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    山西省太原市第五中学2020届高三数学下学期4月阶段性检测试题 文-

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    山西省太原市第五中学2020届高三数学下学期4月阶段性检测试题 文
    一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确选项 1.已知集合，，
    则下图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2.下面关于复数的四个命题：
    的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为
    的虚部为-1 其中的真命题是（
    ）
    A. B. C. D. 3.阅读如图所示的程序框图，若输入的， 则该算法的功能是（ ） A. 计算数列的前10项和 B. 计算数列的前9项和 C. 计算数列的前10项和 D. 计算数列的前9项和
    4．若新高考方案正式实施，甲、乙两名同学要从政治、历史、物理、化学四门功课中分别选取两门功课学习，
    则他们选择的两门功课都不相同的概率为（ ）
    A. B. C. D. 5.已知点在幂函数的图象上， 设，， ，则、、的大小关系为（ ）
    A． B． C． D．

    6.如图，网格纸上小正方形的边长为1， 粗线画出的是某三棱锥的三视图， 则该三棱锥的外接球的表面积是（ ）
    A. B. C. D. 7.若变量，满足约束条件，且最小值为7， 则的值为（ ）
    A. 1 B. 2 C.-2 D.-1 8.已知函数,则（ ）
    A.在单调递增 B.在单调递减 C.的图像关于直线对称 D.的图象关于点对称 9.函数图象的大致形状是（ ）
    A． B． C． D． 10.若双曲线上存在一点满足以为边长的正方形的面
    积等于（其中为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11.已知函数的 图象如图所示，令，
    则下列关于函数的说法中不正确的是（ ） A. 函数图象的对称轴方程为 B. 函数的最大值为
    C. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线平行 D. 方程的两个不同的解分别为，，则最小值为 12.已知函数，若函数在上无零点，则（ ）
    A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上 13.已知e1、e2是互相垂直的单位向量，若e1－3e2与e1＋λe2夹角为30o，
    则λ的值为 ． 14.埃及数学家发现了一个独特现象：除223用一个单独的符号表示以外，其他形如n(n＝5，

    2117，9，…的分数都可写成若干个单分数(分子为1的分数和的形式，例如5＝3＋15.我们可以这样理解：假定有2乘坐站数



    个面包，要平均分给5人，票价（元）



    如果每人得111112，不够分，每人得3，余3，再将这3分成5份，每人得15，这样每人分得13＋115．故我们可以得出形如2211n(n＝5，7，9，11，…的分数的分解：5＝3＋15，27＝14＋128，29＝1125＋45，…，按此规律11＝________． 15.若圆锥的内切球和外接球的球心重合，且内切球的半径为1，
    则圆锥的体积为 ．
    16.各项均为正数的数列和满足：，，成等差数列，，， 成等比数列，且，，则数列的通项公式为__________．
    三、解答题(本大题5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（12分）如图，在中，内角，，的对边分别为，，，
    已知，，，，分别为线段上的点， 且，． （1）求线段的长； （2）求的面积．

    18.（12分）在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，点在底面内的射影在线段上，且，，在线段上，且． （1）证明：平面；
    （2）在线段上确定一点，使平面平面，
    并求三棱锥的体积．

    19.（12分）某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过站的地铁票价如下表：


    现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过站，且他们各自在每个站下车的可能性是相同的. （1）若甲、乙两人共付费元，则甲、乙下车方案共有多少种？ （2）若甲、乙两人共付费元，求甲比乙先到达目的地的概率.

    20.（12分）已知抛物线，直线与抛物线交于，两点． （1）若以为直径的圆与轴相切，求该圆的方程；
    （2）若直线与轴负半轴相交，求 (为坐标原点面积的最大值．

    21.（12分）已知函数.
    （1）当时，设函数，求函数的单调区间和极值； （2）设是的导函数，若对任意的恒成立，求的取值范围； （3）若，，，求证：．

    说明：请在22、23题中任选一题做答，写清题号．如果多做，则按所做第一题记分． 22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
    在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），
    若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：（其中为常数）. （1）若曲线与曲线有两个不同的公共点，求的取值范围； （2）当时，求曲线上的点与曲线上点的最小距离.

    23．（10分）选修4-5：不等式选讲
    设函数.

