南京市2019年初中学业水平考试

数 学

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．2018年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到13 000亿美元．用科学记数法表示13 000是

A． B． C． D．

2．计算的结果是

A． B． C． D．

3．面积为4的正方形的边长是

A．4的平方根 B．4的算术平方根 C．4开平方的结果 D．4的立方根

4．实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是

5．下列整数中，与最接近的是

A．4 B．5 C．6 D．7

6．如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，△A′B′C′还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：

①1次旋转；

②1次旋转和1次轴对称；

③2次旋转；

④2次轴对称．

其中所有正确结论的序号是

A．①④ B．②③ C．②④ D．③④

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，本大题共20分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）

7．﹣2的相反数是 ；的倒数是 ．

8．计算的结果是 ．

9．分解因式的结果是 ．

10．已知是关于x的方程的一个根，则m＝ ．

11．结合下图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵

，∴a∥b．

12．无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 cm．

13．为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查．整理样本数据，得到下表：

根据抽样调查结果，估计该区12 000名初中学生视力不低于4.8的人数是 ．

14．如图，PA、PB是OO的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝ °．

15．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于

点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC

的长为 ．

16．在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC

的长的取值范围是 ．

三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（7分）计算．

18．（7分）解方程．

19．（7分）如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证△ADF≌△CEF．

20．（8分）下图是某市连续5天的天气情况．

（1）利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；

（2）根据上图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论．

21．（8分）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．

（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？

（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ．

22．（7分）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证PA＝PC．

23．（8分）已知一次函数（k为常数，k≠0）和．

（1）当k＝﹣2时，若＞，求x的取值范围；

（2）当x＜1时，＞．结合图像，直接写出k的取值范围．

24．（8分）如图，山顶有一塔AB，塔高33 m．计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF．从与E点相距80 m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50 m的D处测得A的仰角为45°．求隧道EF的长度．

（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51）

25．（8分）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642 000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？

26．（9分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．

（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形；

（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．

27．（11分）

【概念认知】

城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A(，)和B(，)，用以下方式定义两点间距离：d(A，B)＝＋．

【数学理解】

（1）①已知点A(﹣2，1)，则d(O，A)＝ ；

②函数 (0≤x≤2)的图像如图①所示，B是图像上一点，d(O，B)＝3，则点B的坐标是 ．

（2）函数 (x＞0)的图像如图②所示，求证：该函数的图像上不存在点C，使d(O，C)＝3．

（3）函数 (x≥0)的图像如图③所示，D是图像上一点，求d(O，D)的最小值及对应的点D的坐标．

【问题解决】

（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由 亚）