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2016年神州智达高考数学二模试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4，5}，N={2，3}，则集合（∁UN）∩M=（　　）

A．{2，3} B．{2，3，5} C．{1，4} D．{1，4，5}

2．设复数z满足（1+i）z=2i，则复数z=（　　）

A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i

3．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是（　　）

A．（0，a） B．（a，0） C．（0，） D．（，0）

5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sn+2﹣Sn=36，则n=（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

6．已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸 （单位：cm），可得这个几何体的体积是（　　）

A． B． C．2cm3 D．4cm3

7．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（　　）

A．3 B．﹣3 C．1 D．

8．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

9．已知函数，若，则f（﹣a）=（　　）

A． B． C． D．

10．在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则=（　　）

A． B． C． D．

11．函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式exf（x）＞ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）

A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，

13．若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是　　　　　　．

14．已知{an}是等比数列，a2=2，a3=，则a1a2+a3a4+…+anan+1=　　　　　　．

15．若直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是　　　　　　．

16．在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为　　　　　　．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．

18．某班主任对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如表所示

参加社团活动 不参加社团活动 合计

学习积极性高 17 8 25

学习积极性一般 5 20 25

合计 22 28 50

（Ⅰ）如果随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是多少？抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少？

（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系？并说明理由．

x2=．

P（x2≥k） 0.05 0.01 0.001

K 3.841 6.635 10.828

19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=BC=2，∠CBA=∠PBC=60°，Q为线段BC的中点．

（1）求证：PA⊥BC；

（2）求点Q到平面PAC的距离．

20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），e=，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A、B，点A，B的中点横坐标为，且=λ（其中λ＞1）．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）求实数λ的值．

21．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．

（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；

（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；

（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。做答时请写清题号[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．

（Ⅰ）求证：C是劣弧的中点；

（Ⅱ）求证：BF=FG．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，2），倾斜角α=．

（Ⅰ）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；

（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|PA||PB|的值．

[选修4-5：不等式选讲]

24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．

（1）解不等式f（x）＞0；

（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．

2016年神州智达高考数学二模试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4，5}，N={2，3}，则集合（∁UN）∩M=（　　）

A．{2，3} B．{2，3，5} C．{1，4} D．{1，4，5}

【考点】交、并、补集的混合运算．

【专题】集合思想；定义法；集合．

【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．

【解答】解：∁UN={1，4，5，6}，

则（∁UN）∩M={1，4，5}，

故选：D．

【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

2．设复数z满足（1+i）z=2i，则复数z=（　　）

A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【专题】方程思想；转化思想；数系的扩充和复数．

【分析】（1+i）z=2i，可得（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），化简整理即可得出．

【解答】解：∵（1+i）z=2i，

∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），

化为：2z=2（i+1），

∴z=1+i．

故选：C．

【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭虚数的定义，考查了推理能力与技能数列，属于基础题．

3．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】充要条件．

【专题】计算题；简易逻辑．

【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．

【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；

∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，

∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．

故选：B．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．

4．抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是（　　）

A．（0，a） B．（a，0） C．（0，） D．（，0）

【考点】抛物线的简单性质．

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】先将抛物线的方程化为标准式，再求出抛物线的焦点坐标．

【解答】解：由题意知，y=4ax2（a≠0），则x2=，

所以抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是（0，），

故选：C．

【点评】本题考查抛物线的标准方程、焦点坐标，属于基础题．

5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sn+2﹣Sn=36，则n=（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

【考点】等差数列的性质．

【专题】等差数列与等比数列．

【分析】由Sn+2﹣Sn=36，得an+1+an+2=36，代入等差数列的通项公式求解n．

【解答】解：由Sn+2﹣Sn=36，得：an+1+an+2=36，

即a1+nd+a1+（n+1）d=36，

又a1=1，d=2，

∴2+2n+2（n+1）=36．

解得：n=8．

故选：D．

【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础题．

6．已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸 （单位：cm），可得这个几何体的体积是（　　）

A． B． C．2cm3 D．4cm3

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【专题】空间位置关系与距离．

【分析】由题目给出的几何体的三视图，还原得到原几何体，然后直接利用三棱锥的体积公式求解．

【解答】解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，

如图，

故，

故选B．

【点评】本题考查了棱锥的体积，考查了空间几何体的三视图，能够由三视图还原得到原几何体是解答该题的关键，是基础题．

7．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（　　）

A．3 B．﹣3 C．1 D．

【考点】简单线性规划．

【专题】计算题．

【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．

【解答】解：作图

易知可行域为一个三角形，

当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，

故选A．

【点评】本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．

8．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

【考点】程序框图．

【专题】计算题；规律型；算法和程序框图．

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出输出不满足条件S=0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．

