考研数学一-398

(总分：150.00，做题时间：90分钟)

一、选择题(总题数：8，分数：32.00)

1.设n为自然数，则

（分数：4.00）

 A..n

 B.2n

 C.3n

 D.4n √

解析：[考点] 定积分的计算．

[解析] 先求出函数 的导数，由周期函数的积分性质再去掉绝对值符号，直接计算定积分即可．

解：由于 ，则



注意到|sint|是以π为周期的函数，则



故应选D．

2.曲面上平行于平面2x+2y-z=0的切平面方程是______．

（分数：4.00）

 A.2x+y+z-3=0

 B.2x+2y-z-3=0 √

 C.2x+2y+z-3=0

 D.2x+2y-z+3=0

解析：[考点] 多元函数微分学的几何应用．

[解析] 待求平面的法向量n=(2，2，-1)，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程．

解：令 ，则F" x =x，F" y =2y，F" z =1．由条件知所求平面的法向量n=(F" x ，F" y ，F" z )=(x，2y，-1)平行于已知平面的法向量，n 1 =(2，2，-1)，从而有 ，由此得x=2，y=1， ，即点(2，1，3)为切点，故所求切平面方程为2(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0，即2x+2y-z-3=0．

故应选B．

3.设f(0)=0，则f(x)在点x=0处可导的充要条件为______．

A．

B．

C．

D．

（分数：4.00）

 A.

 B. √

 C.

 D.

解析：[考点] 导数的定义．

[解析] 利用排除法或导数定义可得结论．

解法一：排除法．

对于A选项，取f(x)=|x|，则

，

极限存在，但f(x)=|x|在x=0处不可导，故排除A；

对于C选项，仍取f(x)=|x|，有



极限存在，但f(x)在x=0处不可导，故排除C项；

对于D选项，取 则



极限存在，但f(x)在x=0不连续，从而f"(0)也不存在，故排除D项．

故应选B．

解法二：利用导数定义，直接考查B选项，



因此，

故应选B．

4.设 是正项级数，下列结论中正确的是______．

A．若 ，则级数 收敛

B．若存在非零常数λ，使得 ，则级数 发散

C．若级数 收敛，则

D．若级数 发散，则存在非零常数λ，使得

（分数：4.00）

 A.

 B. √

 C.

 D.

解析：[考点] 级数的敛散性．

[解析] 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项．

解：取 ，则 发散，则排除A、D项；

又取 ，则级数 收敛，但 ，排除C．

故应选B．

5.已知n维向量组(ⅰ)α 1 ，α 2 ，…，α s 和(ⅱ)β 1 ，β 2 ，…，β t 的秩都为r，则下列命题中不正确的是______．

（分数：4.00）

 A.若s=t，则向量组(ⅰ)与(ⅱ)等价 √

 B.若向量组(ⅰ)是(ⅱ)的部分组，则向量组(ⅰ)与(ⅱ)等价

 C.若向量组(ⅰ)能由(ⅱ)线性表示，则向量组(ⅰ)与(ⅱ)等价

 D.若向量组(ⅲ)：α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt的秩为r，则向量组(ⅰ)和(ⅱ)等价

解析：[考点] 向量组的等价．

[解析] 举反例可得A选项错误；或者逐一判断B、C、D选项正确，从而排除A．

解：取向量组(ⅰ)： ， 和向量组(ⅱ)： ， ．

则向量组(ⅰ)的秩为2，向量组(ⅱ)的秩也为2．但显然(ⅰ)与(ⅱ)不等价．

6.矩阵 与______相似．

A．

B．

C．

D．

（分数：4.00）

 A.

 B.

 C.

 D. √

解析：[考点] 矩阵相似的判别．

[解析] 利用矩阵相似的必要条件排除A、B、C项；或者直接判别题目中矩阵与D项的矩阵都与同一个对角阵相似．

解：令矩阵 ，则A的特征值为1和2．

而A选项中矩阵的特征值为-1和-2，故矩阵A不与A选项的矩阵相似．

又因为 ，而B选项中 ，C选项中 ，故矩阵A不与B、C选项的矩阵相似．

所以，矩阵A与D选项的矩阵相似．

事实上， 和 均与对角阵 相似．再由相似的传递性， 和 相似．

故应选D．

7.设随机变量X，Y，Z相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(2，2)，Z～N(3，7)，记a=P{X＜Y}，b=P{Y＜Z}，则______．