    （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）在（1）的条件下，若不等式的解集非空，
    求实数的取值范围.

    1．已知集合，，则下图中阴影部分所表示的集合为（ ）

    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】求解二次不等式可得：，则，
    由Venn图可知图中阴影部分为：．本题选择D选项． 2．下面关于复数的四个命题：

    的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为 的虚部为-1
    其中的真命题是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意可得：，则： ，命题为假命题；
    ，其在复平面内对应的点的坐标为命题为真命题； 的虚部为，命题为假命题； ，命题为真命题；
    综上可得：真命题是.本题选择C选项. 3.阅读如图所示的程序框图，若输入的，则该算法的功能是（ ）

    A. 计算数列的前10项和 B. 计算数列的前9项和 C. 计算数列的前10项和 D. 计算数列的前9项和 【答案】B 【解析】框图首先给累加变量S和循环变量i赋值， S=0，i=1；
    判断i＞9不成立，执行S=1+2×0=1，i=1+1=2； 判断i＞9不成立，执行S=1+2×1=1+2，i=2+1=3；
    判断i＞9不成立，执行S=1+2×（1+2）=1+2+22，i=3+1=4； …
    判断i＞9不成立，执行S=1+2+22+…+28，i=9+1=10；
    判断i＞9成立，输出S=1+2+22+…+28． 算法结束． 故选：B 4.若新高考方案正式实施，甲、乙两名同学要从政治、历史、物理、化学四门功课中分别选取两门功课学习，则他们选择的两门功课都不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 答案：A 5.已知点在幂函数的图象上，设，，
    ，则、、的大小关系为（ A ） A． B． C． D． 答案：A 6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是

    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其外接球相当于以俯视图为底面侧棱长为1的直三棱柱的外接球，再由正弦定理易得底面三角形的外接圆半径，球心到底面的距离， 故球半径，故球的表面积，故选D. 7.若变量，满足约束条件，且的最小值为7，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. -1 7.【答案】B 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：

    由得：；由得：；由得，
    由，得，则直线的截距最小，也最小， ∵目标函数的最小值为7，

    8.已知函数,则（ ）
    A.在单调递增 B.在单调递减 C.的图像关于直线对称 D.的图象关于点对称 8.答案： C 解析： 由题意知, , 所以的图象关于直线对称,C正确,D错误; 又, 在上单调递增,在上单调递减,A,B错误,故选C. 9. 函数图象的大致形状是( 【解析】，为奇函数，令，则，选.


    10.若双曲线上存在一点满足以为边长的正方形的面
    积等于（其中为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 答案C 解析
    本题主要考查圆锥曲线。 因为为双曲线上一点， 所以， 又， 所以，，， 所以， 所以。
    故本题正确答案为C。
    11.已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（
    A. 函数图象的对称轴方程为 B. 函数的最大值为
    C. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线平行
    ）
    D. 方程的两个不同的解分别为，，则最小值为 【答案】C 【解析】由函数的最值可得，函数的周期， 当时， ，
    令可得，函数的解析式.则：

