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【学习目标】

1．探索并掌握平行四边形的特征．

2．灵活运用平行四边形的特征解决问题．

3．平行四边形一般转化成三角形的问题来解决．

【基础知识概述】

1．平行四边形：

(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

(2)平行四边形的表示：平行四边形用符号“word/media/image3_1.png”表示．

平行四边形ABCD记作word/media/image4_1.png，读作平行四边形ABCD．

(3)平行四边形定义的作用：

①由定义知平行四边形的两组对边分别平行．

②由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形．

2．平行四边形的特征：

(1)平行四边形的邻角互补，对角相等．

(2)平行四边形的对边平行且相等．

(3)平行四边形的对角线互相平分．

(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心．

(5)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积．

注意：①特征：都是通过连对角线把四边形问题转化成三角形问题来处理的，即通过平移或旋转，利用重合来证明的．

②夹在两条平行线间的平行线段是指端点分别在两条平行线上的平行线段．

③互相平分指两条线段有公共的中点．

3．平行四边形特征的作用：

可以用来证明线段相等、角相等及两直线平行等．如图12-1-1，有如下结论：

dcfc35328886b59e069a0eef98a5d3f3.png

4．两条平行线间的距离：

(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．

(2)两平行线间的距离处处相等．

注意：距离是指垂线段的长度，是大于0的．

①平行线的位置确定后，它们的距离是定值，不随垂线段的位置改变．

②平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置．

5．平行四边形的面积：

(1)如图12-1-2①，word/media/image7_1.png．

也就是word/media/image9_1.png (a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对边的距离)．

(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．

如图12-1-2②，word/media/image10_1.png有公共边BC，

则word/media/image11_1.png．

注意：这里的底是相对而言的，也就是高所在的边，平行四边形任意一边都可以作底，底确定后，高也就确定了．

【例题精讲】

例1 如图12-1-3，已知word/media/image4_1.png的对角线相交于点O，过O作直线交AB于E，交CD于F，可得OE＝OF．为什么？

分析：要得到OE＝OF，可先证得它们所在△AEO与△CFO(△BEO与△DFO)重合．

解：在word/media/image4_1.png中，

∵AB∥CD，OD＝OB，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴将△BOE绕点O旋转180度后与△DOF重合．

∴OE＝OF．

注意：把线段与角归结为平行四边形的边，对角线或对角，利用平行四边形的特征证明．

例2 (1)在word/media/image4_1.png中，∠A︰∠B＝2︰3，求各角的度数．

(2)已知word/media/image4_1.png的周长为28cm，AB︰BC＝3︰4，求它的各边的长．

分析：(1)在平行四边形中，邻角是互补的，而对角是相等的，所以∠A与∠B必是邻角，其和为180°，可据此列式求出角度．

(2)平行四边形的对边相等，所以周长为邻边之和的2倍，可以据此列式求出各边长．

解：(1)由于∠A、∠B是平行四边形的两个邻角，所以∠A＋∠B＝180°．又因为∠A︰∠B＝2︰3，不妨可设∠A＝2k，∠B＝3k，那么2k＋3k＝180°，可以解得k＝36°，则∠A＝∠C＝72°，∠B＝∠D＝108°．

(2)由于在word/media/image4_1.png中，AB＝CD，BC＝AD．所以AB＋BC＋CD＋AD＝28，即AB＋BC＝14．由题意得AB︰BC＝3︰4，因此可设AB＝3k，BC＝4k，那么有3k＋4k＝14，解得k＝2，则AB＝CD＝6cm，BC＝AD＝8cm．

例3 如图12-1-4，已知word/media/image4_1.png的周长为60 cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，求这个四边形各边长．

分析：由平行四边形对边相等知AB＋BC＝平行四边形周长的一半＝30cm，又由△AOB的周长比△BOC的周长长8 cm知AB—BC＝8cm，由此两式，可得各边长．

解：

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB＝CD，AD＝CB，AO＝CO．

∵AB＋CD＋AD＋CB＝60，

AO＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC)＝8，

∴AB十BC＝30，AB－BC＝8，

∴AB＝CD＝19，BC＝AD＝11．

答：这个四边形各边长分别为19 cm，11 cm，19 cm，11 cm．

注意：①平行四边形的邻边之和等于平行四边形周长的一半．

②平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差．

思考：如图12-1-4，如果△AOB与△AOD的周长之差为8，而AB∶AD＝3∶2，那么word/media/image4_1.png的周长为多少？

提示：周长为80．

设AB＝3x，则AD＝2x，依题意有3x－2x＝8，

∴x＝8，

∴AB＝3x＝3×8＝24，AD＝2x＝2×8＝16．

∴周长＝2(24＋16)＝80．

例4 如图12-1-5，在word/media/image4_1.png中，∠B＝120°，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥BC，垂足为F．

求∠ADE，∠EDF，∠FDC的度数．

分析：由平行四边形对角相等、邻角互补得

∠A＝∠C，∠A＋∠B＝180°，再由垂直得到角为90°即可．

解：在word/media/image4_1.png中，

∵∠A＝∠C，AD∥BC，

∴∠A＋∠B＝180°．

∴∠A＝180°－∠B＝60°．

∴∠C＝60°．

∵DE⊥AB，DF⊥BC，

∴∠ADE＝∠FDC＝90°－∠A＝90°－60°＝30°．

注意：在平行四边形中求角的度数时，一般运用平行四边形的特征，即对角相等、邻角互补来进行求解．

【中考考点】

会利用平行四边形证明角相等，线段相等及直线平行．

【命题方向】

多以中档题型出现，填空、选择、计算、证明等各种形式都会涉及．

【常见错误分析】

例7 如图12-1-7，word/media/image4_1.png中，AC和BD交于O，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，则OE＝OF．为什么？