（分数：4.00）

 A.a＜b √

 B.a＞b

 C.a=b

 D.无法确定

解析：[考点] 考查正态分布．

[解析] 利用正态分布标准化．

解：因为X—Y～N(-1，4)，Y—Z～N(-1，9)，则



由于分布函数 单调增加，所以a＞b．

故应选A．

8.设一批零件的长度服从正态分布N(μ，σ 2 )，其中μ，σ 2 均未知．现从中随机抽取16个零件，测得样本均值 ，样本标准差s=1cm，则μ的置信度为0.90的置信区间是______．(其中t α (n)是上侧分位点)

A．

B．

C．

D．

（分数：4.00）

 A.

 B.

 C. √

 D.

解析：[考点] 考查正态总体参数区间估计．

[解析] 当总体为正态总体，σ 2 未知时，μ的置信区间为 ．

解：由正态总体抽样分布的性质知， ，故μ的置信度为0.90的置信区间是

，即 ．

故应选C．

二、填空题(总题数：6，分数：24.00)

9.设f(x)是3次多项式，且有 ，则

（分数：4.00）

解析： [考点] 未定式极限．

[解析] 由题设条件先求出f"(2a)及f"(4a)；再求出f(x)的表达式，从而得到所求极限．

解：由 ，知f(2a)=0，于是得



同理，由 ，知f(4a)=0，f"(4a)=1．

又因为f(x)是三次多项式，x=2a与x=4a是f(x)的两个零点，令f(x)=k(x-2a)(x-4a)(x-a)，则f"(x)=k[(x-4a)(x-α)+(x-2a)(x-α)+(x-2a)(x-4a)]．

由 得α=3a,于是f(x)=k(x-2a)(x-3a)(x-4a)．

又因为 ，则得到 ，故 ，则 ．

故应填 ．

10.函数f(x)=2x 3 -6x 2 -18x-7在[1，4]上的最大值是 1．

（分数：4.00）

解析：-29 [考点] 求函数在闭区间上的最值．

[解析] 求出f(x)在(1，4)内的极值可疑点及端点的值，取其最大者即可．

解：由题可得f"(x)=6x 2 -12x-18，令f"(x)=0，则x 1 =-1，x 2 =3．

因为 ，所以x 2 =3是f(x)在(1，4)内的极值可疑点，于是f(x)在[1，4]上的最大值是

故应填-29．

11.交换二次积分的积分次序：

（分数：4.00）

解析： [考点] 交换二次积分的积分次序．

[解析] 因为已知二次积分中当1≤x≤2时， ，由此可知这个二次积分不能直接转化为二重积分；而二次积分 与已知二次积分只相差一个负号，且该积分可转化为二重积分 ，其中积分区域D如图所示；再由二重积分得到所求积分次序的二次积分．

解：因为 ，则积分区域(如图所示)为

将D改写为



则有



故应填 ．

12.设y=e x (C 1 sinx+C 2 cosx)(C 1 ，C 2 是任意常数)为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该方程为 1．

（分数：4.00）

解析：y"-2y"+2y=0 [考点] 已知微分方程的解反求微分方程．

[解析] 本题可以从不同思路分析：其一，由通解形式可得特征根，根据特征根写出特征方程，最后由特征方程与微分方程的关系写出所求微分方程；其二，由通解消去参数C 1 ，C 2 ，得所求微分方程．

解法一：根据二阶常系数齐次线性微分方程的特征根与对应通解之间的关系可知，特征根为一对复数根：λ 1,2 =1±i，于是特征方程为[λ-(1+i)][λ-(1-i)]=λ 2 -2λ+2=0，故相应的二阶常系数齐次线性微分方程为y"-2y"+2y=0．