    结合函数的解析式有，而，
    选项C错误，依据三角函数的性质考查其余选项正确. 本题选择C选项. 12.已知函数．若函数在上无零点，则（ ）
    A. B. C. D. 【解答】因为在区间上恒成立不可能，
    故要使函数在上无零点，只要对任意的，恒成立， 即对，恒成立． 令，，则， 再令，，则，
    故在上为减函数，于是， 从而，于是在上为增函数，所以， 故要使恒成立，只要，
    综上，若函数在上无零点，则的最小值为．故选A 13.已知e1、e2是互相垂直的单位向量，若e1－e2与e1＋λeo2夹角为30，则λ的值为 ． 答案：－/3 14.埃及数学家发现了一个独特现象：除32用一个单独的符号表示以外，其他形如n2(n＝5，7，9，…的分数都可写成若干个单分数(分子为1的分数和的形式，例如52＝31＋151.我们可以这样理解：假定有2个面包，要平均分给5人，如果每人得21，不够分，每人得31，余31，再将这31分成5份，每人得151，这样每人分得31＋151．故我们可以得出形如n2(n＝5，7，9，11，…的分数的分解：52＝31＋151，72＝41＋281，92＝51＋451，…，按此规律112＝________．
    [答案] 61＋661
    [解析] 假定有2个面包，要平均分给11人，如果每人得51，不够分，每人得61，余61，再将这61分成11份，每人得661，这样每人分得61＋661. 15.若圆锥的内切球和外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为 ． 【答案】 【解析】
    试题分析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得及其内切圆，且两圆同圆心，即的内心与外心重合，易得为正三角形，由题意圆的半径为，∴的边长为，∴圆锥的底面半径为，高为3，∴．
    考点：球的体积和表面积．
    16.各项均为正数的数列和}满足：，，成等差数列，，， 成等比数列，且，，则数列的通项公式为__________． 答案 解析
    ∵a2n，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，∴2bn=an+an+1①，an+1=bn？bn+1②．由②得a*n+1=③．将③代入①得，对任意n≥2，n∈N，有2bn=+．∵bn＞0，∴2=+，∴{}是等差数列．设数列{}的公差为d，由a1=1，b1=2，a2=3，得b2=．∴=， =，d=﹣=．∴=+（n﹣1）=（n+1），∴bn=（n+1）2，an==n（n+1）=．故答案为：．
    17.如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，，分别为线段上的点，且，．

    （1）求线段的长； （2）求的面积． 【答案】（1）（2）

    【解析】试题分析：（I）在△ABC中，利用余弦定理计算BC，再在△ACD中利用余弦定理计算AD；
    （II）根据角平分线的性质得到，又，所以，所以，，再利用正弦形式的面积公式即可得到结果. 试题解析：
    （1）因为，，所以． 由余弦定理得， 所以，即， 在中，，， 所以，所以．
    （2）因为是的平分线， 所以， 又，所以， 所以，，
    又因为，所以， 所以．
    18.在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，点在底面内的射影在线段上，且，，M在线段上，且．
    （Ⅰ）证明：平面；
    （Ⅱ）在线段AD上确定一点F，使得平面平面PAB，并求三棱锥的体积． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．
    【解析】试题分析：（Ⅰ）根据余弦定理结合勾股定理可得，由平面，得。从而由线面垂直的判定定理可得结果；（Ⅱ）取是的中点，先证明平面，即可证明平面，然后根据棱锥的体积公式可得结果. 试题解析：（Ⅰ）证明：在中，，，，由余弦定理得． 所以，从而有. 由平面，得. 所以平面. （Ⅱ）取是的中点，作交于点，则四边形为平行四边形， ，则. 在中，，分别是，的中点，则，所以. 因为平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. . V = . 19.（12分）某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过站的地铁票价如下表：
    乘坐站数 票价（元）



     现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过站，且他们各自在每个站下车的可能性是相同的. （1）若甲、乙两人共付费元，则甲、乙下车方案共有多少种？ （2）若甲、乙两人共付费元，求甲比乙先到达目的地的概率. 【答案】(19(2 【解析】试题分析：（1）由题意知甲、乙乘坐地铁均不超过站，前站设为，，，（2），甲、乙两人共有种下车方案；（2）设站分别为，，，，，，，，，因为甲、乙两人共付费元，共有甲付元，乙付元；甲付元，乙付元；甲付元，乙付元三类情况. 由（1）可知每类情况中有种方案，所以甲、乙两人共付费元共有种方案. 而甲比乙先到达目的地的方案有共种，从而得到甲比乙先到达目的地的概率. 试题解析：
    （1）由题意知甲、乙乘坐地铁均不超过站，前站设为，，， 甲、乙两人共有，，，，，，，，种下车方案. （2）设站分别为，，，，，，，，，因为甲、乙两人共付费元，共有甲付元，乙付元；甲付元，乙付元；甲付元，乙付元三类情况. 由（1）可知每类情况中有种方案，所以甲、乙两人共付费元共有种方案. 而甲比乙先到达目的地的方案有，，，，，，，，，，，，共种， 故所求概率为. 所以甲比乙先到达目的地的概率为. 20.已知抛物线y2＝4x，直线l：y＝－12x＋b与抛物线交于A，B两点．
    (1若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程；
    (2若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB(O为坐标原点面积的最大值． 解：(1联立y2x＋＝b4x，，
    消去x并化简整理得y2＋8y－8b＝0. 依题意应有Δ＝64＋32b＞0，解得b＞－2.
    设A(x1，y1，B(x2，y2， 则y1＋y2＝－8，y1y2＝－8b，
    设圆心Q(x0，y0，
    则应有xx1＋x2，yy1＋y20＝20＝2＝－4. 因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆的半径为r＝|y0|＝4， 又|AB|＝＝＝＝. 所以|AB|＝2r＝＝8， 解得b＝－85. 所以x481＋x2＝2b－2y1＋2b－2y2＝4b＋16＝5，
    所以圆心为，－244. 故所求圆的方程为2452＋(y＋42＝16. (2因为直线l与y轴负半轴相交，所以b＜0， 又l与抛物线交于两点，由(1知b＞－2，
    所以－2＜b＜0，
    直线l：y＝－12x＋b整理得x＋2y－2b＝0，点O到直线l的距离d＝|－52b|＝－52b，所以S1△AOB＝2|AB|d＝－4b＝4. 令g(b＝b3＋2b2，－2＜b＜0，g′(b＝3b2＋4b＝3b43，
    b 43 －43 ，40 g′(b
    ＋
    0 － g(b

