直线与平面平行的判定和性质（二） 南昌十中 郭卿

一、 word/media/image1.gif教学目标

（一）本节知识点

直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定定理，直线与平面平行的性质定理。

（二）课时安排

在学习了前面关于平面、空间直线等立体几何中的基础概念之后接触到的立体几何中的又一研究重点直线与平面的位置关系，所以本节内容处于一个承上启下的位置。安排用三个课时来完成。

（三）本堂课教学目标

1．教学知识目标

进一步熟悉掌握空间直线和平面的位置关系。理解并掌握直线与平面平行的判定定理及直线与平面平行的性质定理。

2．能力训练：掌握由“线线平行”证得“线面平行”和“线面平行”证得“线线平行”的数学证明思想。进一步熟悉反证法；进一步培养学生的观察能力、空间想象力和类比、转化能力，提高学生的逻辑推理能力。

3．德育渗透：培养学生的认真、仔细、严谨的学习态度。建立“实践――理论――再实践”的科学研究方法。

（四）教学重点、难点

重点：直线与平面平行的判定和性质定理。

难点：灵活的运用数学证明思想。

（五）教学方法：启发式、引导式、找错教学。多注重观察和分析，理论联系实际。

（六）教具：模型、尺、多媒体设备

二、教学过程

（一）内容回顾

师：在上节课我们介绍了直线与平面的位置关系，有几种？ 可将图形给

以什么作为划分的标准？ 出引导作答

生：三种，以直线与平面的公共点个数为划分标准，分别是

直线与平面有两个公共点——直线在平面内(直线上所有的点都在这个平面内）

直线与平面只有一个公共点——直线与平面相交

直线与平面没有公共点——直线与平面平行

word/media/image2.gif注：我们也将直线与平面相交和平行统称为直线在平面外

（二）新授内容

1．如何判定直线与平面平行

师：请同学回忆，我们昨天是受用了什么方法证明直线与平面平行？有直线在平面外能不能说明直线与平面平行？

①生：借助定义，用反证法说明直线与平面没有公共点（证明直线在平面外不能说明直线与平面平行）

②直线与平面平行的判定定理

如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

已知：a61b76be6c483944b67795fe1bc237f09.pngα，bc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.pngα，且a∥b 从学生的直观感

求证：a∥α 觉入手如：怎样

师：你们会采用什么方法证明定理？生：反证法 放置跳高竿，使

证明：∵ a∥b∴经过a,b确定一个平面β 竿子和地面平行

∵a61b76be6c483944b67795fe1bc237f09.pngα，bc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.pngα∴α与β是两个不同的平面。 以此启发学生如

∵bc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.pngα，且bc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.pngβ∴α∩β=b 何保证直线与平

假设a与α有公共点P，则P∈α∩β＝b, 面平行

点P是a、b的公共点这与a∥b矛盾，∴a∥α

例1：求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面。

已知：如图空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点。求证：EF∥平面BCD

证明：连结BD

AE＝EB

c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.pngEF∥BD

AF＝FD EF 61b76be6c483944b67795fe1bc237f09.png平面BCD　　c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.pngEF∥平面BCD

BD c51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.png平面BCD

评析：要证EF∥平面BCD，关键是在平面BCD中找到和EF平行的直线，将证明线面平行的问题转化为证明直线的平行

2．直线和平面平行的性质定理：

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

已知：a∥α，ac51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.pngβ,α∩β＝b（如右图）

求证：a∥b

word/media/image6.gif证明：α∩β＝bc747017dd963feee68eba362e4fd95e6.pngbc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.pnga　　　　ac51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.pngβ

a∥α　　　　　　　c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png　a∩b=φ c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.pnga∥b

　　　　　　　　　　　　　　　bc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.pngβ

评析：证明用到了“同一平面的两直线没有公共点，则它们平行”

例2、如图，平面α、β、γ两两相交，a、b、c为三条交线，且a∥b，那么a与c、b与c有什么关系？为什么？

师：猜a与c什么关系？生：平行

师：已知a∥b能得出什么结论，怎样又可征得a∥c？

解：依题可知：α∩γ=a,β∩γ=b,α∩β=C 借助多媒体将

∵ac51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.pngα,b61b76be6c483944b67795fe1bc237f09.pngα,且a∥b∴b∥α 图形多角度展

