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    《附17套高考模拟卷》安徽省皖智“1号卷”A10联盟2020-2021学年高三下学期开学联考数学试题

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    安徽省皖智“1号卷”A10联盟2020-2021学年高三下学期开学联考数学试
    题
    注意事项：
    1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
    3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
    4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
    一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
    1．已知xa展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则x2项系数为（）A．10
    B．32
    C．40
    D．80
    5
    2．若直线ykx2与曲线y13lnx相切，则k（）A．3
    B．
    13
    C．2D．
    12
    3．已知命题p：xR，x2x10；命题A．pq
    B．pq
    q：xR，x22x，则下列命题中为真命题的是（）
    D．pq
    C．pq
    1
    2logx,x11
    84．已知函数f(x，若f(af(b(ab，则ab的最小值为（）2
    2x,1x2
    参考数据：ln20.69,ln20.48
    2
    A．
    12
    7
    B．
    24
    C．log23
    D．
    22
    12x5．
    x
    A．84
    的展开式中x2的系数为（）
    B．84
    C．280，则当
    D．280时，左端应在
    的基础上加上（）
    6．用数学归纳法证明
    A．C．


    B．D．


    7．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，则直线DD1与平面ABC1所成角的

    余弦值为（）A．
    32
    B．
    33
    C．
    155
    D．
    105
    8．已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，a1，4csinA3cosC，ABC的面积为则c（）A．22
    B．4
    C．5
    D．32
    3，2
    9．b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，b⊂β，a//β，b//α，已知a，且a⊂α，则“a//b“是“α//β”的（）A．充分不必要条件C．充要条件
    B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
    10．已知f(x为定义在R上的奇函数，且满足f(x4f(x,当x(0,2时，f(x2x2，则f(3（）A．18
    B．18
    C．2
    D．2
    11．设全集UR，集合Axx2，Bxx3x0，则A．0,3
    B．2,3
    C．0,2


    2


    U
    AB（）
    D．0,
    12．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（）


    A．PA，PB，PC两两垂直C．|PA||PB||PC|
    8
    B．三棱锥P-ABC的体积为
    3
    6D．三棱锥P-ABC的侧面积为35
    二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
    13．公比为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若a22，S45S20，则S6S3的值为__________．14．过动点M作圆：(x22(y221的切线MN，其中N为切点，若|MN||MO|（O为坐标原点），则|MN|的最小值是__________．
    15．已知向量a，b满足a2，b1，ab3，则向量a在b的夹角为______.

    16．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图，则成绩在[250，400内的学生共有____人．

    三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
    17．（12分）如图，正方形AGIC是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，A~I处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从I处骑行到A处（不考虑A，I处的红绿灯），出发时的两条路线（IF，IH）等可能选择，且总是走最近路线.

    （1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？
    （2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过E处，且全程不等红绿灯的概率；
    （3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？
    18．（12分）在如图所示的多面体中，四边形ABEG是矩形，梯形DGEF为直角梯形，平面DGEF平面ABEG，且DGGE，DF//GE，AB2AG2DG2DF2.

    （1）求证：FG平面BEF.（2）求二面角ABFE的大小.

    19．（12分）在直角坐标系l中，已知直线l的直角坐标方程为y
    3
    x，曲线C1的参数方程为3
    xcos
    （为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极
    y1sin
    坐标方程为4sin(

    3
    .
    （1）求曲线C1和直线l的极坐标方程；
    （2）已知直线l与曲线C1、C2相交于异于极点的点A,B，若A,B的极径分别为1，2，求值.
    20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
    12的
    x22cos
    （为参数），以原点为极
    y2sin
    2
    点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（1）求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；
    4
    .
    cos24sin2
    （2）若直线l:ykx与曲线C1、曲线C2在第一象限交于P,Q两点，且|OP|2|OQ|，点M的坐标为
    (2,0，求ΔMPQ的面积.
    1x2y2
    21．（12分）已知椭圆C：221（ab0），与x轴负半轴交于A(2,0，离心率e.
    2ab
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设直线l：ykxm与椭圆C交于Mx1,y1，Nx2,y2两点，连接AM，AN并延长交直线x4于Ex3,y3，Fx4,y4两点，已知
    1111
    ，求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标.y1y2y3y4
    22．（10分）已知函数f(xxlnx2lnx3x5，g(xlnx
    2xaa
    2.xx
    （1）求证：f(x在区间(1,上有且仅有一个零点x0，且x0
    37,；24
    （2）若当x1时，不等式g(x0恒成立，求证：a
    49.4


    参考答案
    一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】【分析】
    rrnr
    根据二项式定理通项公式Tr1Cnab可得常数项，然后二项式系数和，可得a，最后依据rrnr
    Tr1Cnab，可得结果.
    【详解】
    rr5r由题可知：Tr1C5xa
    5
    当r0时，常数项为T1a
    又xa展开式的二项式系数和为25由a525a2
    rr5r
    所以Tr1C5x2
    2232
    2时，T3C5x280x
    5
    当r
    所以x2项系数为80故选：D【点睛】
    本题考查二项式定理通项公式，熟悉公式，细心计算，属基础题.2、A【解析】【分析】
    设切点为(x0,kx02，对y13lnx求导，得到y的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果.【详解】
    设切点为(x0,kx02，
    33k，从而得到切线的斜率，结合直线方程x0x
    3
    3k①,∵y，∴x0
    xkx213lnx②,
    00

    由①得kx03，代入②得13lnx01，则x01，k3，故选A.【点睛】
    该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.3、B【解析】【分析】
    根据，可知命题p的真假，然后对x取值，可得命题【详解】对命题p：
    可知140，所以xR，x2x10故命题p为假命题命题
    2
    q的真假，最后根据真值表，可得结果.
    q：
    取x3，可知3223所以xR，x22x故命题q为真命题所以pq为真命题故选：B【点睛】
    本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用，识记真值表，属基础题.4、A【解析】【分析】
    1
    a1
    fx首先的单调性，由此判断出4，由f(af(b求得a,b的关系式.利用导数求得log2ab的
    1b2
    最小值，由此求得ab的最小值.