    极大值

     由上表可得g(b的最大值为g43＝3227. 故S32＝3△AOB≤4× 279. 所以当b＝－43时，△AOB的面积取得最大值39. 21.已知函数f(x=x2(ln x+ln a(a>0.
    (1当a=1时，设函数g(x=，求函数g(x的单调区间和极值；
    (2设f'(x是f(x的导函数，若≤1对任意的x>0恒成立，求a的取值范围；(3若x41，x2∈，x1+x2<1，求证：x1x2<(x1+x2.
    【解析】(1当a=1时，g(x= =xln x，∴g'(x=1+ln x.令g'(x=0得x=. 当x∈时，g'(x<0，g(x单调递减，
    当x∈时，g'(x>0，g(x单调递增， ∴当x=时，g(x取得极小值-. (2f'(x=2x(ln x+ln a+x，



    ≤1，即2ln x+2ln a+1≤x，
    所以2ln a≤x-2ln x-1在x>0上恒成立， 设u(x=x-2ln x-1，则u'(x=1-. 令u'(x=0，得x=2.
    当02时，u'(x<0，u(x单调递减；当x>2时，u'(x>0，u(x单调递增， ∴当x=2时，u(x有最小值u(2=1-2ln 2. ∴2ln a≤1-2ln 2，解得0≤.∴a的取值范围是. (3由(1知g(x=xln x在内是减函数，在上是增函数. ∵11+x2<1，∴g(x1+x2=(x1+x2ln(x1+x2>g(x1=x1ln x1， 即ln x1<ln(x1+x2. 同理ln x2<ln(x1+x2.
    ∴ln x1+ln x2<ln(x1+x2= ln(x1+x2. 又∵2+≥4，当且仅当“x1=x2”时，取等号. 又x1，x2∈，x1+x2<1，ln(x1+x2<0， ∴ln(x1+x2≤4ln(x1+x2，
    ∴ln x1+ln x2<4ln(x1+x2.∴x41x2<(x1+x2.
     22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），
    若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：（其中为常数）. （1）若曲线与曲线有两个不同的公共点，求的取值范围； （2）当时，求曲线上的点与曲线上点的最小距离. 【答案】（1）；（2）
    【解析】试题分析：（1）由已知：，；：. 联立方程有两个解，可得. （2）当时，直线：，设上的点为，，则，当时取等号. （1）由已知：，；：. 联立方程有两个解，可得. （2）当时，直线：，设上的点为，，则，当时取等号，满足，所以所求的最小距离为. 23.设函数. （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）在（1）的条件下，若不等式的解集非空，
    求实数的取值范围. 答案（Ⅰ）；（Ⅱ） 解析
    （Ⅰ）由去掉绝对值符号，求解与已知解集比较，得到的方程； （Ⅱ）由（Ⅰ）变形得到，令，画出的图象分析求解. 试题解析：（Ⅰ） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，的图象如图：

    要使解集非空，或
    考点：1、绝对值不等式的解法；2、函数的图象．




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