3.1.2　复数的几何意义

课时过关·能力提升

基础巩固

1复数z

A.第一象限内 B.实轴上

C.虚轴上 D.第四象限内

∵z∈R,

∴复数z对应的点在实轴上.故选B.

B

2设x,y均是实数,i是虚数单位,复数(x-2y)+(5-2x-y)i的实部大于0,虚部不小于0,则复数z=x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的(　　)

A

3在复平面内,复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,则实数a的值为(　　)

A.a=0或a=2 B.a=0

C.a≠1,且a≠2 D.a≠1或a≠2

∵复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,∴a2-2a=0.∴a=0或a=2.故选A.

A

4在复平面内,O为原点,向

A.-2-i B.-2+i C.1+2i D.-1+2i

∵A(-1,2)关于直线y=-x的对称点为B(-2,1),∴向-2+i.

B

5复数z与它的模相等的充要条件是(　　)

A.z为纯虚数 B.z是实数

C.z是正实数 D.z是非负实数

∵z=|z|,∴z为实数,且z≥0.故选D.

D

6复数z=-5-12i在复平面内对应的点到原点的距离为　　　　　. 

∵|z|

∴复数z在复平面内对应的点到原点的距离为13.

13

7在复平面内,表示复数z=(m-3)+

∵在复平面内,z=(m-3)+y=x上,∴m-3=m=9.

9

8已知复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内的对应点在第三象限,则实数x的取值范围是　　　　　. 

由已知,12.

(1,2)

9在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.

(1)求向

(2)判定△ABC的形状.

(1)由复数的几何意义,知

1+i,-2+2i,-3+i.

(2)∵

∴

∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形.

10在复平面内,已知a∈R,则复数z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所对应的点在第几象限?复数z所对应的点的轨迹是什么?

∵a2-2a+4=(a-1)2+3≥3,

-(a2-2a+2)=-(a-1)2-1≤-1,

∴z的实部为正数,虚部为负数,

∴复数z所对应的点在第四象限.

设z=x+yi(x,y∈R),

消去a2-2a,得y=-x+2(x≥3),

∴复数z对应点的轨迹是一条射线,

其方程为y=-x+2(x≥3).

能力提升

1设z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+3)i,t∈R,则以下结论正确的是(　　)

A.z对应的点在第一象限

B.z一定不是纯虚数

C.z一定是纯虚数

D.z对应的点在实轴上方

∵2t2+5t-3=≥2,

∴复数z对应的点在实轴上方.

故选D.

D

2已知平行四边形OABC,O,A,C三点对应的复数分别为0,1+2i,3-2i,则向

A

由于四边形OABC是平行四边形,

因D.

D

3满足条件|z-i|+|z+i|=3的复数z在复平面上对应点的轨迹是(　　)

A.一条直线 B.两条直线

C.圆 D.椭圆

D

★4设A,B为锐角三角形的两个内角,则复数z=(cos B-tan A)+itan B对应的点位于复平面的(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

因为A,B为锐角三角形的两个内角,

所以A+B

即AA>cos B,cos B-tan A=cos BB-sin A<0.

又tan B>0,所以点(cos B-tan A,tan B)在第二象限,故选B.

B

5若复数z1=3-5i,z2=1-i,z3=-2+ai在复平面内所对应的点在同一条直线上,则实数a=　　　　　. 

复数z1,z2,z3分别对应点P1(3,-5),P2(1,-1),P3(-2,a),

由已知可a=5.

5

6在复平面内,O是原点,已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i,它们所对应的点分别是A,B,C,∈R),则x+y的值是　　　　　. 

由已知,

=(-x+y,2x-y).

可x+y=5.

5

7当实数m分别取什么值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i

(1)是实数;　(2)是虚数;　(3)是纯虚数;　(4)对应点在实轴上方;　(5)对应点在直线x+y+5=0上.

(1)由m2-2m-15=0,

得m=5或m=-3.

故当m=5或m=-3时,z为实数.

(2)由m2-2m-15≠0,得m≠5,且m≠-3.

故当m≠5,且m≠-3时,z为虚数.

(3)m=-2.

故当m=-2时,z为纯虚数.

(4)由m2-2m-15>0,得m<-3或m>5.

故当m<-3或m>5时,z的对应点在实轴上方.

(5)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+5=0,

得mm

故当mm,z的对应点在直线x+y+5=0上.

★8已知z1=x2∈R均有|z1|>|z2|成立,试求实数a的取值范围.

∵|z1||z1|>|z2|,

x∈R恒成立等价于(1-2a)x2+(1-a2)>0恒成立.

若1-2a=0,解得a

当a,0·x2.

若1-2a≠0,

解得-1a∈

综上可得实数a的取值范围是-1≤