    【详解】
    1
    2logx,x111
    8,1上递减，在1,2上递增.由于fx由于函数f(x，所以在282x,1x2

    111
    f(af(b(ab，f2log15,f2224，令2log1x4，解得x，所以
    28428
    1ba1bb2loga21，且，化简得log2a22，所以log2ablog2alog2b22log2b，4
    2
    1b2
    11x2xln22
    .构造函数构造函数gx22log2x1x2，gx2ln2
    xln2xln2
    x
    '
    x
    hx1x2xln221x2，h'x1xln22xln220，所以hx在区间1,2上递减，
    而h112ln2120.480.040，h218ln2180.482.840，所以存在
    2
    2
    x01,2，使hx00.所以g'x在1,x0上大于零，在x0,2上小于零.所以gx在区间1,x0上
    递增，在区间x0,2上递减.而g10,g222log221，所以gx在区间1,2上的最小值
    2
    为1，也即log2ab的最小值为1，所以ab的最小值为2故选：A
    1

    1.2

    【点睛】
    本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.5、C【解析】

    knkk
    由题意，根据二项式定理展开式的通项公式Tk1Cnab，得12x展开式的通项为
    7
    Tk12Cx
    k7
    k
    k
    12x，则
    x
    7
    kk1
    展开式的通项为Tk12C7x，由k12，得k3，所以所求
    k
    3
    x2的系数为2C7280.故选C.
    3
    点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式
    nrrTr1Crb，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出r，将r的值代入通项公式进行计算，从na
    而问题可得解.6、C【解析】【分析】
    首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n1=
    时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，
    可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案．【详解】
    当n=k时，等式左端=1+1+…+k1，
    当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+（k+1）1，增加了项（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+…+（k+1）1．故选：C．【点睛】
    本题主要考查数学归纳法，属于中档题./7、C【解析】【分析】
    在长方体中AB//C1D1，得DD1与平面ABC1交于D1，过D做DOAD1于O，可证DO平面
    ABC1D1，可得DD1A为所求解的角，解RtADD1，即可求出结论.
    【详解】
    在长方体中AB//C1D1，平面ABC1即为平面ABC1D1，过D做DOAD1于O，
    AB平面AA1D1D，
    AD1D，
    DO平面AA1D1D,ABDO,AB

    DO平面ABC1D1，DD1A为DD1与平面ABC1所成角，
    在RtADD1,DD1AA，13,AD2,AD15
    cosDD1A
    DD1315
    ，AD155
    直线DD1与平面ABC1所成角的余弦值为15.
    5
    故选:C.

    【点睛】
    本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题.8、D【解析】【分析】
    由正弦定理可知4csinA4asinC3cosC,从而可求出sinC
    34
    ,cosC.通过55
    13
    SABCabsinC可求出b5，结合余弦定理即可求出c的值.
    22
    【详解】解：
    4csinA3cosC，即4csinA3acosC
    4sinAsinC3sinAcosC，即4sinC3cosC.
    34sin2Ccos2C1，则sinC,cosC.
    55
    1133
    SABCabsinC1b，解得b5.
    2252
    4
    c2a2b22abcosC15221518，c32
    5
    故选:D.【点睛】
    本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过正弦定理结合已知条件，得到角C的正弦值余弦值.9、D【解析】

    【分析】
    根据面面平行的判定及性质求解即可．【详解】
    解：a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，
    由a∥b，不一定有α∥β，α与β可能相交；反之，由α∥β，可得a∥b或a与b异面，
    ∴a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，则“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要条件．故选：D.【点睛】
    本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题．10、C【解析】【分析】
    由题设条件fx4fx，可得函数的周期是4，再结合函数是奇函数的性质将f3转化为f1函数值，即可得到结论.【详解】
    由题意，fx4fx，则函数fx的周期是4，所以，f3f34f1，
    又函数fx为R上的奇函数，且当x0,2时，fx2x，
    2
    所以，f3f1f12.故选：C.【点睛】
    本题考查函数的周期性，由题设得函数的周期是解答本题的关键，属于基础题.11、B【解析】【分析】
    可解出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．【详解】
    Bxx23x00,3，Axx2，则
    故选：B.

    U
    A2,，因此，UAB2,3.

    【点睛】
    本题考查补集和交集的运算，涉及一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.12、C【解析】【分析】
    根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图，然后再计算可得.【详解】
    解：根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图如图所示，

    其中D为AB的中点，PD底面ABC.所以三棱锥P-ABC的体积为
    114
    222，323
    ACBCPD2，AB|PA||PB||PC|22
    2
    2
    2
    ACBC22，|DA||DB||DC|2，
    22

    2
    2
    6,
    PAPBAB，PA、PB不可能垂直，
    即PA,PB,PC不可能两两垂直，
    SPBA
    11
    22222，SPBCSPAC22
    6
    2
    1225.
    三棱锥P-ABC的侧面积为2522.
    故正确的为C.故选：C.【点睛】
    本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题.
    二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、56【解析】【分析】
    根据已知条件求等比数列的首项和公比，再代入等比数列的通项公式，即可得到答案.【详解】

    a22，S45S20，
    a1q2,
    a11,42
    a1(1qa1(1q
    5,q2,1q1qS6S3a4a5a623242556.
    故答案为：56.【点睛】
    本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.14、
    728
    【解析】
    解答：由圆的方程可得圆心C的坐标为(2,2，半径等于1.由M(a,b,则|MN|2=(a−22+(b−22−12=a2+b2−4a−4b+7，|MO|2=a2+b2.
    由|MN|=|MO|,得a2+b2−4a−4b+7=a2+b2.整理得：4a+4b−7=0.
    ∴a，b满足的关系为：4a+4b−7=0.求|MN|的最小值，就是求|MO|的最小值．在直线4a+4b−7=0上取一点到原点距离最小，由“垂线段最短”得，直线OM垂直直线4a+4b−7=0，由点到直线的距离公式得：MN的最小值为：
    74242

    7
    2.8
    15、
    3
    【解析】【分析】
    把ab3平方利用数量积的运算化简即得解.【详解】
    因为a2，b1，ab3，所以a2abb3，∴ab1，∴cos
    2
    2
    1
    ，因为[0,]2

    所以

    3
    .
    故答案为：【点睛】
    3
    本题主要考查平面向量的数量积的运算法则，考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16、750【解析】因为所以
    。
    ，得
    ，

    三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）6种；（2）【解析】【分析】
    （1）从4条街中选择2条横街即可；
    （2）小明途中恰好经过E处，共有4条路线，即IHEDA，IHEBA，
    11
    ；（3）IFCBA.64
    IFEDA，IFEBA，分别对4条路线进行分析计算概率；（3）分别对小明上学的6条路线进行分析求均值，均值越大的应避免.【详解】
    2
    6（1）路途中可以看成必须走过2条横街和2条竖街，即从4条街中选择2条横街即可,所以路线总数为C4
    条.
    （2）小明途中恰好经过E处，共有4条路线：
    1313
    ①当走IHEDA时，全程不等红绿灯的概率p11；
    2443213113
    ②当走IHEBA时，全程不等红绿灯的概率p2；
    24441281111
    ③当走IFEDA时，全程不等红绿灯的概率p31；
    2443211313
    ④当走IFEBA时，全程不等红绿灯的概率p4.
    2444128所以途中恰好经过E处,且全程不等信号灯的概率
    pp1p2p3p4
    331311.321283212864
    （3）设以下第i条的路线等信号灯的次数为变量Xi，则
    33
    ①第一条：IHEDA,X1~B1,，则EX1；
    44

