群及其结构

引言：群论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是 近世代数的基础。变换群在几何学中起着重要的作用，而有限群则是伽罗华理论的基础。

在所有只含一个代数运算的代数体系中，最重要的一个研究对象就是群。而群的等价关系可谓“品种繁多”，本文主要介绍群的定义及其性质，子群，群的分类，以及陪集，不变子群和商群。

一、群的定义及其性质：

1、定义： 设G是一个非空集合,乘法“。”是G上的一个代数运算.若“。”满足条件:

(1) “。”适合结合律;

(2)存在,使得,;

(3)对于任意的,存在,使得,

则称（G，。）是一个群;不致混淆时,简称G是一个群.

2、性质：

（1）设G 为群，则G中的幂运算满足：

a∈G，(a1)1=a

a,b∈G，(ab)1=b1a1

a∈G，anam = an+m，n, m∈Z

a∈G，(an)m = anm，n, m∈Z

若G为交换群，则 (ab)n = anbn.

（2）G为群，a,b∈G，方程ax=b和ya=b在G中有解且仅有惟一解.

（3）消去律 ：G为群,则G中适合消去律,即对任意a,x,y∈G有

(1)若ax＝ay,则x＝y.

(2)若xa＝ya,则x＝y.

（4）G为群，a∈G且 |a| = r. 设k是整数，则

①ak = e当且仅当r | k ；② |a1| = |a|

二、子群：

1、概念：设G是群，H是G的非空子集，

(1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作H≤G.

(2) 若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作H<G.

对任何群G都存在子群. G和{e}都是G的子群，称为G的平凡子群. 

2、判定：群G的非空子集H是子群的充分必要 条件是:

或者

Thm3 群G的非空有限子集H是子群的充分必要条件是:

三、群的分类：

设（G，。）是一个群.

若“。”适合交换律,则称（G，。）是交换群或Abel群.

若G是有限集,则称（G，。）是有限群.若G是无限集,则称（G，。）是无限群.当（G，。）是有限群时,如G是由个不同的元素构成集合,我们就说群（G，。）的阶为,记作.当（G，。）是无限群时,我们就说群（G，。）的阶为无限大,记作.

1、 变换群：

（1）定义 ：一个集合A的若干个一一变换对于以上规定的变换的乘法构成的群,称为A的一个变换群。

（2）定理：① A上的所有一一变换构成一个变换群。

②任意群都与一个变换群同构。

2、 置换群：

（1）定义：一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换;一个有限集合的若干个置换做成的群,叫做一个置换群; 若A={a1, a2 , a3,…, an},则A上所有置换构成的群,称为n次对称群.记为Sn

（2）定理：① n次对称群Sn的阶是n!.

②每一个n个元的置换 都可以写成若干个互相没有共同数字的(不相连的)循环置换的乘积.

③每一个有限群都与一个置换群同构.

3、循环群：

（1）定义：设G是群，若存在a∈G使得G={ak| k∈Z} 则称G是循环群，记作G=<a>，称 a 为G 的生成元. 

（2）定理：①设G=(a)是循环群,若a的阶是无限的,则G与整数加群同构;若a的阶是有限整数n, 则G与模n的剩余类加群同构．

②设G=<a>是循环群：若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a和a1. 

若G是 n 阶循环群，则G含有(n)个生成元. 对于任何小于n且与 n 互质的数r∈{0,1,…,n-1}, ar是G的生成元.

（3）分类：n 阶循环群和无限循环群. 

设G=<a>是循环群，若a是n 阶元，则 G = { a0=e, a1, a2, … , an1 }那么|G| = n，称 G 为 n 阶循环群；若a 是无限阶元，则 G = { a0=e, a±1, a±2, … } 称 G 为无限循环群. 

四、陪集，不变子群，商群

陪集： 一个不变子群N的一个左陪集(或右陪集)叫做N的一个陪集.

定理（Lagrange）设G是有限群，H是G的子群，则

|G| = |H|·[G:H]

其中[G:H] 是H在G中的不同右陪集(或左陪集) 数，称为H在G 中的指数.

不变子群：一个群G的一个子群N叫做一个不变子群, 假如对以G的每一元a, 都有Na=aN.

定理1 一个群G的一个子群N是一个不变子群的充要条件为: 任意aG, 都有aNa-1=N.

定理2 一个群G的一个子群N是一个不变子群的充要条件为: 任意aG, 任意nN, 都有ana-1N.

陪集的乘法法则:(xN)(yN)=xyN

定理3 一个不变子群的陪集对于如上规定的乘法构成了一个群.我们称之商群, 通常用符号G/N表示. 且

定理1 一个群G同它的每一个商群G/N同态.

定义1 设是群G到G’的映射, e’为G’的单位元, 那么集合ker={xG| (x)=e’}称为同态映射的核.

定理2 设G和G’是两个群, 并且G和G’同态, 那么这个同态满射的核N是G的一个不变子群, 并且G/N≌G’.