原式==．

19．如图，▱ABCD中，AB=3，BC=5，∠ABC的平分线与AD相交于点E，求DE的长．

【考点】L5：平行四边形的性质．

【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得DE的长度

【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AE∥BC，

∴∠AEB=∠EBC，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠EBC，

∴∠ABE=∠AEB，

∴AB=AE=3，

∵BC=5，CD=AB=3，

∴DE=AD﹣AE=5﹣3=2．

20．某区为了解七年级学生开展跳绳活动的情况，随机调查了该区部分学校七年级学生1分钟跳绳的次数，将调查结果进行统计，下面是根据调查数据制作的统计图表的一部分．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）在被调查的学生中，跳绳次数在120≤x＜130范围内的人数为　72　人，跳绳次数在0≤x＜120范围内的人数占被调查人数的百分比为　12　%；

（2）本次共调查了　200　名学生，其中跳绳次数在130≤x＜140范围内的人数为　59　人，跳绳次数在x≥140范围内的人数占被调查人数的百分比为　22.5　%；

（3）该区七年级共有4000名学生，估计该区七年级学生1分钟跳绳的次数不少于130个的人数．

【考点】V7：频数（率）分布表；V5：用样本估计总体．

【分析】（1）根据统计表可得跳绳次数在120≤x＜130范围内的人数为72人；

根据A组的人数是24，所占的百分比是12%即可求得调查的总人数，然后根据百分比的定义求得跳绳次数在0≤x＜120范围内的人数占被调查人数的百分比；

（2）利用总人数减去其它组的人数求得绳次数在x≥140范围内的人数占被调查人数的人数；

（3）利用总人数乘以对应的比例即可求解．

【解答】解：（1）根据统计表可得跳绳次数在120≤x＜130范围内的人数为72人；

调查的总人数是24÷12%=200（人）．则跳绳次数在0≤x＜120范围内的人数占被调查人数的百分比为=12%；

故答案是：71，12；

（2）调查的总人数是200人；

跳绳次数在130≤x＜140范围内的人数为200×29.5%=59（人），

绳次数在x≥140范围内的人数占被调查人数的人数是200﹣24﹣72﹣59=45（人），

则所长的百分比是=22.5%．

故答案是：200，59，22.5；

（3）估计该区七年级学生1分钟跳绳的次数不少于130个的人数是：4000×=2080（人）．

四、解答题（本题共28分）

21．某车间加工1500个零件后，采用了新工艺，工作效率提高了50%，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前每小时加工多少个零件？

【考点】B7：分式方程的应用．

【分析】设采用新工艺前每时加工x个零件，那么采用新工艺后每时加工1.5x个零件，根据时间=，以此作为等量关系可列方程求解．

【解答】解：设采用新工艺前每时加工x个零件．

﹣10=，

解得：x=50，

经检验：x=50是原分式方程的解，且符合题意，

答：采用新工艺之前每小时加工50个．

22．某商场销售一种商品，在一段时间内，该商品的销售量y（千克）与每千克的销售价x（元）满足一次函数关系（如图所示），其中30≤x≤80．

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）若该种商品每千克的成本为30元，当每千克的销售价为多少元时，获得的利润为600元？

【考点】AD：一元二次方程的应用；FH：一次函数的应用．

【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据所给函数图象列出关于k、b的关系式，求出k、b的值即可；

（2）根据每天可获得600元的利润列出方程，解方程即可．

【解答】解：（1）当30≤x≤80时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0）．

由所给函数图象可知，，

解得，

故y与x的函数关系式为y=﹣x+100；

（2）∵y=﹣x+100，依题意得

∴（x﹣30）（﹣x+100）=600，

x2﹣280x+18700=0，

解得x1=40，x2=90．

∵30≤x≤80，

∴取x=40．

答：当每千克的销售价为40元时，获得的利润为600元．

23．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABD=∠CBD=60°，AC与BD相交于点E，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点F．

（1）判断△ACD的形状，并加以证明

（2）若CF=2，DE=4，求弦CD的长．

【考点】MC：切线的性质；M6：圆内接四边形的性质．

【分析】（1）根据圆周角定理即可得到结论；

（2）根据全等三角形的性质得到AF=DE=4，CE=CF=2，根据切线的性质得到FC2=FB•AF，求得FB=1根据相似三角形的性质即可得到结论；

【解答】解：（1）∵∠ABD=∠CBD=60°，

∴∠CAD=∠CBD=60°，∠ACD=∠ABD=60°，

∴△ACD是等边三角形；

（2）在△ACF与△DCE中，

∴△ACF≌△DCE，

∴AF=DE=4，CE=CF=2，

∵CF是⊙O的切线，

∴FC2=FB•AF，

∴22=FB•4，

∴FB=1

∴AB=AF﹣BF=4﹣1=3，

∵∠ABE=∠DCE，∠BAE=∠CDE，

∴△∠ABE∽∠DCE，

∴===，

∴=，

解得：CD=3．

五、解答题（本题共35分）

24．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（0，3）、（7，0），点C在第一象限，AC∥x轴，∠OBC=45°．

