3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式

教材分析

本节内容是数学必修四（人教A版）第三章第一节，是在研究了两角和与差的三角函数的基础上,研究具有倍角关系的正弦、余弦、正切公式，它是两角和的正弦、余弦、正切公式延续，为后续内容求三角函数值、化简和证明提供了非常有用的理论工具.通过对二倍角公式的推导知道：二倍角公式的内涵是“揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律”，通过推导还让学生了解高中数学中由“一般”到“特殊”的化归数学思想，因此这节课也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义. 重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导及余弦公式两种变形及应用.难点是灵活应用二倍角公式变形，熟练解三角综合题.

课时分配

本节内容用1课时完成，主要讲解二倍角的正弦、余弦、正切公式.

教学目标

重点：公式的推导、记忆、及公式变形及应用.

难点：灵活应用二倍角公式变形，熟练解三角综合题.

知识点：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能熟练地正用、逆用、变形用公式.

能力点：通过对二倍角公式的正用、逆用、变形使用，提高三角变形的能力，运算能力，以及应用转化、化归、换元等数学思想方法对学生推理能力的发展起到很好的推动作用.

教育点：认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题.

自主探究点：探究二倍角正弦、余弦、正切公式

考试点：二倍角公式.

易错易混点：正切公式是有条件的，使用时要先考虑公式是否有意义，再选择恰当公式，简单地认为是的二倍；根据给的角判断三角函数符号，求值易错，学生运算能力差；.

拓展点:倍角公式与三角函数其它知识联系，解决实际问题，可以推导升幂、降次公式,培养发散性思维.

教具准备 导学案、三角板和多媒体.

【教学过程】

一、引入新课

同学们，上几节课学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，知道是用简单的角的三角函数表达复杂角的三角函数，知道并不简单的等于，请同学们回忆这些公式并默写出来。

那么吗？显然不是对于所有的角都成立，比如就不成立，那它等于什么，用什么表示？

【设计意图】开门见山，运用类比，引出课题，同时加深对两角和与差的正弦、余弦、正切公式的理解，引出探究问题

二、探究新知

【探究一】二倍角的正弦、余弦、正切公式

请问

学生讨论：通过取特殊值，比如，，, ,不成立.

引导：在推导时，是对进行特殊化得到的，如果令，得到什么结论？

引导学生观察其结构，并回答观察结果：左边角均为，右边角均为，具有“二倍”关系.

板书：

上式即为我们学习的二倍角公式.

【设计意图】用已学公式，对其特殊化,让学生学会从“一般”到“特殊”的化归方法，从而达到“温故而知新”的教学目的.

【思想方法】上面推导过程体现了一般到特殊的思想方法.

【探究二】思考：把上述关于的式子能否变成只含有或形式的式子呢？

推导：由

变形式： ==1-

==

记忆：从左到右，由一次式到右端的二次式，但角却由二倍角变为单角

【设计意图】学会公式的变形，公式的变形使用也是本节的重要内容.

【探究三】思考：二倍角公式，对任意角都适合吗？

让学生说出：板书：：（）

: = 1-=（）

: ()

【设计意图】探索出二倍角公式的使用条件.

三、理解新知

二倍角公式中的倍数关系是相对的

是的二倍的形式，其实也是的两倍，是的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式.因此，要理解“二倍角”的含义，即当时，就是的二倍角.凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式.

学生口答

 1．填角： 答案

答案

答案

2．填空：（用表示） 答案

答案 (

【设计意图】通过填空，让学生灵活理解“二倍角”的含义，根据学生易混点，类比公式，展开训练，达到“跨越障碍、突破难点”的目的.

【思想方法】上面体现了换元的思想方法.

四、运用新知

例 1. （1）； （2）；

(3）； (4)

【设计意图】 运用公式,对二倍角公式结构特征进一步理解，巩固二倍角公式，训练化简求值

变式训练:

(1) (2) (3)

思维过程：解：(1) =

（2）===

(3) ===

【设计意图】：公式的简单应用，包括公式的简单变形用

例2.已知求的值．

【分析】是的二倍，由得，所以求出

代入二倍角公式求值.

解：由得．

又因为．

于是；

；．

用也能求解.

【设计意图】本题是公式的正用.通过本例的解答，要求学生对倍角的相对性有一定认识.由浅入深,巩固公式,培养学生规范、科学解题的能力. 给值求值

变式训练：已知等腰三角形一个底角的正弦值为,求这个三角形的顶角的正弦、余弦及正切值.

【设计意图】本题是公式的正用.利用二倍角解决实际问题,培养学生分析解决问题能力.

找一同学板书，其他同学自己做，老师讲评.

已知：

求

解：由题意设且，所以，

因此, 同样有

例3.在△ABC中，求的值

分析：在三角形当中，， ,会有不同的思路，进一步求解.

法1: 在△ABC中,，得，

,

又

解法2：,

【设计意图】本题具有一定的综合性，同时也是和（差）角公式的应用问题.

例4．（1） (2)

(1)分析：本题主要是观察结构特征，1=，,

解： =

(2)分析：本题主要是逆用二倍角正弦公式，观察结构特征，1=.

解： ==

=====

【设计意图】主要是练习倍角公式的灵活运用和角、倍角公式，培养学生发散性思维.

练习:P135 1，2，3，4

五、课堂小结

1．知识：：（）

: = 1-=（）

: ()

2．思想方法：一般到特殊思想、换元思想、转化、化归思想、方程思想.

【设计意图】让学生学会学习，反思，总结，同时应加强对学生在数学知识与思想方法的认识与指导.

六、布置作业：

必做题: 1.已知. 求

2.已知.， ，，求

选做题：【设计意图】对学有余力的学生留出自我发展的空间，尝试能力，拓展创新.

3. 已知, ,求

4.利用三角公式化简：

七、教后反思

本节课采用特殊化、探究相结合的研究方法，运用调动学生思维，让学生自主探究，通过设置问题引导学生观察分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得倍角公式；对于倍角公式的应用从正用、逆用、变形用的角度设置例习题，采取讲、练相结合的方式进行处理，使学生边练边巩固，同时设计问题，探究问题，深化对公式的理解、记忆.

八、 板书设计

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