【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，

再根据流程图所示的顺序，

可知：该程序的作用是：

输出不满足条件S=0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．

第一次运行：满足条件，s=1，k=1；

第二次运行：满足条件，s=3，k=2；

第三次运行：满足条件，s=11＜100，k=3；满足判断框的条件，继续运行，

第四次运行：s=1+2+8+211＞100，k=4，不满足判断框的条件，退出循环．

故最后输出k的值为4．

故选：A．

【点评】本题考查根据流程图（或伪代码）输出程序的运行结果．这是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．

9．已知函数，若，则f（﹣a）=（　　）

A． B． C． D．

【考点】函数的值．

【专题】计算题．

【分析】利用f（x）=1+，f（x）+f（﹣x）=2即可求得答案．

【解答】解：∵f（x）==1+，

∴f（﹣x）=1﹣，

∴f（x）+f（﹣x）=2；

∵f（a）=，

∴f（﹣a）=2﹣f（a）=2﹣=．

故选C．

【点评】本题考查函数的值，求得f（x）+f（﹣x）=2是关键，属于中档题．

10．在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则=（　　）

A． B． C． D．

【考点】平面向量数量积的运算．

【专题】计算题；平面向量及应用．

【分析】运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求．

【解答】解：若|+|=|﹣|，

则=，

即有=0，

E，F为BC边的三等分点，

则=（+）（+）=（）（）

=（+）（+）

=++=×（1+4）+0=．

故选B．

【点评】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量共线的定理，考查运算能力，属于中档题．

11．函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

【考点】奇偶函数图象的对称性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．

【专题】压轴题；数形结合．

【分析】的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．

【解答】解：函数，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图

当1＜x≤4时，y1＜0

而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，

在和上是减函数；

在和上是增函数．

∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H

相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D

且：xA+xH=xB+xG═xC+xF=xD+xE=2，故所求的横坐标之和为8

故选D

【点评】发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．

12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式exf（x）＞ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）

A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞）

【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．

【专题】导数的综合应用．

【分析】构造函数g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解

【解答】解：设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），

则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，

∵f（x）+f′（x）＞1，

∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，

∴g′（x）＞0，

∴y=g（x）在定义域上单调递增，

∵exf（x）＞ex+3，

∴g（x）＞3，

又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，

∴g（x）＞g（0），

∴x＞0

故选：A．

【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，

13．若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是　y=x　．

【考点】双曲线的简单性质．

【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】求出双曲线的a，b，再由渐近线方程y=x，即可得到所求方程．

【解答】解：双曲线E的标准方程是，

则a=2，b=1，

即有渐近线方程为y=x，

即为y=x．

故答案为：y=x．

【点评】本题考查双曲线的方程和性质：渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．

14．已知{an}是等比数列，a2=2，a3=，则a1a2+a3a4+…+anan+1=　　．

【考点】等比数列的性质．

【专题】计算题；等差数列与等比数列．

【分析】先根据a2=2，a3=，求出公比q，再根据{anan+1}为等比数列，根据求和公式得到答案．

【解答】解：∵{an}是等比数列，a2=2，a3=，∴q=

∵=q2=

∴数列{anan+1}是以32为首项，为公比的等比数列

∴a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1==．

故答案为：

【点评】本题主要考查等比数列的求和问题．属基础题．

15．若直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是　3+2　．

【考点】直线的截距式方程．

【专题】直线与圆．

【分析】把点（1，2）代入直线方程，得到=1，然后利用a+b=（a+b）（），展开后利用基本不等式求最值．

【解答】解：∵直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）

∴=1，

∴a+b=（a+b）（）=3+≥3+2，当且仅当b=a时上式等号成立．

∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2．

故答案为：3+2．

【点评】本题考查了直线的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是中档题．

16．在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为　π　．

【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．

【专题】空间位置关系与距离．

【分析】利用三棱锥侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，从而求出对角线长，即可求解外接球的体积．

【解答】解：三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，

设长方体的三度为a，b，c，则由题意得：ab=，ac=，bc=，

解得：a=，b=，c=1，

所以球的直径为： =

所以球的半径为，

所以三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为=π

故答案为：π

【点评】本题考查几何体的外接球的体积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个，以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．