解法二：无须了解所求微分方程是什么类型(只要是二阶)，由通解y=e x (C 1 sinx+C 2 cosx)，求得

y"=e x [(C 1 -C 2 )sinx+(C 1 +C 2 )cosx]，

y"=e x (-2C 2 sinx+2C 1 cosx)，

由上面三个式子消去C 1 与C 2 ，得y"-2y"+2y=0．

故应填y"-2y"+2y=0．

13.设A是3阶实对称矩阵，且满足A 2 +2A=O，若kA+E是正定矩阵，则k 1．

（分数：4.00）

解析： [考点] 正定矩阵．

[解析] 先求出A的特征值，进而求出kA+E的特征值，再确定k值．

解：由A 2 +2A=0知，A的特征值是0或-2，则kA+E的特征值是1或-2k+1．又因为矩阵正定的充要条件是特征值大于0，所以， ．

故应填小于 ．

14.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且E[(X-1)(X-2)]=1，则λ= 1．

（分数：4.00）

解析：1 [考点] 考查泊松分布．

[解析] 利用泊松分布的数字特征结论．

解：由题意可得

E[(X-1)(X-2)]=E(X 2 -3X+2)=E(X 2 )-3E(X)+2

=D(X)+[E(X)] 2 -3E(X)+2=1，

由随机变X服从参数为λ的泊松分布，则有D(X)=E(X)=λ，从而



故应填1．

三、解答题(总题数：9，分数：94.00)

15.已知 ，且f(0)=g(0)=0，试求

（分数：10.00）

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正确答案：()

解析：解：因为 ，则 ，又因为f(0)=0，代入表达式得C=0，故 ，

同理，由 及g(0)=0，得g(x)=ln(1+x)．于是



因为 ，即 ，故 [考点] 不定积分；未定式的极限．

[解析] 先积分，求出f(x)和g(x)的表达式，再求极限．注意在求极限时应尽量利用无穷小量的等价代换简化计算过程．

16.计算曲线积分 ，其中L是平面x+y+z=2与柱面|x|+|y|=1的交线，从z轴正向看去，L为逆时针方向．

（分数：10.00）

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正确答案：()

解析：解：取Σ为平面x+y+z=2的上侧被L所围成的部分，Σ的单位法向量为 ，即

由斯托克斯公式，得

其中Σ在xOy面上的投影域D为|x|+|y|≤1．(如图所示)．在Σ上：z=2-x-y，(x，y)∈D，



因此



[考点] 第二类曲线积分的计算及斯托克斯公式的应用．

[解析] 空间曲线积分主要有两种计算方法：一是参数法，即将空间曲线用参数方程表示，再将空间曲线积分转化为定积分；二是用斯托克斯公式，将问题转化为第二类曲面积分．显然，本题用斯托克斯公式最方便．

17.设f(x，y)=x 3 +y 3 -3x 2 -3y 2 ，求f(x，y)的极值及其在x 2 +y 2 ≤16上的最大值．

（分数：10.00）

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正确答案：()

解析：解：根据题意可得



解得x 1 =0，x 2 =2，y 1 =0，y 2 =2．

即共有4个极值可疑点：(0，0)，(0，2)，(2，0)，(2，2)．

又因为



则在点(0，0)处，

B 2 -AC=0-(-6)×(-6)=-36＜0且A=-6＜0．

所以点(0，0)是一个极大值点且极大值为f(0，0)=0．

同理，f(2，2)=-8是一个极小值；而f(0，2)与f(2，0)不是极值．

由上面讨论可知，f(x，y)在闭域D上的最大值，若在D内达到，必是在(0，0)点取得，但也可能在D的边界上，故建立拉格朗日函数．

令

L(x，y，λ)=x 3 +y 3 -3x 2 -3y 2 +λ(x 2 +y 2 -16)，

则有



解得：x=0，y=4或x=4，y=0或

因此f(x，y)在D上的最大值为

[考点] 多元函数的极值、最值．

[解析] 先求出函数f(x，y)在区域D：x 2 +y 2 ≤16内的极值可疑点(x i ，y i )(i=1，2，…，m)；再利用极值的充分判别法判断每个点是否为极值点，若是极值点，则求出对应的极值；最后由拉格朗日乘数法求得f(x，y)在D的边界上的可疑极值，将以上所得函数值进行比较，便可得到结果．

18.设函数f(x)连续，证明：

（分数：10.00）

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正确答案：()

解析：证：如图所示，

[考点] 二重积分对称性．

[解析] 所证等式的右边是定积分，左边是累次积分，而且发现式子左边无论是先对y还是先对x积分，里层的积分均无法积出，因此要另辟蹊径．若把左边看成二重积分：



右边亦视为二重积分：



则显然就能找到它们之间的联系．

19.求幂级数 的收敛域及和函数S(x)．

（分数：10.00）

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正确答案：()

