初三数学定义、命题、公理、定理、证明；全等复习知识精讲 华东师大版

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

1. 定义、命题、公理、定理、证明；

2. 全等复习

知识点回顾：

一. 定义：能明确指出概念含义或特征的句子叫做定义。

注意：定义必须严密，一般避免使用含糊不清的术语。

二. 命题：判断正确或错误的句子叫做命题。

正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。

命题由题设和结论两部分组成，常可写成“如果……那么……”的形式。

三. 公理：正确性是人们长期以来在实践中总结出来的，并作为判定其他命题真假的根据的命题叫做公理。

常见公理：

（1）一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；

（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；

（3）如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等；

（4）全等三角形的对应边、对应角分别相等；

四. 定理：正确性是用推理证实的，这种用推理的方法得到的真命题叫做定理。

【典型例题】

例1. 指出下列句子哪些是定义。

（1）同位角相等，两直线平行

（2）若两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直

（3）大于直角而小于平角的角叫做钝角

（4）两点之间线段最短

（5）在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等

解：（2）（3）是定义；（1）（4）（5）不是定义。

例2. 判断下列语句是不是命题，如果是命题，是真命题还是假命题？

（1）连结AB

（2）对顶角相等

（3）如果两个三角形有两条边和一个角对应相等，那么这两个三角形全等

（4）若，则a>b

解：（2）（3）（4）是命题，其中（2）是真命题，（3）（4）是假命题

例3. 将下列命题改成“如果……那么……”的形式，并分别指出命题的题设和结论。

（1）直角都相等

（2）末位数是5的整数能被5整除

（3）三角形的内角和是

（4）同角的余角相等

（5）不相等的角不是对顶角

（6）内错角相等，两直线平行

解析：略

例4. 如图，AB＝CB，BE＝BF，，求证：AE＝CF

证明：

在和中

例5. 如图，在四边形ABCD中，E是AC上一点，，，求证：

证明：在和中

在和中

例6. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，DE、DF分别与两边交于E、F两点，且，求的周长。

解：延长BC到M，使，连DM

正方形ABCD，

在和中

在和中

周长为

例7. 如图，在等腰直角三角形中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D为BC上的一点，且，，垂足为E

（1）求证：

（2）设，，四边形PBDE的面积是y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围

证明：（1）中，O是斜边AC的中点

，，

，

，

在和中

（2）

例8. 如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD＝4，BC＝8，求：

（1）BE的长

（2）的正切值

分析：折痕是EF，则点B、D关于EF轴对称，EF是线段BD的中垂线

解：（1）翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕EF

，

等腰梯形ABCD，

（2），

例9. 在中，，AC＝BC，直线MN经过点C，且于D，于E

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问：DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。

解：（1）①

，

②

，

（2）

（3）略

例10. 已知，如图，在中，AD为BC的中线，E为AC上一点，BE和AD交于F，若AE＝EF，求证：

证法1：延长AD到M，使，连BM

在和中

证法2：延长FD到N，使DN＝FD，连CN

在和中

小结：加倍中线是解决中线问题的常见方法。

例11. 如图，中，，在AB上取点D，在AC的延长线上取点F，使BD＝CF，连结DF交BC于点E，求证：DE＝FE

证法1：过D作DM//AC，交BC于M

在和中

证法2：过F作FN//AB交BC延长线于N

证

证法3：过D作于H，交BC延长线于K

证

例12. 已知，如图，中，AB＝AC，，，求证：

证明：在BC上截取，连结DE

同理

例13. 已知，如图中，，AB＝AC，D是AC的中点，交BC于E，求证：

证明：作AF平分交BD于F

且

，

同理

在和中

，

在和中

例14. 已知，如图四边形ABCD中，AB>CD，AC平分，若，求证CD＝CB

证明：作，，垂足分别为E、F

则

AC平分

在和中

说明：此题还可添下面辅助线去证：

（1）在AB上截取AN＝AD，连结CN

（2）延长AD到M，使AM＝AB，连结CM

【模拟试题】

1. 如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，若，则________

2. 如图，，AE＝AB，AC＝AD，若，且，则________

3. 如图，已知AC＝BD，要使，只需增加的一个条件是________

4. 把下列的命题改写成“如果……那么……”的形式

（1）等角的补角相等

（2）两邻补角的平分线相互垂直

5. 已知，如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E为AC上的点，求证：BE＝DE

6. 如图，，AB＝BC，D为AC上一点，分别过A、C作BD的垂线，垂足分别为E、F，求证：EF＝CF－AE

7. 已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，且交的平分线于N

（1）吗？为什么？

（2）若将上述条件的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任意一点”，其余条件不变，则结论“MD＝MN”是否成立？若成立，给予证明，若不成立，说明理由。

【试题答案】

1.

2.

3. AB＝CD

4. （1）如果两个角相等，那么它们的补角也相等

（2）如果两个角是邻补角，那么它们的平分线互相垂直

5. 证明：在和中

在和中

6. 先由，得，

7. （1）取DA的中点F，则

，

BN平分，

（2）成立。

在DA上截取，则

BN平分，