【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．

【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．

【分析】（I）先化简求得解析式f（x）=sin（2x﹣）+，从而可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）先求2x﹣的范围，可得sin（2x﹣）的范围，从而可求函数f（x）的值域．

【解答】解：（I）f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x …（2分）

=sin（2x﹣）+．…（4分）

函数f（x）的最小正周期为T=π．…（6分）

因为﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，

所以函数f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z，．…（8分）

（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]

sin（2x﹣）∈[﹣，1]，…（10分）

所以函数f（x）的值域为f（x）∈[0，1+]．…（12分）

【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．

18．某班主任对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如表所示

参加社团活动 不参加社团活动 合计

学习积极性高 17 8 25

学习积极性一般 5 20 25

合计 22 28 50

（Ⅰ）如果随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是多少？抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少？

（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系？并说明理由．

x2=．

P（x2≥k） 0.05 0.01 0.001

K 3.841 6.635 10.828

【考点】独立性检验的应用．

【专题】计算题；概率与统计．

【分析】（Ⅰ）求出积极参加社团活动的学生有22人，总人数为50人，得到概率，不参加社团活动且学习积极性一般的学生为20人，得到概率．

（Ⅱ）根据条件中所给的数据，代入求这组数据的观测值的公式，求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系．

【解答】解：（Ⅰ）积极参加社团活动的学生有22人，总人数为50人，

所以随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是=；

抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生为20人，

所以其概率为=；

（Ⅱ）x2=≈11.7

∵x2＞10.828，

∴有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系．

【点评】本题考查独立性检验的意义，是一个基础题，题目一般给出公式，只要我们代入数据进行运算就可以，注意数字的运算不要出错．

19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=BC=2，∠CBA=∠PBC=60°，Q为线段BC的中点．

（1）求证：PA⊥BC；

（2）求点Q到平面PAC的距离．

【考点】点、线、面间的距离计算．

【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离．

【分析】（1）由题意得到三角形ABC为等边三角形，由Q为BC中点，得到AQ垂直于BC，同理得到三角形BPC为等边三角形，得到PQ垂直于BC，由AQ与QC交于Q，得到BC与平面APQ垂直，而AP属于平面PAQ，即可得到PA与BC垂直；

（2）设点Q到平面PAC的距离为h，根据VQ﹣ACP=VC﹣APQ，利用体积法求出h，即为点Q到平面PAC的距离．

【解答】（1）证明：∵在△ABC中，BC=AB，∠CBA=60°，

∴△ABC为等边三角形，

∵Q为BC的中点，

∴AQ⊥BC，

同理在等边△BPC中，PQ⊥BC，

∵QA∩QC=Q，

∴BC⊥平面PAQ，

∵AP⊂平面PAQ，

∴BC⊥PA；

（2）设点Q到平面PAC的距离为h，由（1）得QA=QP=，

∵AP=2，

∴S△QPA=×2×=，

∵BC⊥平面PAQ，且CQ=1，

∴VC﹣PAQ=××1=，

∵AC=AP=PC=2，

∴S△PAC=×2×2×sin60°=，

∴VQ﹣PAC=××h，

∵VC﹣PAQ=VQ﹣PAC，

∴=××h，

解得：h=，

则点Q到平面PAC的距离为．

【点评】此题考查了点、线、面之间的距离，等边三角形的判定与性质，以及直线与平面垂直的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．

20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），e=，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A、B，点A，B的中点横坐标为，且=λ（其中λ＞1）．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）求实数λ的值．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．

【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．

【分析】（I）由条件可知c=1，a=2，由此能求出椭圆的标准方程．

（Ⅱ）由，可知A，B，F三点共线，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB⊥x轴，则x1=x2=1，不合意题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k（x﹣1）．由，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出实数λ的值．

【解答】解：（I）由条件可知c=1，a=2，故b2=a2﹣c2=3，

椭圆的标准方程是．…（4分）

（Ⅱ）由，可知A，B，F三点共线，设A（x1，y1），B（x2，y2），

若直线AB⊥x轴，则x1=x2=1，不合题意．

当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k（x﹣1）．

由，消去y得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．①

由①的判别式△=64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）=144（k2+1）＞0．

因为，…（6分）

所以=，所以．…（8分）

将代入方程①，得4x2﹣2x﹣11=0，

解得x=．…（10分）

又因为=（1﹣x1，﹣y1），=（x2﹣1，y2），，

，解得．…（12分）

【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的实数的值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．