    393
    ②第二条：IFCBA,X2~B3,，则EX23；
    444
    ③另外四条路线：IHGDA;IHEBA；IFEDA；
    333
    IFEBA,Xi~B2,(i3,4,5,6，则EXi2(i3,4,5,6
    424综上，小明上学的最佳路线为IHEDA；应尽量避开IFCBA.【点睛】
    本题考查概率在实际生活中的综合应用问题，考查学生逻辑推理与运算能力，是一道有一定难度的题.18、（1）见解析；（2）【解析】【分析】
    （1）根据面面垂直性质及线面垂直性质，可证明BEFG；由所给线段关系，结合勾股定理逆定理，可证明FEFG，进而由线面垂直的判定定理证明FG平面BEF.
    （2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面AFB和平面EFB的法向量，由空间向量法求得两个平面夹角的余弦值，结合图形即可求得二面角ABFE的大小.【详解】
    （1）证明：∵平面DGEF平面ABEG，且BEGE，∴BE平面DGEF，∴BEFG，
    由题意可得FGFE2，∴FG2FE2GE2，
    ∵FEFG，且FEBEE，∴FG平面BEF.
    （2）如图所示，建立空间直角坐标系，则A1,0,0，B1,2,0，E0,2,0，F0,1,1，FA1,1,1，
    2
    3
    FB1,1,1，FE0,1,1.

    设平面AFB的法向量是nx1,y1,z1，则
    xyz0x1z1111，
    xyz0y01FBn0111FAn0

    令x11，n1,0,1，
    由（1）可知平面EFB的法向量是mGF0,1,1，
    ∴cos<n,m
    nmnm

    11
    ，
    222
    2.3
    由图可知，二面角ABFE为钝二面角，所以二面角ABFE的大小为【点睛】
    本题考查了线面垂直的判定，面面垂直及线面垂直的性质应用，空间向量法求二面角的大小，属于中档题.19、（1）2sin，（R.（2）

    6
    123
    【解析】【分析】
    （1）先将曲线C1的参数方程化为直角坐标方程，即可代入公式化为极坐标；根据直线的直角坐标方程，求得倾斜角，即可得极坐标方程.
    （2）将直线l的极坐标方程代入曲线C1、C2可得1,2，进而代入可得【详解】
    12
    的值.
    xcos
    C（1）曲线1的参数方程为（为参数），
    y1sin
    消去得xy2y0，
    把xy，ysin代入得2sin0，
    2
    2
    2
    22
    2
    从而得C1的极坐标方程为2sin，∵直线l的直角坐标方程为y
    3
    ，其倾斜角为，x
    63
    ∴直线l的极坐标方程为（R.

    6
    （2）将

    6
    代入曲线C1，C2的极坐标方程分别得到
    12sin
    则


    1,24sin(4，
    636
    123.
    【点睛】
    本题考查了参数方程化为普通方程的方法，直角坐标方程化为极坐标方程的方法，极坐标的几何意义，属于中档题.

    2x22
    20、（1）C1的极坐标方程为4cos，C2的直角坐标方程为y21（2）
    43
    【解析】【分析】
    （1）先把曲线C1的参数方程消参后，转化为普通方程，再利用xcos,ysin求得极坐标方程.将
    2
    42222
    cos4sin4，，化为再利用xcos,ysin求得曲线C2
    22cos4sin
    的普通方程.
    2
    （2）设直线的极角0，代入
    442
    ，得，将0代入p4cos，Q222
    13sincos4sin0
    2
    得P4cos0，由|OP|2|OQ|，得P2Q，即4cos0
    1622
    sin，从而求得，0
    13sin203
    cos20
    【详解】
    11
    ，从而求得Q,P，再利用SMPQSOMPSOMQ|OM|PQsin0求解.32
    2222
    （1）依题意，曲线C1:(x2y4，即xy4x0，
    2
    故4cos0，即4cos.
    因为
    2
    42222
    cos4sin4，，故22
    cos4sin
    2
    x2
    即x4y4，即y21.
    4
    2
    2
    （2）将0代入
    442
    ，得Q，
    13sin20cos24sin2
    将0代入p4cos，得P4cos0，由|OP|2|OQ|，得P2Q，得4cos0
    2
    16
    ，
    13sin20
    解得sin
    2
    0，则cos20.

    2
    ，故Q
    2313
    又00
    42343
    ,4cos，P0
    13sin2033
    故MPQ的面积SMPQSOMPSOMQ【点睛】
    122
    .|OM|PQsin0
    23

    本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化、极坐标的几何意义，还考查推理论证能力以及数形结合思想，属于中档题.
    x2y2
    21、（1）1（2）证明见解析；定点坐标为(1,0
    43
    【解析】【分析】
    （1）由条件直接算出即可
    ykxm,
    8km24m2122222（2）由x得34kx8kmx4m120，x1x2，x1x2，由y2234k1.34k
    34

    kAMkAE可得y3
    【详解】
    6y16y21111
    推出mk即可，同理y4，然后由
    x12x22y1y2y3y4
    （1）由题有a2，e
    c1
    .∴c1，∴b2a2c23.a2
    x2y2
    ∴椭圆方程为1.
    43
    ykxm,222
    （2）由x2y2得34kx8kmx4m120
    1.34

    64k2m2434k24m2120m24k23
    8km4m212kk
    x1x2.又AM，x1x2AE2
    34k234k
    ∴
    y10y306y1y3，x1242x12
    6y2
    x22
    同理y4
    1111又
    y1y2y3y4
    y1y2x12x22x1y2x2y12(y1y2
    ∴y1y26y16y26y1y2
    ∴4(y1y2x1y2x2y1
    ∴4(kx1mkx2mx1(kx2mx2(kx1m

    ∴(4km(x1x22kx1x28m0
    8km(4m21224(km
    ∴(4km2k8m00222
    34k34k34k
    ∴mk，此时满足m24k23∴ykxmk(x1∴直线MN恒过定点(1,0【点睛】
    涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.22、（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】
    （1）利用求导数，判断f(x在区间(1,上的单调性，然后再证f(,f(异号，即可证明结论；
    3
    274
    x2(lnx2
    （2）当x1时，不等式g(x0恒成立，分离参数只需x1时，a恒成立，
    x1
    49x2(lnx2
    设h(x（x1），需ah(xmin，根据（1）中的结论先求出h(xmin，再构造函数结
    4x1
    合导数法，证明h(xmin【详解】
    （1）f(x1lnx
    49
    即可.4
    22
    3lnx4，xx
    令f(xm(x，则m(x
    12
    20，xx
    所以m(xf(x在区间(1,上是增函数，
    则f(xf(12，所以f(x在区间(1,上是增函数.
    1313
    fln0，又因为
    2222171177
    fln1ln0，
    444444
    所以f(x在区间(1,上有且仅有一个零点x0，且x0
    37
    ,.24

    （2）由题意，g(xlnx
    2xaa
    20在区间1,上恒成立，xx
    2
    即(x1ax(lnx2在区间1,上恒成立，
    当x1时，aR；
    x2(lnx2
    当x1时，a恒成立，
    x1x2(lnx2
    设h(x（x1），
    x1
    所以h(x
    x[(x2lnx3x5]xf(x
    .
    (x12(x12
    37
    ,，使f(m0，24
    由（1）可知，m
    所以，当x(1,m时，h(x0，当x(m,时，h(x0，由此h(x在区间(1,m上单调递减，在区间(m,上单调递增，
    所以h(xmin
    m2(lnm2
    .h(m
    m1
    又因为f(m(m2lnm3m50，
    53mm2
    所以lnm，从而h(xminh(m，
    m22m
    37m2m2
    .令h(m所以a，m,，
    242m2m
    m24m
    0，则h(m2
    (2m
    所以h(m在区间
    37
    ,上是增函数，24
    所以h(mh【点睛】
    49749
    ah(m.，故
    444
    本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、函数的零点、极值最值、不等式的证明，分离参数是解题的关键，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.

