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时间：2023-09-27 11:35:32 下载该word文档

第一章n阶行列式
在初等数学中讨论过二阶、三阶行列式，并且利用它们来解二元、
三元线性方程组.为了研究n元线性方程组，需要把行列式推广到n阶，即讨论n阶行列式的问题.为此，下面先介绍全排列等知识，然

后引出n阶行列式的概念.
§1全排列及其逆序数
先看一个例子.引例
用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三
位数？
解这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？

显然，百位上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有3
种放法；十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有两种放法；个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有
1种放法.因此，共有
3216种放法.
这六个不同的三位数是：
123，132，213，231，312，321.
在数学中，把考察的对象，如上例中的数字1、2、3叫做元素.上述
问题就是：把3个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？

对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题：把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？

把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，简称排
列.

n个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn表示.有引例的结果可知P3=3.2.1=6.

1

为了得出计算Pn的公式，可以仿照引例进行讨论：从n个元素中任取一个放在第一个位置上，下的n－1个元素中任取一个放在第二个位置上，有
这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第有1种取法.于是
⋯
Pn=n.（n－1）..3.2.1=n!.

有n种取法；又从剩
n－1种取法；n个位置上，只

对于n个不同的元素，我们规定各元素之间有一个标准次序如n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序）

（例就
.
，于是在这n个
元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，说有1个逆序.一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数
逆序数为奇数的排列叫做奇排列，
逆序数为偶数的排列叫做偶排
.
列.

下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法
不失一般性，不妨设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序.设

p1p2pn
pi(i
1,2,
,n，如果比pi
ti.
为这n个自然数的一个排列，考虑元素

大的且排在pi前面的元素有ti个，就说pi这个元素的逆序数是

全体元素的逆序数之总和