解析：解：因为 ，所以当x 2 ＜1，即-1＜x＜1时，原幂级数绝对收敛．

当x=±1时，级数为 ，显然收敛，故收敛域为[-1，1]；

设 ，x∈[-1，1]，则



于是，得 ，由S(0)=1，得

[考点] 幂级数的收敛域与和函数．

[解析] 利用一般幂级数收敛域公式求收敛域，在收敛域内求和函数．

20.设α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 为4维列向量，满足α 2 ，α 3 ，α 4 线性无关，且α 1 +α 3 =2α 2 ．

令A=(α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 )，β=α 1 +α 2 +α 3 +α 4 ，求线性方程组Ax=β的通解．

（分数：11.00）

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正确答案：()

解析：解：先求Ax=0的基础解系．

由于α 2 ，α 3 ，α 4 线性无关，且α 1 =2α 2 -α 3 ，得r(A)=3．又因为

α 1 -2α 2 +α 3 +0·α 4 =0，

故Ax=0基础解系为(1，-2，1，0) T ．

再求Ax=β的一个特解．

由于β=α 1 +α 2 +α 3 +α 4 ，故(1，1，1，1) T 为一个特解．所以，Ax=β的通解为

(1，1，1，1) T +k(1，-2，1，0) T ，k为常数． [考点] 非齐次线性方程组的结构．

[解析] 利用非齐次线性方程组解的结构求解．先求对应导出组的基础解系，再求一个特解．

设A是一个n阶方阵，满足A 2 =A，r(A)=s且A有两个不同的特征值．（分数：11.00）

(1).试证A可对角化，并求对角阵；（分数：5.50）

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正确答案：()

解析：证：设λ是A的特征值，由于A 2 =A，所以λ 2 =λ，且A有两个不同的特征值，从而A的特征值为0和1．

又因为A 2 =A，即A(A-E)=0，故r(A)+r(A-E)=n．事实上，因为A(A-E)=0，所以

r(A)+r(A-E)≤n．

另一方面，由于E-A与A-E的秩相同，则有

n=r(E)=r[(E-A)+A]≤r(A)+(E-A)=r(A)+r(A-E)，

从而

r(A)+r(A-E)=n．

当λ=1时，因为r(A-E)=n-r(A)=n-s，从而齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系含有s个解向量，因此，A属于特征值1有s个线性无关特征向量，记为η 1 ，η 2 ，…，η s ．

当λ=0时，因为r(A)=s，从而齐次线性方程组(0·E-A)x=0的基础解系含n-s个解向量．因此，A属于特征值0有n-s个线性无关的特征向量，记为η s+1 ，η s+2 ，…，η n ．

于是η 1 ，η 2 ，…，η n 是A的n个线性无关的特征向量，所以A可对角化，并且对角阵为

(2).计算行列式|A-2E|．（分数：5.50）

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正确答案：()

解析：解：令P=(η 1 ，η 2 ，η 3 ，…，η n )，则 ，所以

[考点] 矩阵的相似对角化．

[解析] 只需证明A有n个线性无关的特征向量即可说明A可相似对角化，而对角阵主对角线上的元素即为A的特征值．

设随机变量X与Y独立同分布，且X的概率分布为

记U=max{X，Y}，V=min{X，Y}．（分数：11.00）

(1).求(U，V)的概率分布；（分数：5.50）

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正确答案：()

解析：解：(U，V)的可能取值为(1，1)、(1，2)、(2，1)、(2，2)，则



P{U=1，V=2}=0；



故(U，V)的概率分布为

(2).求U与V的协方差Cov(U，V)．（分数：5.50）

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正确答案：()

解析：由(U，V)的概率分布可得



所以 [考点] 考查二维离散型随机变量．

[解析] 利用随机变量的函数关系求分布律．

已知X 1 ，…，X n 为总体X的一组样本，总体X的概率密度为



求：（分数：11.00）

(1).θ的矩估计量；（分数：5.50）

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正确答案：()

解析：解：

令 ，解得 ，即 为θ的矩估计量．

(2).θ的最大似然估计量．（分数：5.50）

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正确答案：()

解析：似然函数为



对数似然函数为



对数似然方程为



其最大似然估计值为 ，即θ的最大似然估计量为 [考点] 考查参数的点估计．

[解析] 利用 求出矩估计；构造似然函数并求其最大值点．