    2020-2021高考数学模拟试卷
    注意事项
    1．考生要认真填写考场号和座位序号。
    2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
    3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
    一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
    1．已知抛物线x24y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为（）A．2
    B．3
    C．4
    D．5

    2．函数yf(x在区间,上的大致图象如图所示，则f(x可能是（）
    22

    A．f(xlnsinxB．f(xlncosxC．f(xsintanxD．f(xtancosx
    3．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出四个命题：①若
    m，n，nm，则；②若m，m，则//；
    ③若m//n，m，//，则n//；④若m，n，mn，则其中正确的是（）A．①②
    B．③④
    C．①④
    D．②④
    4．关于x的不等式axb0的解集是(1,，则关于x的不等式(axb(x30的解集是（）A．(,1C．(1,3
    2
    (3,B．(1,3D．(,1
    (3,
    5．抛物线y2pxp0的准线与x轴的交点为点C，过点C作直线l与抛物线交于A、B两点，使

    得A是BC的中点，则直线l的斜率为（）A．
    13
    B．
    22
    3
    C．1D．3
    1
    f(xsin2x6．已知，函数在区间(,2内没有最值，给出下列四个结论：
    33
    ①f(x在(,2上单调递增；②
    511
    ,1224
    ③f(x在[0,]上没有零点；④f(x在[0,]上只有一个零点.其中所有正确结论的编号是（）A．②④
    B．①③
    C．②③
    D．①②④

    ，所得向量对应的复6
    7．在复平面内，复数z=i对应的点为Z，将向量OZ绕原点O按逆时针方向旋转数是（）A．
    13i22
    B．
    31i22
    C．
    13i22
    D．
    31i22
    xy40,
    8．若x，y满足约束条件x20,且zaxy的最大值为2a6，则a的取值范围是（）
    xy20,
    A．[1,
    B．(,1]
    C．(1,
    D．(,1
    9．已知a,b是平面内互不相等的两个非零向量,且a1,ab与b的夹角为150,则b的取值范围是（）A．

    B．[1,3]
    C．

    D．[3,2]
    10．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a5＝16，a3a4＝﹣32，则S8＝（）A．﹣21
    B．﹣24
    C．85
    D．﹣85
    11．将函数f(xcosx的图象先向右平移
    5
    个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的6
    31
    (0倍，纵坐标不变，得到函数g(x的图象，若函数g(x在(,上没有零点，则的取值范
    22
    2
    9
    围是（）
    22893928C．(0,][,1]
    99
    A．(0,][,]B．(0,]D．(0,1]
    12．关于函数f(xsin|x||cosx|有下述四个结论：（）


    ①fx是偶函数；②fx在区间,0上是单调递增函数；
    2
    ③fx在R上的最大值为2；④fx在区间2,2上有4个零点.其中所有正确结论的编号是（）A．①②④
    B．①③
    C．①④
    D．②④
    二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
    13．在ABC中，若tanAtanBtanAtanB1，则cos2Acos2B的范围为________.14．a2b1c的展开式中，a3b2c的系数是______.15．函数f(xsinx3cosxx
    3
    2
    5

    ,的值域为_________．32
    16．已知(2x-17=ao+a1x+a2x2+…+a7x7，则a2=____.
    三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
    22
    17．（12分）已知AB是圆O：xy4的直径，动圆M过A，B两点，且与直线y20相切.
    （1）若直线AB的方程为xy0，求
    M的方程；
    （2）在y轴上是否存在一个定点P，使得以MP为直径的圆恰好与x轴相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
    18．（12分）如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，点D，E分别在线段AA1，CC1上，且AD
    1
    AA1，DE//AC，F是线段AB的中点.3

    （Ⅰ）求证：EF//平面B1C1D；
    （Ⅱ）若ABAC，ABAC，AA13AB，求直线BC与平面B1DE所成角的正弦值.19．（12分）已知函数（Ⅰ）解不等式
    ；
    ，求证：
    .
    ，记
    的最小值为.
    （Ⅱ）若正实数，满足
    20．（12分）已知函数fxx12x3.（1）求不等式
    fx1的解集；

    （2）若存在实数x，使得不等式m3mfx0成立，求实数m的取值范围.
    2
    23x
    21．（12分）已知函数f(xxe
    （1）若x0，求证：f(x
    1
    ;9
    （2）若x0，恒有f(x(k3x2lnx1，求实数k的取值范围.22．（10分）设fxx2xaa0（1）当a1时，求不等式fx1的解集；（2）若fx≤1，求a的取值范围.
    参考答案
    一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
    试题分析：抛物线x4y焦点在y轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1，准线方程为y1，因为
    2
    点A的纵坐标为4，所以点A到抛物线准线的距离为415，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A与抛物线焦点的距离为5.
    考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.
    点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算.2、B【解析】【分析】
    根据特殊值及函数的单调性判断即可；【详解】
    解：当x0时，sin00，lnsin0无意义，故排除A；又cos01，则f(0tancos0tan10，故排除D；

    对于C，当x0,故选：B【点睛】


    时，tanx0，所以f(xsintanx不单调，故排除C；2
    本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题.3、D【解析】【分析】
    根据面面垂直的判定定理可判断①；根据空间面面平行的判定定理可判断②；根据线面平行的判定定理可判断③；根据面面垂直的判定定理可判断④.【详解】对于①，若
    m，n，nm，，两平面相交，但不一定垂直，故①错误；
    对于②，若m，m，则//，故②正确；
    对于③，若m//n，m，//，当n，则n与不平行，故③错误；对于④，若m，n，mn，则，故④正确；故选：D【点睛】
    本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，属于基础题.4、A【解析】【分析】
    由axb0的解集，可知a0及
    b
    1，进而可求出方程axbx30的解，从而可求出a
    axbx30的解集.
    【详解】
    由axb0的解集为1,
    ，可知a0且
    b
    1，a
    令axbx30，解得x11，x23，因为a0，所以axbx30的解集为,1故选：A.【点睛】
    本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.
    3,，