（1）求点C的坐标；

（2）点D在线段AC上，CD=1，点E的坐标为（n，0），在直线DE的右侧作∠DEG=45°，直线EG与直线BC相交于点F，设BF=m，当n＜7且n≠0时，求m关于n的函数解析式，并直接写出n的取值范围．

【考点】FI：一次函数综合题．

【分析】（1）作CM⊥x轴于点M，利用等腰直角三角形和矩形的性质可求得OM和CM的长，可求得C点坐标；

（2）①当E在线段OB上时，连接OD，利用条件可证得△DOE∽△EBF，利用相似三角形的性质可得到m与n之间的关系；②当点E在线段BO的延长线上时，同样可证得△DOE∽△EBF，可得到m与n之间的关系．

【解答】解：

（1）作CM⊥x轴于点M，如图1，

则∠CMB=∠AOM=90°，

∴CM∥AO，

∵AC∥x轴，

∴四边形AOMC是矩形，

∴CM=AO=3，AC=OM，

∵∠OBC=45°，

∴MB=MC=3，

∴OM=7﹣3=4，

∴C（4，3）；

（2）①当点E在线段OB上时，即当0＜n＜7时，如图2，连接OD，

∵CD=1，

∴AD=3=AO，

∴∠AOD=∠ADO=45°=∠DOB=∠OBC，

∵∠OEF=∠EFB+∠EBF，即∠OED+∠DEF=∠EFB+∠EBF，

∴∠OED=∠EFB，

∴△DOE∽△EBF，

∴=，即=，

∴m=﹣n2+n；

②当点E在线段BO的延长线上时，即n＜0时，连接OD，如图3，

由（1）知∠DOB=∠OBC，

∴∠DOE=∠EBF，

∵∠DEF=45°=∠OBC，

∴∠DEO+∠BEF=∠BFE+∠BEF，

∴∠DEO=∠BFE，

∴△DOE∽△EBF，

∴=，即=，

∴m=n2﹣n；

综上可知m与n的函数关系式为m=．

25．阅读下面材料：

小明遇到这样两个问题：

（1）如图1，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为D，BC=﹣6，求OD的长；

（2）如图2△ABC中，AB=6，AC=4，点D为BC的中点，求AD的取值范围．

对于问题（1），小明发现根据垂径定理，可以得出点D是AC的中点，利用三角形中位线定理可以解决；对于问题（2），小明发现延长AD到E，使DE=AD，连接BE，可以得到全等三角形，通过计算可以解决．

请回答：

问题（1）中OD长为　3　；问题（2）中AD的取值范围是　1＜AD＜5　；

参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：

（3）如图3，△ABC中，∠BAC=90°，点D、E分别在AB、AC上，BE与CD相交于点F，AC=mEC，AB=2EC，AD=nDB．

①当n=1时，如图4，在图中找出与CE相等的线段，并加以证明；

②直接写出的值（用含m、n的代数式表示）．

【考点】MR：圆的综合题．

【分析】（1）由三角形中位线定理可得OD=BC，由此即可解决问题；

（2）如图2中，延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，CM．在△ABM中，理由三边关系定理可得6﹣4＜AM＜6+4，即2＜2AD＜10，1＜AD＜5；

（3）①结论：EF=CE．如图4中，延长CD到M使得DM=CD，连接BM．由△ADC≌△BDM，推出BM=AC，∠M=∠ACD，由BM∥AC，推出△CEF∽△MBF，