21．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．

（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；

（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；

（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【专题】导数的综合应用．

【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据函数导数和切线斜率之间的关系即可求实数a的值；

（Ⅱ）构造函数，利用导数证明不等式即可；

（Ⅲ）利用参数分离法结合导数的应用即可得到结论．

【解答】解答：（I）函数的f（x）的导数f′（x）=，

∵过点A（2，f（2））的切线斜率为2，

∴f′（2）==2，解得a=4．…（2分）

（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a（1﹣）=a（lnx﹣1+）；

则函数的导数g′（x）=a（）．…（4分）

令g′（x）＞0，即a（）＞0，解得x＞1，

∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．

∴g（x）最小值为g（1）=0，

故f（x）≥a（1﹣）成立．…（6分）

（Ⅲ）令h（x）=alnx+1﹣x，则h′（x）=﹣1，

令h′（x）＞0，解得x＜a．…（8分）

当a＞e时，h（x）在（1，e）是增函数，所以h（x）＞h（1）=0．…（9分）

当1＜a≤e时，h（x）在（1，a）上递增，（a，e）上递减，

∴只需h（x）≥0，即a≥e﹣1．…（10分）

当a≤1时，h（x）在（1，e）上递减，则需h（e）≥0，

∵h（e）=a+1﹣e＜0不合题意．…（11分）

综上，a≥e﹣1…（12分）

【点评】本题主要考查导数的综合应用，要求熟练掌握导数的几何意义，函数单调性最值和导数之间的关系，考查学生的综合应用能力．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。做答时请写清题号[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．

（Ⅰ）求证：C是劣弧的中点；

（Ⅱ）求证：BF=FG．

【考点】与圆有关的比例线段．

【专题】计算题．

【分析】（I）要证明C是劣弧BD的中点，即证明弧BC与弧CD相等，即证明∠CAB=∠DAC，根据已知中CF=FG，AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，我们易根据同角的余角相等，得到结论．

（II）由已知及（I）的结论，我们易证明△BFC及△GFC均为等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，进而得到结论．

【解答】解：（I）∵CF=FG

∴∠CGF=∠FCG

∴AB圆O的直径

∴

∵CE⊥AB

∴

∵

∴∠CBA=∠ACE

∵∠CGF=∠DGA

∴

∴∠CAB=∠DAC

∴C为劣弧BD的中点（5分）

（II）∵

∴∠GBC=∠FCB

∴CF=FB

同理可证：CF=GF

∴BF=FG（10分）

【点评】本题考查的知识点圆周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中根据AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，找出要证明相等的角所在的直角三角形，是解答本题的关键．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，2），倾斜角α=．

（Ⅰ）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；

（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|PA||PB|的值．

【考点】参数方程化成普通方程．

【专题】坐标系和参数方程．

【分析】（Ⅰ）利用同角的三角函数的平方关系消去θ，得到圆的普通方程，再由直线过定点和倾斜角确定直线的参数方程；

（Ⅱ）把直线方程代入圆的方程，得到关于t的方程，利用根与系数的关系得到所求．

【解答】解：（I）消去θ，得圆的标准方程为x2+y2=16．…（2分）

直线l的参数方程为，即（t为参数） …（5分）

（Ⅱ）把直线的方程代入x2+y2=16，

得（1+t）2+（2+t）2=16，即t2+（2+）t﹣11=0，…（8分）

所以t1t2=﹣11，即|PA||PB|=11． …（10分）

【点评】本题考查了圆的参数方程化为普通方程、直线的参数方程以及直线与圆的位置关系问题，属于基础题．

[选修4-5：不等式选讲]

24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．

（1）解不等式f（x）＞0；

（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．

【考点】绝对值不等式的解法；函数最值的应用．

【专题】计算题；压轴题；分类讨论．

【分析】（1）分类讨论，当x≥4时，当时，当时，分别求出不等式的解集，再把解集取交集．

（2）利用绝对值的性质，求出f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故m＜9．

【解答】解：（1）当x≥4时f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0得 x＞﹣5，所以，x≥4时，不等式成立．

当时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以，1＜x＜4时，不等式成立．

当时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以，x＜﹣5成立

综上，原不等式的解集为：{x|x＞1或x＜﹣5}．

（2）f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，当且仅当﹣≤x≤4时，取等号，

所以，f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故 m＜9．

【点评】本题考查绝对值不等式的解法，求函数的最小值的方法，绝对值不等式的性质，体现了分类讨论的数学思想．