    5、B【解析】【分析】
    设点Ax1,y1、Bx2,y2，设直线AB的方程为xmy抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合y1【详解】
    由题意可知点C
    yp
    ，由题意得出y12，将直线l的方程与22
    y2
    可求得m的值，由此可得出直线l的斜率.2
    pp,0，设点Ax1,y1、Bx2,y2，设直线AB的方程为xmy，22
    由于点A是BC的中点，则y1
    y2
    ，2
    p
    xmy
    将直线l的方程与抛物线的方程联立得2，整理得y22mpyp20，
    2y2px
    2mp8m2p2322
    由韦达定理得y1y23y12mp，得y1，y1y22y1，p2，解得m
    394
    因此，直线l的斜率为故选：B.【点睛】
    本题考查直线斜率的求解，考查直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.6、A【解析】【分析】
    先根据函数f(xsin2x
    122
    .
    m3


    3
    在区间(,2内没有最值求出k
    1k5
    或12224
    k
    5k1111
    .再根据已知求出，判断函数的单调性和零点情况得解.1222432
    【详解】
    因为函数f(xsin2x所以2k



    在区间(,2内没有最值.3

    2
    332
    1k55k11
    或k.解得k1222412224
    2

    4

    2k

    ，或2k

    2
    2

    3
    4

    3
    2k
    3
    ,kZ2

    又T
    2111
    2,，所以.2332
    511
    ,.且f(x在(,2上单调递减.1224
    令k0.可得
    当x[0,]时，2x

    7
    ,2，且2,，3333212
    所以f(x在[0,]上只有一个零点.所以正确结论的编号②④故选：A.【点睛】
    本题主要考查三角函数的图象和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7、A【解析】【分析】
    由复数z求得点Z的坐标，得到向量OZ的坐标，逆时针旋转求.【详解】
    解：∵复数z=i（i为虚数单位）在复平面中对应点Z（0，1），∴OZ＝(0，1，将OZ绕原点O逆时针旋转设OB＝(a，b，a0,b0，则OZOBbOZOBcos

    得到OB，6

    ，得到向量OB的坐标，则对应的复数可6
    3
    ，
    62
    即b
    3
    ，2
    又a2b21，解得：a
    13
    ，,b
    22
    13
    ∴OB2,2，

    对应复数为故选：A.
    13
    i.22

    【点睛】
    本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.8、A【解析】【分析】
    画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a的范围即可．【详解】
    作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为zaxy的最大值为2a6，所以zaxy在点A(2,6处取得最大值，则a1，即a1.故选：A

    【点睛】
    本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．9、C【解析】
    试题分析：如下图所示，ABa,ADb,则ACDBab，因为ab与b的夹角为150，即
    DAB150，所以ADB30，设DBA，则0150，在三角形ABD中，由正弦定理得asin30
    bsin
    ，所以b
    asin30
    sin2sin，所以0b2，故选C．

    考点：1．向量加减法的几何意义；2．正弦定理；3．正弦函数性质．10、D【解析】

    【分析】
    由等比数列的性质求得a1q4＝16，a12q5＝﹣32，通过解该方程求得它们的值，求首项和公比，根据等比数列的前n项和公式解答即可.【详解】
    设等比数列{an}的公比为q，∵a5＝16，a3a4＝﹣32，∴a1q4＝16，a12q5＝﹣32，∴q＝﹣2，则a11，
    1[1(28]则S885，
    12
    故选：D.【点睛】
    本题主要考查等比数列的前n项和，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键，属于基础题.11、A【解析】【分析】
    根据y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，根据定义域求出x余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．【详解】
    函数f(xcosx的图象先向右平移个单位长度，
    5
    的范围，再利用6
    56
    5
    ycosx可得的图象，
    6
    再将图象上每个点的横坐标变为原来的得到函数g(xcosx∴周期T
    1

    (0倍(纵坐标不变，

    56

    的图象，
    2

    ，
    若函数g(x在(
    3
    ,
    22
    5535
    x∴，2662635
    ∴
    62
    5

    62
    T，2
    上没有零点，
    21，解得01，

    5
    k234126
    k，又，解得
    2323k35
    262
    当k=0时，解
    28
    ，39
    2
    ，9
    当k=-1时，01，可得0
    228
    (0,][,].
    939
    故答案为：A.【点睛】
    本题考查函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.12、C【解析】【分析】
    根据函数fx的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析，由此得出正确结论的编号.【详解】
    fx的定义域为R.
    由于fxfx，所以fx为偶函数，故①正确.由于f
    31
    sincos,
    662632
    ，ff，所fsincos
    644424

    以fx在区间,0上不是单调递增函数，所以②错误.
    2
    当x0时，fxsinxcosxsinxcosx

    2sinx2，
    4
    且存在x

    4
    ，使f

    sincos2.
    444
    所以当x0时，fx2；
    由于fx为偶函数，所以xR时fx2，所以fx的最大值为2，所以③错误.
    依题意，f(0sin0cos01，当0x2时，

    3
    sinxcosx,0x,或x222
    fx，
    3sinxcosx,x
    22
    所以令sinxcosx0，解得x
    57
    .所以在区间0,2，fx有，令sinxcosx0，解得x
    44
    两个零点.由于fx为偶函数，所以fx在区间2,0有两个零点.故fx在区间2,2上有4个零点.所以④正确.
    综上所述，正确的结论序号为①④.故选：C【点睛】
    本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
    二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
    3213、2,21

    【解析】【分析】
    借助正切的和角公式可求得tan(AB1，即AB

    4
    2222
    则cosAcosBcosAcos

    A通4
    过降幂扩角公式和辅助角公式可化简即可解得所求.【详解】
    2
    sin2A1,由A0,，借助正弦型函数的图象和性质
    424
    tanAtanBtanAtanB1tan(AB
    tanAtanB
    1，
    1tanAtanB

    A4
    所以AB

    4
    2222
    ，cosAcosBcosAcos
    12(sin2Acos2A1sin2A1.224
    32
    sin2A,1，因为A0,，所以2A444442
    3222
    cosAcosB所以2,21.


    故答案为:【点睛】
    32
    ,
    2
    1.2
    本题考查了三角函数的化简,重点考查学生的计算能力,难度一般.14、40【解析】【分析】
    先将原式展开成a2bca2b，发现a2b中不含a3b2c，故只研究后面一项即可得解.【详解】
    5
    5
    5
    a2b1ca2b
    55
    ca2b，
    5
    2
    5
    2
    依题意，只需求ca2b中a3b2c的系数，是C5240.
    故答案为：-40【点睛】
    本题考查二项式定理性质，关键是先展开再利用排列组合思想解决，属于基础题.
    633
    ,315、8
    【解析】【分析】
    3
    ,1，利用导数求得函数gt的单调性和最值，即可得到利用换元法，得到gtt3t3,t2
    3
    2
    函数的值域，得到答案．【详解】
    由题意，可得fxsinx3cosxsinx3sinx3,x
    3
    2
    3
    2
    ππ
    ,,，32
    3332
    t,1t,1令tsinx，，即gtt3t3，22
    则g't3t6t3tt2，
    2
    当
    3
    t0时，g't0，当0t1时，g't0，2
    3
    ygt即在2,0为增函数，在0,1为减函数，


    又g
    3633
    ，g03，g11，
    28
    633
    ,3．故函数的值域为：3
    【点睛】
    本题主要考查了三角函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性与最值，其中解答中合理利用换元法得到函数gt，再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与预算能力，属于基础题．16、84【解析】【分析】
    根据二项展开式的通项公式即可得结果.【详解】
    r
    解：(2x-17的展开式通式为：Tr1C72x5当r=5时，T6C72x
    2
    7r
    1
    r

    1
    5
    84x2，
    则a284.故答案为：84【点睛】
    本题考查求二项展开式指定项的系数，是基础题.