可得=，推出==，推出BF=mEF，推出BE=（m+1）EF，在Rt△BAE中，BE===（m+1）EC，推出（m+1）EC=（m+1）EF，由此即可证明；

结论： =．如图3中，作BM∥AC交CD的延长线于M．证明方法类似①；

【解答】解：（1）如图1中，

∵OD⊥AC，

∴AD=DC，

∵AO=OB，BC=6，

∴OD=BC=3．

（2）如图2中，延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，CM．

∵AD=DM，BD=CD，

∴四边形ABMC是平行四边形，

∴BM=AC=4，∵AB=6，

∴6﹣4＜AM＜6+4，

即2＜2AD＜10，

∴1＜AD＜5．

（3）①结论：EF=CE．

理由：如图4中，延长CD到M使得DM=CD，连接BM．

∵AD=DB，∠ADC=∠BDM，

∴△ADC≌△BDM，

∴BM=AC，∠M=∠ACD，

∴BM∥AC，

∴△CEF∽△MBF，

∴=，

∴==，

∴BF=mEF，

∴BE=（m+1）EF，

在Rt△BAE中，BE===（m+1）EC，

∴（m+1）EC=（m+1）EF，

∴EF=CE．

②结论： =．

理由：如图3中，作BM∥AC交CD的延长线于M．

由△ADC∽△BDM，可得==n，

∴BM=，

∵=，

∴=，

∵AC=mEC，

∴BF=EF，

∴BE=（1+）EF，

在Rt△BAE中，BE===（m+1）EC，

∴（m+1）EC=（1+）EF，

∴=．

26．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣4）与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与x轴相交于点C，点D在线段CB上（点D不与B、C重合），过点D作CA的平行线，与抛物线相交于点E，直线BC的解析式为y=kx+2．

（1）抛物线的解析式为　y=x2﹣x+2　；

（2）求线段DE的最大值；

（3）当点D为BC的中点时，判断四边形CAED的形状，并加以证明．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）先利用一次函数解析式确定C（0，2），然后把C点坐标代入y=a（x﹣1）（x﹣4）中求出a即可；

（2）如图1，过点D、E分别作y轴、x轴的平行线，两线相交于点F，先解方程（x﹣1）（x﹣4）=0得A（1，0），B（4，0），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣x+2，设E（m， m2﹣m+2），EF=n，则D（m﹣n，﹣ m+n+2），则DF=﹣m+n+2﹣（m2﹣m+2）=﹣m2+2m+n，接着证明Rt△OCA∽Rt△FDE，利用相似比得到=2，则﹣m2+2m+n=2n，所以n=﹣m2+m，利用勾股定理得DE=﹣m2+m，然后根据二次函数的性质解决问题；

（3）利用两点间的距离公式得到AC=，BC=2，再利用点D为BC的中点得到D（2，1），CD=，易得直线AC的解析式为y=﹣2x+2，接着求出直线DE的解析式为y=﹣2x+5，

于是解方程组得E（3，﹣1），所以DE=，然后根据菱形的判定方法可判断四边形CAED为菱形．

【解答】解：（1）当x=0时，y=kx+2=2，则C（0，2），

把C（0，2）代入y=a（x﹣1）（x﹣4）得a•（﹣1）•（﹣4）=2，解得a=，

∴抛物线解析式为y=（x﹣1）（x﹣4），即y=x2﹣x+2；

故答案为y=x2﹣x+2；

（2）如图1，过点D、E分别作y轴、x轴的平行线，两线相交于点F，

当y=0时，（x﹣1）（x﹣4）=0，解得x1=1，x2=4，则A（1，0），B（4，0），

设直线BC的解析式为y=kx+b，

把C（0，2），B（4，0）代入得，解得，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+2，

设E（m， m2﹣m+2），EF=n，则D（m﹣n，﹣ m+n+2），

∴DF=﹣m+n+2﹣（m2﹣m+2）=﹣m2+2m+n，

∵OC∥DF，

∴∠OCB=∠FDB，

∵DE∥CA，

∴∠ACB=∠EDB，

∴∠OCA=∠FDE，

∴Rt△OCA∽Rt△FDE，

∴=，

∴===2，

∴﹣m2+2m+n=2n，

∴n=﹣m2+m，

在Rt△DEF中，DE==EF=n=﹣m2+m，

∵DE=﹣（m﹣2）2+，

∴当m=2时，DE的长有最大值，最大值为；

（3）四边形CAED为菱形．理由如下：

AC==，BC==2，

∵点D为BC的中点，

∴D（2，1），CD=，

易得直线AC的解析式为y=﹣2x+2，

设直线DE的解析式为y=﹣2x+p，

把D（2，1）代入得1=﹣4+p，解得p=4，

∴直线DE的解析式为y=﹣2x+5，

解方程组得或，则E（3，﹣1），

∴DE==，

∴AC=DE，

而AC∥DE，

∴四边形CAED为平行四边形，

∵CA=CD，

∴四边形CAED为菱形．