2.2 高考随机变量及其分布考点大盘点

随机变量及其分布是高中新课标教材的重点内容，也是每年高考的必考内容．重视对高考考点的研究和剖析，可以使我们对随机变量及其分布的学习和复习能够高起点、高标准地进行．

考点一、离散型随机变量分布列的计算

离散型随机变量分布列的计算，是均值和方差计算的基础，又是概率计算的延伸，涉及到排列、组合、二项式定理和概率的知识，综合性强，因而是高考考查的重点．特别是两点分布、超几何分布和二项分布等重要的概率模型，应用性强，更是高考命题的重中之重．求离散型随机变量分布列时，应明确随机变量可能取哪些值，然后计算其相应的概率填入相应的表中即可．

考题1　袋中装有黑球和白球共7个，从中任意取2个球都是白球的概率为．现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用Ｘ表示取球终止时所需要的取球次数．

　　（1）求袋中原有白球的个数；

　　（2）求随机变量X的分布列．

　　简析：（1）设袋中原有n个白球，由题意知，解得（舍去），即袋中原有3个白球．

　　（2）由题意，的可能取值为1，2，3，4，5．

　　，，，

，．

所以的分布列为

考点二、离散型随机变量分布列性质的应用

随机变量分布列具有下面性质：①；②，即总概率为1；③离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它在这个范围内各个值的概率之和．

高考常结合应用问题对随机变量分布列及其性质的应用进行考查．

考题2　已知随机变量X的分布列如下：

则等于（　　）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

简析：求即求的值，应用性质②求之，要正确应用等比数列前n项和公式．

，故选Ｃ．

考点三、条件概率、事件的相互独立性和独立重复试验

作为随机事件重要的概率模型，相互独立事件的概率、事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率计算，早已是高考重点考查的内容．这类考题往往以实际应用题的形式出现，且在近年高考解答题中与随机变量的分布列、均值和方差结合在一起进行考查，有效地考查了同学们综合运用知识的能力和分析、解决实际问题的能力．解题时应注意：①准确弄清问题所涉及的事件有什么特点、事件之间有什么联系；②事件以什么形式发生；③正确选用相互独立事件的概率乘法公式和n次独立重复试验的概率公式．求事件积的概率必须注意事件的独立性，要注意恰有k次发生和指定第k次发生的差异，对独立重复试验来说，前者的概率为，后者的概率为．条件概率是新课程教材的新增内容，以前高考虽未涉及，但可以预想，2007年开始的新课标教材的高考，将会出现条件概率的问题．

考题3　设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125．

（1）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为多少？

（2）计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率．

简析：记机器甲、乙、丙需要照顾分别为事件A，B，C．由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A，B，C是相互独立事件．

（1）易求得，，．

（2）记分别为事件的对立事件，

则，即这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7．

考题4　加工某种零件需经过三道工序．设第一、二、三道工序的合格率分别为，且各道工序互不影响．

（1）求该种零件的合格率；

（2）从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率．

简析：（1）；

（2）该种零件的合格率为，由独立重复试验的概率公式，得恰好取到一件合格品的概率为；

至少取到一个合格品的概率为或

．

考点四、离散型随机变量的均值与方差的计算

均值和方差（标准差）都是离散型随机变量最重要的数字特征．和都是一个实数，都由Ｘ的分布列唯一确定．均值与方差的计算都是建立在准确求得分布列的基础上的．高考中，均值、方差与分布列、事件的概率往往结合在一起进行考查．近几年来，随机变量的分布列、均值、方差和概率应用题已成为高考应用题的主要角色．

考题5　同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量表示结果中有正面向上，表示结果中没有正面向上，则________．

简析：本题考查两点分布．

，，

．

考点五、正态分布的应用

正态分布是一种重要的（非离散型）随机变量的概率模型，在实际生活、生产中有着广泛的应用，且在概率和统计中占有重要的地位．以往的高考中，虽然未涉及正态分布的内容，但随着新课标教材使用的深入，考查正态曲线的性质或以正态分布为背景、以定积分计算为工具的应用题会出现在今后的高考试题中，应引起关注．

考点六、随机变量及其分布与其他知识的交汇

在“知识网络的交汇点处命题”已成为高考命题改革的一种时尚．近年高考中，以随机变量及其应用为主体的创新试题不断出现，随机变量与其他知识的融合不仅使得题目显得非常“新”，而且档次和品味也水涨船高，真正体现了考查创新意识，以及综合处理问题的能力．

考题6　箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为．现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取出的次数最多不超过n次，以Ｘ表示取球结束时已取到白球的次数．

（1）求的分布列；

（2）求的数学期望．

解析：本题第（2）小问的解答，运用了等比数列的错位相减法．

（1）Ｘ的可能取值为0，1，2，…，n，其分布列为：

（2），　　①

则．　　　②

①②得．精品推荐 强力推荐 值得拥有

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