直线的斜率与倾斜角

一、考点突破

二、重难点提示

重点：空间两点间的距离公式的应用。

难点：空间两点间距离公式的推导。

考点一：空间中两点间的距离

1. 空间中一点到原点的距离公式推导

在空间直角坐标系中，坐标平面上的点A（x，y，0）、B（0，y，z）、C（x，0，z），与坐标原点O的距离分别是OA＝word/media/image3_1.png、OB＝word/media/image4_1.png、OC＝word/media/image5_1.png。

如图，在空间直角坐标系中，设点P（x，y，z）在xOy平面上的射影为M，则点M的坐标是M（x，y，0），PM＝|z|，OM＝word/media/image3_1.png。

根据勾股定理，则点P（x，y，z）与坐标原点O的距离为OP＝word/media/image7_1.png＝word/media/image8_1.png。

2. 空间中两点的距离公式推导

在空间中，设点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2），在xOy平面上的射影分别为M、N。

则M的坐标是M（x1，y1，0），N的坐标是N（x2，y2，0），MN＝word/media/image11_1.png。

（1）若直线P1P2垂直于xOy平面，则点P1、P2之间的距离P1P2＝|z1－z2|。

（2）若直线P1P2平行于xOy平面，则点P1、P2之间的距离

P1P2＝MN＝word/media/image11_1.png。

（3）若直线P1P2是xOy平面的一条斜线，根据勾股定理，则点P1、P2的距离P1P2＝word/media/image12_1.png＝word/media/image13_1.png。

综上：空间中任意两点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）间的距离

P1P2＝word/media/image14_1.png。

【核心归纳】空间中两点的距离公式的应用

（1）求两点间的距离；（2）确定点的坐标；（3）证明三点共线问题；（4）最值问题。

考点二：中点坐标公式

平面内两点的中点坐标公式，类似地也可以推广到空间，即对于点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2），则线段P1P2的中点P（x，y，z）的坐标为（word/media/image15_1.png，word/media/image16_1.png，word/media/image17_1.png）。