    三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
    22
    17、（1）xy4或x4y436.（2）存在，P0,1；
    22
    【解析】【分析】
    （1）根据动圆M过A，B两点，可得圆心M在AB的垂直平分线上，由直线AB的方程为xy0，可知M在直线yx上；设Ma,a，由动圆M与直线y20相切可得动圆M的半径为
    ra2；又由AO2，MO2a及垂径定理即可确定a的值，进而确定圆M的方程.
    2
    （2）方法一：设Mx,y，可得圆的半径为ry2，根据MOAO，可得方程为x2y24y2并化简可得M的轨迹方程为x4y.设P0,y0，Mx1,y1，可得MP的中点O
    2
    x1y1y0
    ,，进而
    22
    由两点间距离公式表示出半径，表示出O到x轴的距离，代入化简即可求得y0的值，进而确定所过定点

    2
    的坐标；方法二：同上可得M的轨迹方程为x4y，由抛物线定义可求得MFy11，表示出线段MF
    的中点O的坐标，根据O到x轴的距离可得等量关系，进而确定所过定点的坐标.【详解】（1）因为
    M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.
    由已知AB的方程为xy0，且A，B关于于坐标原点O对称，所以M在直线yx上，故可设Ma,a.因为
    M与直线y20相切，所以M的半径为ra2.
    由已知得AO2，MO
    2
    2a，又MOAO，
    故可得2a24a2，解得a0或a4.故所以
    M的半径r2或r6，
    2
    2
    M的方程为x2y24或x4y436.
    M的半径为ry2，AO2.
    2
    2
    （2）法一：设Mx,y，由已知得
    由于MOAO，故可得x2y24y2，化简得M的轨迹方程为x4y.
    2
    设P0,y0，Mx1,y1，则得x14y1，MP的中点O
    x1y1y0
    ,，
    22
    则以MP为直径的圆的半径为：
    1121222
    MPx1y1y0y1y04y12y0y1，222
    O到x轴的距离为
    令
    y1y01
    y1y0，22
    1212
    y1y04y12y0y1y1y0，①22
    化简得y0y1y1，即y01y10，故当y01时，①式恒成立.
    所以存在定点P0,1，使得以MP为直径的圆与x轴相切.法二：设Mx,y，由已知得
    M的半径为ry2，AO2.
    2
    2
    由于MOAO，故可得x2y24y2，化简得M的轨迹方程为x4y.设Mx1,y1，因为抛物线x4y的焦点F坐标为0,1，
    2
    点M在抛物线上，所以MFy11，

    线段MF的中点O的坐标为则O到x轴的距离为而
    x1y11
    ,，22
    y11，2
    y111
    MF，22
    故以MF为径的圆与x轴切，所以当点P与F重合时，符合题意，
    所以存在定点P0,1，使得以MP为直径的圆与x轴相切.【点睛】
    本题考查了圆的标准方程求法，动点轨迹方程的求法，抛物线定义及定点问题的解法综合应用，属于难题.18、（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）【解析】【分析】
    （Ⅰ）取B1D中点为G，根据几何关系，求证四边形FGC1E为平行四边形，即可由线线平行推证线面平行；
    （Ⅱ）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，即可求得线面角的正弦值.【详解】
    （Ⅰ）取B1D的中点G，连接C1G，FG.如下图所示：
    10
    .5

    因为F，G分别是线段AB和B1D的中点，所以FG是梯形ADB1B的中位线，所以FG//AD.又AD//CC1，所以FG//CC1.因为AD//CC1，DE//AC，
    所以四边形ADEC为平行四边形，所以ADCE.所以C1E
    ADBB122
    CC1，FGCC1C1E.323

    所以四边形FGC1E为平行四边形，所以EF//C1G.又EF平面B1C1D，C1G平面B1C1D，所以EF//平面B1C1D.
    （Ⅱ）因为ABAC，且AA1平面ABC，
    故可以A为原点，AB的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，如下图所示：

    不妨设ABAC1，则AA13，
    所以C(0,0,1，B(1,0,0，B1(1,3,0，D(0,1,0，E(0,1,1.所以BC(1,0,1，B1D(1,2,0，DE(0,0,1.设平面B1DE的法向量为n(x,y,z，则
    nB1D0nDE0
    所以
    x2y0,

    z0.
    可取n(2,1,0.
    设直线BC与平面B1DE所成的角为，则sin
    |2(1|10
    .552
    10
    .5
    故可得直线BC与平面B1DE所成的角的正弦值为【点睛】
    本题考查由线线平行推证线面平行，以及用向量法求解线面角，属综合中档题.19、（Ⅰ）【解析】【分析】
    (Ⅰ由题意结合不等式的性质零点分段求解不等式的解集即可；(Ⅱ首先确定m的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式.
    （Ⅱ）见证明

    【详解】（Ⅰ）①当∴②当∴③当∴
    ；
    时，；时，.
    .
    ，
    时，等号成立..
    ，
    ，即
    ，
    ，
    时，
    ，即
    ，
    综上所述，原不等式的解集为（Ⅱ）∵当且仅当∴∴
    的最小值
    即，
    当且仅当即时，等号成立.
    又，∴，时，等号成立.
    ∴.
    【点睛】
    本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式及其应用，绝对值三角不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20、（1）,6【解析】【分析】
    （1）将函数yfx的解析式表示为分段函数，然后分x3、3x1、x1三段求解不等式
    （2）1,4.2,；
    fx1，综合可得出不等式fx1的解集；