又∵bc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.png β, α∩ β=C∴b∥c 示，便于观察

又∵a∥b, ∴a∥c

师：b∥α,过b且与α相交的平面有多少个？这些交线的位置关系如何？ 多媒体展示过

生：有无数条交线，且它们相互平行。 程

注： ①性质定理也可概括为由“线面平行”证得“线线平行”

②过b且与α相交的平面有无数个，这些平面与α的交线也有无数条，且这些交线都互相平行

3．练习

①能保证直线a与平面α平行的条件是（　A　　 ）

A.a61b76be6c483944b67795fe1bc237f09.pngα,bc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.pngα,a∥b　　　　　　B .bc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.pngα,a∥b

C. bc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.pngα,c∥α,a∥b,a∥c

D. bc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.pngα,A∈a,B∈a,C∈b ,D∈b且AC＝BD

②下列命题正确的是（ D F ）

A. 平行于同一平面的两条直线平行

B. 若直线a∥α,则平面α内有且仅有一条直线与a平行

C. 若直线a∥α,则平面α内任一条直线都与a平行

D. 若直线a∥α,则平面α内有无数条直线与a平行

word/media/image8.gifE. 如果a、b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面

F. 如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α,b61b76be6c483944b67795fe1bc237f09.pngα，那么b∥α

③若两直线a与b相交，且a平行于平面α，则b与α的位置关系是 平行或相交

④如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是一矩形。

（1）求证：CD∥平面EFGH；

（2）求异面直线AB、CD所成的角

word/media/image9.gif证明：⑴依题：

矩形EFGHc747017dd963feee68eba362e4fd95e6.pngGH∥EF

EFc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.png面ACD　　　　　　c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.pngGH∥面ACD

GH61b76be6c483944b67795fe1bc237f09.png面ACD　　　　　　　 GHc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.png面BCD　　　

面BCD∩面ACD＝CD

c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.pngGH∥CD

GHc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.png面EFGH

CD∥GH,且面BCD∩面EFGH＝GHc747017dd963feee68eba362e4fd95e6.pngCD61b76be6c483944b67795fe1bc237f09.png面EFGH

c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.pngCD∥平面EFGH

⑵ 如⑴可证CD∥GH

同理可证AB∥GF　　c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png∠HGF即为异面直线AB与CD所成的角且

矩形EFGHc747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png∠HGF＝90°

∠HGF＝90°

4．思考补充

⑴过两条平行线中的一条和另一条平行的平面有 无数 个

⑵过两条异面直线中的一条和另一条平行的平面有 一 个,并说明理由。

已知：a与b为异面直线

求证：过b有且只有一个平面与a平行

证明：假设过b有两个平面α、β都与a平行

在b上任取一点P，a与b为异面直线，

∴P∈a.过a和P有且只有一个平面设为γ，且γ与α、β都相交，设分别交于C和C′

又∵a∥α,a∥β∴a∥C,a∥C′

∵ac51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.pngγ,Cc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.pngγ,C′c51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.pngγ且C∩C′=P

∴这与在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，所以过两条异面直线中的一条和另一条平行的平面只有一个

5．小结

本节的重点是直线与平面平行的判定和性质定理。记清楚定理的描述，在应用定理时，要注意条件的满足，如判定定理中的三个条件一个不能少。另外这两个定理在证题时往往需要交替使用，但要注意这种交替不是循环，而是步步向前推进的。

6．板书

word/media/image10.gif7．作业

课本P19 习题9.3 的第1、3、4题

三课后反思

立体几何比较抽像，所以要尽可能找生活中的实例进行分析。多媒体可以代替我们抄题，展示一些比较难想像的过程，节约我们的时间，但是不要什么都依赖它，注意培养学生的动手能力。多让学生自己分析找出规律，增加互动。适时的对过去所以学过的知识进行复习。