第5章 第2节

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一、选择题(每小题6分，共36分)

1．(2008年广东卷)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝

(　　)

A．(－2，－4)　　　　　 B．(－3，－6)

C．(－4，－8) D．(－5，－10)

【解析】　∵a∥b⇒＝⇒m＝－4,2a＋3b＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．故选C.

【答案】　C

2．已知向量a＝(3，－2)，b＝(－2,1)，c＝(7，－4)，试用a和b来表示c.下面正确的表述是

(　　)

A．c＝5a－3b B．c＝a－2b

C．c＝2a－b D．c＝2a＋b

【解析】　设c＝λa＋μb，则(7，－4)＝λ(3，－2)＋μ(－2,1)，由向量相等得

得

【答案】　B

3．已知A(7,1)、B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝2，则实数a等于

(　　)

A．2 B．1

C. D.

【解析】　设C(x，y)，则

＝(x－7，y－1)，＝(1－x,4－y)，

∵＝2，

∴，解得.

∴C(3,3)．

又∵C在直线y＝ax上，

∴3＝a·3，∴a＝2.

【答案】　A

4．设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量m，n之间的一个运算“”为mn＝(ac－bd，ad＋bc)，若已知p＝(1,2)，pq＝(－4，－3)．则q等于

(　　)

A．(2,1) B．(－2,1)

C．(2，－1) D．(－2，－1)

【解析】　设q＝(x，y)，由题设中运算法则得：

pq＝(x－2y，y＋2x)＝(－4，－3)

∴解之得.

故q＝(－2,1)．故应选B.

【答案】　B

5．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝，其中λ，m，α为实数，若a＝2b，则的取值范围是

(　　)

A．[－6,1] B．[4,8]

C．[－1,1] D．[－1,6]

【解析】　由a＝2b知

∴

又cos2α＋2sin α＝－sin2α＋2sin α＋1

＝－(sin α－1)2＋2

∴－2≤cos2α＋2sin α≤2

∴－2≤λ2－m＝(2m－2)2－m≤2

∴≤m≤2.

∴＝＝2－∈[－6,1]．∴选A.

【答案】　A

6．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件是

(　　)

A．m≠－2 B．m≠

C．m≠1 D．m≠－1

【解析】　若点A、B、C不能构成三角形，则只能共线．

∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，

＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．

假设A、B、C三点共线，

则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.

∴若A、B、C三点能构成三角形，则m≠1.

【答案】　C

二、填空题(每小题6分，共18分)

7．已知a1＝(1,0)，a2＝(1，－1)，a3＝(2,2)，若a1＋xa2＋ya3＝0，则x＋y的值为

(　　)

【解析】　由条件知得.x＋y＝－.

【答案】　－

8．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若＝＋λ(λ∈R)，则当点P在第三象限时，λ的取值范围是________．

【解析】　设点P(x，y)，则＝(x－2，y－3)，

又∵＝＋λ＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，

∴(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，

即

又∵点P在第三象限．

∴，解得λ＜－1.

【答案】　(－∞，－1)

9．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{b|b＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N＝________.

【解析】　由(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，

得，

解得，∴M∩N＝{(－2，－2)}．

【答案】　{(－2，－2)}

三、解答题(共46分)

10．(15分)已知点A(－1,2)，B(2,8)以及＝，＝－，求点C、D的坐标和的坐标．

【解析】　设点C、D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

由题意得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，

＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．

因为＝，＝－，

所以有和

解得和

所以点C、D的坐标分别是(0,4)，(－2,0)，

从而＝(－2，－4)

11．(15分)已知A、B、C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)(1,2)，并且＝，＝.求证：∥.

【证明】　设E，F两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

则依题意，得＝(2,2)， (－2,3)， (4，－1)．

∴＝＝，＝＝

∴＝(x1，y1)，－(－1,0)＝，

＝(x2，y2)－(3，－1)＝

∴(x1，y1)＝＋(－1,0)＝，

(x2，y2)＝＋(3，－1)＝.

∴＝(x2，y2)－(x1，y1)＝.

又4×－(－1)×＝0，∴∥

12．(16分)已知向量u＝(x，y)与向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．

(1)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)与f(b)的坐标；

(2)求使f(c)＝(p，q)(p、q为常数)的向量c的坐标；

(3)证明：对任意的向量a、b及常数m、n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立．

【解析】　(1)∵a＝(1,1)，

∴f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)．

又∵b＝(1,0)，

∴f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)

(2)设c＝(x，y)，

则f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)，

∴，∴，

c＝(2p－q，p)．

(3)证明：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，

则ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，

所以f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)．

因为mf(a)＝m(a2,2a2－a1)，nf(b)＝n(b2,2b2－b1)，

所以mf(a)＋nf(b)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，

所以f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立．