    （2）求出函数yfx的最大值fxmax，由题意得出m3mfxmax，解此不等式即可得出实数
    2
    m的取值范围.
    【详解】
    x7,x3
    fxx12x33x5,3x1.
    x7,x1
    （1）当x3时，由fxx71，解得x6，此时x6；当3x1时，由fx3x51，解得x2，此时2x1；当x1时，由fxx71，解得x8，此时x1.综上所述，不等式
    fx1的解集,62,；
    （2）当x3时，函数fxx7单调递增，则fxf34；
    当3x1时，函数fx3x5单调递减，则f1fxf3，即8fx4；当x1时，函数fxx7单调递减，则fxf18.综上所述，函数yfx的最大值为fxmaxf34，由题知，m3mfxmax4，解得1m4.
    2
    因此，实数m的取值范围是1,4.【点睛】
    本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了绝对值不等式中的参数问题，考查分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题.21、（1）见解析；（2）（﹣∞，0]【解析】【分析】
    412
    ff(x;（2）等价于（1）利用导数求x＜0时，f（x）的极大值为，即证2
    939e
    x2e3x3x21nx1x2e3x3x21nx1
    k≤，x＞0，令g（x）＝，x＞0，再求函数g(x的最小值得解.
    xx
    【详解】
    （1）∵函数f（x）＝x2e3x，∴f′（x）＝2xe3x+3x2e3x＝x（3x+2）e3x．由f′（x）＞0，得x＜﹣
    22
    或x＞0；由f′（x）＜0，得x0，33

    ∴f（x）在（﹣∞，﹣
    22
    ）内递增，在（﹣，0）内递减，在（0，+∞）内递增，3342
    2，39e
    ∴f（x）的极大值为f
    4412f∴当x＜0时，f（x）≤2
    94939e
    x2e3x3x21nx1
    （2）∵xe≥（k+3）x+2lnx+1，∴k≤，x＞0，
    x
    23x
    x2e3x3x21nx1x2(13xe3x21nx1
    令g（x）＝，x＞0，则g′（x），
    xx2
    令h（x）＝x2（1+3x）e3x+2lnx﹣1，则h（x）在（0，+∞）上单调递增，且x→0+时，h（x）→﹣∞，h（1）＝4e3﹣1＞0，∴存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，
    ∴当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
    23x0
    x0e3x02lnx01
    ∴g（x）在（0，+∞）上的最小值是g（x0）＝，
    x0
    3x2
    ∵h（x0）＝x013x0e0+2lnx0﹣1=0，所以x0e
    23x0

    12lnx0
    ，
    13x0
    令x0e
    23x0
    =1，2lnx03x00，
    12lnx0
    =1，2lnx03x00令
    13x0
    所以x0e
    23x0

    12lnx0
    =1，2lnx0=3x0,
    13x0
    23x0x0e3x021nx0113x03x01
    0∴g（x0）
    x0x0
    ∴实数k的取值范围是（﹣∞，0]．【点睛】
    本题主要考查利用证明不等式，考查利用导数求最值和解答不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
    1
    22、（1）,3（2）0,1
    3
    【解析】【分析】

    (1通过讨论x的范围,得到关于x的不等式组,解出取并集即可.
    (2去绝对值将函数fx写成分段函数形式讨论分段函数的单调性由fx≤1恒成立求得结果.【详解】
    解：（1）当a1时，fxx2x1，fx1即
    x00x1x1
    或或
    x213x21x21
    解之得
    11
    x1或1x3，即x333
    1不等式的解集为,3.
    3
    x2a,x0
    （2）由题意得：fx3x2a,0xa
    x2a,xa
    当x0时fxx2aa0为减函数，显然fx≤1恒成立.
    当0xa时，fx3x2a为增函数，
    fxmaxfaa1，0a1
    当xa时，fxx2a为减函数，faa1
    0a1
    综上所述：使fx≤1恒成立的a的取值范围为0,1.【点睛】
    本题考查了解绝对值不等式问题,考查不等式恒成立问题中求解参数问题,考查分类讨论思想,转化思想,属于中档题.

    2020-2021高考数学模拟试卷
    注意事项:
    1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。
    3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
    4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
    5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
    一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设a=log73，A．abc
    blog17，c=30.7，则a，b，c的大小关系是（）
    3
    B．cbaC．bcaD．bac
    2．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治，经济，文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出3种及其以上发明的有32人，据此估计该校三级的500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（）A．69人
    B．84人
    C．108人
    D．115人
    3．函数fxsin(x的部分图象如图所示，则fx的单调递增区间为（）

    A．
    15
    k,k,kZ
    44
    B．
    15
    2k,2k,kZ
    4415
    2k,2k,kZ
    44
    C．
    15
    k,k,kZ
    44
    D．
    4．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（）



    A．PA，PB，PC两两垂直C．|PA||PB||PC|
    8
    B．三棱锥P-ABC的体积为
    3
    6D．三棱锥P-ABC的侧面积为35
    5．为计算S122322423...100(299，设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（）

    A．i100B．i100C．i100D．i100
    6．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的a的值为（）

    A．-
    23
    B．-
    32
    C．
    52
    D．
    25
    7．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆(x22y21都相切，则双曲线C的离心率是（）A．2或
    23
    3
    B．2或3C．3或
    62
    D．
    623
    或
    32
    8．已知函数f(xsin(2x则的最小值为（）

    的图象向左平移(0个单位后得到函数g(xsin(2x的图象，
    44


    A．
    4
    B．
    38
    C．
    2
    D．
    58
    9．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线C:(xy16xy恰好是四叶玫瑰线.
    2
    23
    2
    2

    给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于4；④方程(xy16xy线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是(A．①③
    B．②④
    C．①②③
    D．②③④
    2
    23
    2
    2
    xy0表示的曲
    10．要得到函数y2sin2x



    的图象，只需将函数y2cos2x的图象6

    个单位长度3
    B．向右平移个单位长度
    3
    A．向左平移C．向左平移D．向右平移

    个单位长度6

    个单位长度6
    11．已知函数fx满足：当x2,2时，fx
    xx2,2x0log2x,0x2
    ，且对任意xR，都有
    fx4fx，则f2019（）
    A．0
    B．1
    C．-1
    D．log23
    x2y2
    12．已知点A25,310在双曲线21b0上，则该双曲线的离心率为（）
    10b

    A．
    103
    B．
    102
    C．10D．210
    二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．根据如图所示的伪代码，输出I的值为______.


    x1
    14．已知x,y满足xy4且目标函数z2xy的最大值为7，最小值为1，则
    axbyc0
    abc
    ___________．a
    15．一个袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从中任意摸取3个小球，每个小球被取出的可能性相等，则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是__．
    16．已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为9和15，则该圆锥的体积为________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数fxx
    1
    ，gxtlnx，其中x0,1，t为正实数.x
    （1）若fx的图象总在函数gx的图象的下方，求实数t的取值范围；（2）设Hxlnxx1ex11
    2
    x
    2

    1
    ，证明：对任意x0,1，都有Hx0.x
    18．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，ABC90，AB2DC2BC，E为AB的中点，沿DE将ADE折起，使得点A到点P位置，且PEEB，M为PB的中点，N是BC上的动点（与点B，C不重合）.

