第9讲 二元一次方程组的实际应用和三元一次方程组的解法

知识点1．三元一次方程组

（1）定义：含有三个未知数，每个未知数的次数都是1，像这样的方程组就叫三元一次方程组。

例如：是三元一次方程组，而不是。

知识点2.三元一次方程组的解法思路

解简单的三元一次方程组的基本思想是“消元”，基本方法是代入法和加减法，通过消元，把三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化成一元一次方程，“消元”的关键是选准先消去的未知数。一般原则是：

（1）消去系数最简单的未知数；

（2）消去某个方程中缺少的未知数；

（3）消去系数成整数倍数关系的未知数。在“消元”过程中，必须保持每个方程至少用一次。

知识点3.三元一次方程组的解法及步骤

（1）利用代入法或加减法，把方程组里的一个方程分别与另两个方程组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到另外两个未知数的一个二元一次方程组；

（2）解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值：

（3）求出另一个未知数的值：

（4）写出的形式

知识点4.列方程（组）解应用题的一般步骤

1、审题：

2、设未知数；

3、找出相等关系，列方程（组）；

4、解方程（组）；

5、检验，作答；

知识点5.列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系；

1、工程问题

（1）基本工作量的关系：工作量=工作效率×工作时间

（2）常见的等量关系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量

（3）注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题

2、水中航行问题：

顺流速度=船在静水中的速度+水流速度；逆流速度=船在静水中的速度–水流速度

3、行程问题

（1）基本量之间的关系：路程=速度×时间

（2）常见等量关系：

相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全路程

追及问题（设甲速度快）：

同时不同地：甲的时间=乙的时间；甲走的路程–乙走的路程=原来甲、乙相距路程

同地不同时：甲的时间=乙的时间–时间差；甲的路程=乙的路程

4、数字问题：

基本量之间的关系：三位数=个位上的数+十位上的数×10+百位上的数×100

5、销售问题

利润=售价-进价，利润率=

6、年龄问题：解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长率相等这一特征；

知识点6.列方程解应用题的常用方法

1、译式法：就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数之间的内在联系找出等量关系。

2、线示法：就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段长度的内在联系，找出等量关系。

3、列表法：就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系。

4、图示法：就是利用图表示题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系更为直观，这种方法能帮助我们更好地理解题意。

题型1、解三元一次方程组

1-1、（1） （2） （3）；

1-2、在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=2；当x=﹣1时，y=20；当x=与x=时，y的值相等，求a，b，c的值．

题型2、二元一次方程组的实际应用

1.流水行程问题

2-1、一条船顺水行驶36千米和逆水行驶24千米的时间都是3小时，求船在静水中的速度与水流的速度。

2.行程问题

2-2、（2014•呼伦贝尔）从甲地到乙地的路有一段上坡，一段下坡．如果上坡平均每分钟走50米，下坡平均每分钟走100米，那么从甲地走到乙地需要25分钟，从乙地走到甲地需要20分钟．甲地到乙地上坡与下坡的路程各是多少？

3.工程问题

2-3、（2011•长沙）某工程队承包了某标段全长1755米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6米，经过5天施工，两组共掘进了45米．

（1）求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米？

（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进0.2米，乙组平均每天能比原来多掘进0.3米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？

4.数字问题

2-4、（2009•淄博）如图，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数），使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等．

（1）求x，y的值；

（2）在备用图中完成此方阵图．

备用图

5.年龄问题

2-5、一名学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像您这样大时，您才出生；您到我这么大时，我已经37岁了。”请问老师、学生今年多大年龄了呢？

6.销售问题

2-6、（2014•益阳）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：

（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）

求A、B两种型号的电风扇的销售单价。

一、选择题（每题4分，共计40分）

1.（2011•台湾）若a：b：c=2：3：7，且a﹣b+3=c﹣2b，则c值为何？（　　）

2.（2008•随州）已知方程组的解满足x+y=3，则k的值为（　　）

3. 若方程组的解x与y相等．则a的值等于（　　）

4.若甲数为x，乙数为y，则“甲数的3倍比乙数的一半少2”列成方程就是（　　）

5.一列快车和一列慢车的长分别为180米和225米，若同向行驶，从快车追及慢车起到全部超过，需81秒．现设快车的车速为x米/秒，慢车的车速为y米/秒，则表示其等量关系的式子是（　　）

6.（2012•黑河）为庆祝“六•一”国际儿童节，鸡冠区某小学组织师生共360人参加公园游园活动，有A、B两种型号客车可供租用，两种客车载客量分别为45人、30人，要求每辆车必须满载，则师生一次性全部到达公园的租车方案有（　　）

7.（2014•鄂州一模）某商店经销一种商品，由于进价降低了5%，出售价不变，使得利润由m%提高到（m+6）%，则m的值为（　　）

8.（2014•台湾）如图为某店的宣传单，若小昱拿到后，到此店同时买了一件定价x元的衣服和一件定价y元的裤子，共省500元，则依题意可列出下列哪一个方程式？（　　）

9.在3×3方格上做填字游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于S，又填在图中三格中的数字如图，若要能填成，则（　　）

10.（2014•桥东区一模）如图，在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发，反向而行，8分钟后两人相遇，再过6分钟甲到B点，又过10分钟两人再次相遇．甲环行一周需要的时间是（　　）

二、填空题（每题4分，共计20分）

11. （2006•资阳）若方程x+y=3，x﹣y=1和x﹣2my=0有公共解，则m的取值为　 　．

12. （2012•崇左）母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒．从信息中可知，若设鲜花x元/束，

礼盒y元/盒，则可列方程组为　 　 ．

13. （2008•杭州）课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有三

十五头，下有九十四足，问鸡兔各几只如果假设鸡有x只，兔有y只，请你列出关于x，y的二元一次方

程组　　 ．

14. （2014•漳州）水仙花是漳州市花，如图，在长为14m，宽为10m的长方形展厅，划出三个形状、大小完全一样的小长方形摆放水仙花，则每个小长方形的周长为　　 ．

15. （2013•鞍山）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是

它的，另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为220cm，此时木桶中水的深度是　 ．

三、解答题（每题8分，共计40分）

16.一个两位数，个位上的数比十位上的2倍多1，若将十位数字与个位数字调换位置，则比原两位数的2倍还多2，则原来两位数是多少？

17.（2011•泉州）某班将举行“庆祝建党90周年知识竞赛“活动，班长安排小明购买奖品，下面两图是小明买回奖品时与班长的对话情境：

请根据上面的信息．解决问題：

（1）试计算两种笔记本各买了多少本？

（2）请你解释：小明为什么不可能找回68元？

18.（2014•乐山市中区模拟）一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付两组费用共3480元，问：

（1）甲、乙两组单独工作一天，商店各应付多少元？

（2）单独请哪组，商店所付费用较少？

（3）若装修完后，商店每天可赢利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．

19.（2013•雅安）甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4分钟两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长．（列方程（ 组） 求解）

20.（2009•广州）为了拉动内需，广东启动“家电下乡”活动．某家电公司销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在启动活动前一个月共售出960台，启动活动后的第一个月销售给农户的Ⅰ型和Ⅱ型冰箱的销量分别比启动活动前一个月增长30%、25%，这两种型号的冰箱共售出1228台．

（1）在启动活动前的一个月，销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为多少台？

（2）若Ⅰ型冰箱每台价格是2298元，Ⅱ型冰箱每台价格是1999元，根据“家电下乡”的有关政策，政府按每台冰箱价格的13%给购买冰箱的农户补贴，问：启动活动后的第一个月销售给农户的1228台Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱，政府共补贴了多少元（结果保留2个有效数字）？