错解：∵word/media/image4_1.png，

∴OA＝OC，

∵OE⊥AD，OF⊥BC，

∴∠AOE＝∠COF．

又∠1＝∠2，

∴△AOE旋转180°后与△COF重合，

∴OE＝OF．

误区分析：错误出于∠AOE＝∠COF这一步骤，原因在于默认了E，O，F三点共线，而已知条件中并没有这个结论，其实E，O，F三点共线在证题过程中应该加以证明，否则就犯了推理没有根据，理由不充足的逻辑错误．

正解：

解法一：∵word/media/image4_1.png，

∴AD∥BC，

∴∠3＝∠4．

又OA＝OC，∠AEO＝∠CFO＝90°，

∴△AOE旋转180°后与△COF重合，

∴OE＝OF．

解法二：∵AD∥BC，OE⊥AD

∴OE⊥BC．又OF⊥BC，

∴直线OE与OF重合，

即E，O，F三点共线，

∴∠1＝∠2．

又∵OA＝OC，∠AEO＝∠CFO＝90°，

∴△AOE旋转180°后与△COF重合，

∴OE＝OF．

此命题可推广如下：

已知word/media/image4_1.png中，AC和BD交于O，过点O作直线EF交AD于F，交BC于F，则OE＝OF．

求解(略)．

这个推广后的命题，是平行四边形中一个十分重要的基本命题，利用它的结果可以证明很多问题成立．

【学习方法指导】

1．学习平行四边形的特征时，按照对角、对边、对角线的顺序去理解，便于记忆和应用．

2．本节主要内容是平行四边形的定义及特征，并且要重点理解两条平行线间的距离的概念．

【同步达纲练习】

一、填空题

1．若一个平行四边形相邻的两内角之比为2︰3，则此平行四边形四个内角的度数分别为____________．

2．在word/media/image4_1.png中，周长为28，两邻边之比为3︰4，则各边长为____________．

3．在word/media/image4_1.png中，∠A＝30°，AB＝7 cm，AD＝6 cm，则word/media/image16_1.png＝____________．

4．一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，则它的另一条对角线x的取值范围为____________．

5．word/media/image4_1.png中，周长为20cm，对角线AC交BD于点O，△OAB比△OBC的周长多4，则边AB＝____________，BC＝____________．

6．平行四边形的边长等于5和7，这个平行四边形锐角的平分线把长边分成两条线段长各是____________．

7．已知等腰△ABC的一腰AB＝9 cm，过底边上任一点P作两腰平行线分别交AB于M，交AC于N，则AN十PN＝____________．

8．平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是____________．

9．平行四边形邻边长是4 cm和8cm，一边上的高是5 cm，则另一边上的高是____________．

10．如图12-1-8，word/media/image4_1.png中，E是AD的中点，BD与EC相交于F，若b3b14f97fa41bcb4737f09cca23539f3.png，则94c18102a05ad18c064a1c6400fe441c.png＝____________．

11．已知P为word/media/image4_1.png内一点，word/media/image20_1.png，则32498bbdc67c0a299f3a2cc97e7f59e7.png＝____________．

12．已知word/media/image4_1.png的对角线相交于点O，它的周长为10 cm，△BCO的周长比△AOB的周长多2cm，则AB＝____________．

二、解答题

13．已知，如图12-1-9，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC交AB于E，EF∥AC交BC于F，则BE＝FC，为什么？

14．如图12-1-10，word/media/image4_1.png中，E，F是对角线BD上两点，且BE＝FD，连结AE，FC，则AE＝FC，试说明理由．

15．如图12-1-11，word/media/image4_1.png中，对角线AC长为10 cm，∠CAB＝30°，AB长为6 cm，求word/media/image4_1.png的面积．

word/media/image23_1.png

16．如图12-1-12，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，D，E，F分别在AC，AB和BC上，试说明PD＋PF＋PE＝AB．

17．从平行四边形的一个锐角顶点作两条高，如果这两条高的夹角是135°，求此平行四边形的各角的度数．

三、思考题

18．如图12-1-13，EF过word/media/image4_1.png对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，求四边形EFCD的周长．

19．以平行四边形ABCD两邻边BC、CD为边向外作正△BCP和正△CDQ，则△APQ为正三角形，请说明理由．

word/media/image25.gif

参考答案

【同步达纲练习】

一、

1．72°，108°，72°，108°

2．6，8，6，8

3．9a0f6c6476d799e26bc1885e037e6f34.png

4．10

5．7cm，3 cm

6．5，2

7．9 cm

8．12或18

9．cd9809a327fdb7681aed1a56dcb78b02.png

10．8

11．50

12．1.5cm

二、

13．提示：由△BED是等腰三角形得到BE＝ED，由四边形DEFC是平行四边形得到ED＝FC即可．

14．提示：通过△ABE与△DCF重合可以得出．

15．26520f8b46c2f9935a3a279ee1cc6c13.png．

16．延长FP交AB于G，延长DP交BC于H，四边形AGPD，EBHD为平行四边形，PD＝AG，PH＝BE，△GEP，△PHF为等边三角形，PE＝EG，PH＝PF＝BE，PD＋PF＋PE＝AG＋GE＋EB＝AB．

17．45°，135°，45°，135°．

三、

18．OE＝OF＝1.5，AE＝CF，DE＝BF，ED＋CF＝BF＋FC＝5，CD＝AB＝4，四边形EFCD的周长为2×1.5＋5＋4＝12．

19．提示：证明△ABP、△QDA、△QCP三个三角形重合，可得出AP＝AQ＝PQ即可．