    （Ⅰ）证明：平面EMN平面PBC垂直；
    （Ⅱ）是否存在点N，使得二面角BENM的余弦值明理由.
    19．（12分）超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（nN）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：
    6
    ？若存在，确定N点位置；若不存在，说6

    （1）逐份检验，则需要检验n次；
    （2）混合检验，将其中k（kN且k2）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k1次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0p1）.
    （1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
    （2）现取其中k（kN且k2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2.
    （i）试运用概率统计的知识，若E1E2，试求p关于k的函数关系式pfk；（ii）若p1
    1
    ，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期3e
    望值更少，求k的最大值.
    参考数据：ln20.6931，ln31.0986，ln41.3863，ln51.6094，ln61.791820．（12分）设函数f(x=x2−4xsinx−4cosx．（1）讨论函数f(x在[−π，π]上的单调性；（2）证明：函数f(x在R上有且仅有两个零点．21．（12分）已知函数fxaln1x,gx
    13
    xax,hxex1．3
    （1）当x≥0时，f（x）≤h（x）恒成立，求a的取值范围；（2）当x＜0时，研究函数F（x）=h（x）﹣g（x）的零点个数；（3）求证：
    1095103000
    e（参考数据：ln1.1≈0.0953）．10002699
    x2y2
    22．（10分）已知椭圆C：221ab0的两个焦点是F1，F2，M
    ab

    2,1在椭圆C上，且

    MF1MF24，O为坐标原点，直线l与直线OM平行，且与椭圆交于A，B两点.连接MA、MB与x
    轴交于点D，E.
    （1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：ODOE为定值.


    参考答案
    一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】【分析】
    1alog730，blog170，c30.71得解．
    3
    【详解】
    1alog730，blog170，c30.71，所以bac，故选D
    3
    【点睛】
    比较不同数的大小，找中间量作比较是一种常见的方法．2、D【解析】【分析】
    先求得100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的人数，由此利用比例，求得500名学生中对四大发明只能说出一种或一种也说不出的人数.【详解】
    在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有100453223人，设对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有x人，则故选：D【点睛】
    本小题主要考查利用样本估计总体，属于基础题.3、D【解析】【分析】
    由图象可以求出周期，得到，根据图象过点(,1可求，根据正弦型函数的性质求出单调增区间即可.【详解】
    100500
    ，解得x115人.23x
    3
    4
    T51
    =1，244
    2
    ，所以T2，2
    由图象知

    343
    ，所以1sin(4
    又图象过点(,1，故可取
    3，4
    34
    所以f(xsin(x令2k
    3
    2k,kZ，
    24251
    解得2kx2k,kZ
    44
    x
    所以函数的单调递增区间为故选：D．【点睛】
    本题主要考查了三角函数的图象与性质，利用“五点法”求函数解析式，属于中档题.4、C【解析】【分析】
    根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图，然后再计算可得.【详解】
    解：根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图如图所示，

    15
    2k,2k,kZ
    44

    其中D为AB的中点，PD底面ABC.所以三棱锥P-ABC的体积为
    114222，323
    ACBCPD2，AB|PA||PB||PC|2
    2
    2
    2
    ACBC22，|DA||DB||DC|2，
    22
    2
    2
    2
    6,
    PAPBAB，PA、PB不可能垂直，
    即PA,PB,PC不可能两两垂直，
    11
    SPBA22222，SPBCSPAC
    22

    6
    2
    1225.

    三棱锥P-ABC的侧面积为2522.
    故正确的为C.故选：C.【点睛】
    本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题.5、A【解析】【分析】
    根据程序框图输出的S的值即可得到空白框中应填入的内容．【详解】
    由程序框图的运行，可得：S＝0，i＝0
    满足判断框内的条件，执行循环体，a＝1，S＝1，i＝1
    满足判断框内的条件，执行循环体，a＝2×（﹣2），S＝1+2×（﹣2），i＝2
    满足判断框内的条件，执行循环体，a＝3×（﹣2）2，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i＝3…
    观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a＝99×（﹣2）99，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i＝1，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值，所以判断框中的条件应是i＜1．故选：A．【点睛】
    本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题．6、C【解析】【分析】
    根据给定的程序框图，计算前几次的运算规律，得出运算的周期性，确定跳出循环时的n的值，进而求解
    a的值，得到答案.
    【详解】
    3
    ,n1，5
    2
    第1次循环，a,n2，满足判断条件；
    35
    第2次循环，a,n3，满足判断条件；
    2
    由题意，a

    第3次循环，a

    3
    ,n4，满足判断条件；5
    可得a的值满足以3项为周期的计算规律，
    所以当n2019时，跳出循环，此时n和n3时的值对应的a相同，即a故选：C.【点睛】
    本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中认真审题，得出程序运行时的计算规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.7、A【解析】【分析】
    根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在x、y轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率．【详解】
    设双曲线C的渐近线方程为y=kx，是圆的切线得：
    5.2
    2kk21
    ＝1，k
    3
    ，3
    得双曲线的一条渐近线的方程为y
    3
    ∴焦点在x、y轴上两种情况讨论：3
    b3c32323
    ①当焦点在x轴上时有：＝，e＝；
    a3a33
    a3c323
    ②当焦点在y轴上时有：＝，e＝2；
    b3a3
    ∴求得双曲线的离心率2或故选：A．【点睛】
    本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．解题的关键是：由圆的切线求得直线的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案．8、A【解析】【分析】
    23
    ．3

    首先求得平移后的函数gxsin2x2值.【详解】


    4
    ，再根据sin2x2



    sin2x求的最小44
    根据题意，f(x的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数

    g(xsin2(xsin(2x2sin(2x，
    444
    所以2故选：A【点睛】
    本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.9、B【解析】【分析】
    利用基本不等式得xy4，可判断②；xy4和x2y2断①③；由图可判断④.【详解】
    2
    2

    4
    2k

    4
    ,kZ，所以k


    ,kZ．又0，所以的最小值为．44
    22

    3
    16x2y2联立解得x2y22可判
    x
    2
    y
    2
    23

    x2y222
    16xy16，
    2
    2
    2
    解得xy4（当且仅当xy2时取等号），则②正确；将xy4和xy
    2
    2
    2
    2
    22

    2
    23

    16x2y2联立，解得x2y22，
    即圆xy4与曲线C相切于点

    2,2，2,2，2,2，

    2,2，

    则①和③都错误；由xy0，得④正确.故选：B.【点睛】
    本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.10、D【解析】【分析】

    先将y2sin2x【详解】
    因为y2sin2x


    6
    化为y2cos2x


    ，根据函数图像的平移原则，即可得出结果.6



    2cos2x2cos2x，636

    个单位.6
    所以只需将y2cos2x的图象向右平移【点睛】
    本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型.11、C【解析】【分析】
    由题意可知f2019f1，代入函数表达式即可得解.【详解】
    由fx4fx可知函数fx是周期为4的函数，
    f2019f14505f11121.
    故选：C.【点睛】
    本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题.12、C【解析】【分析】
    将点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率.【详解】
    x2y2
    将x25,y310代入方程21b0得b310，而双曲线的半实轴a10，所以
    10b
    cab10，得离心率e
    2
    2
    c
    10,故选C.a
    【点睛】
    此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.
    二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、7【解析】【分析】

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