雅安市2014—2015学年下期期末统一检测

高二数学试题(理科)参考答案及评分意见

1．选择题（50分）

CDCAD CDCBD

2．填空题（25分）

11. 1 12.36 13.3 14. 4x－y－4＝0. 15.①②④

3．解答题（75分）

16.（12分）

解　令x＝1，

则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1. ①.......................2分

令x＝－1，

则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37. ②.......................6分

(1)∵a0＝C＝1，............. ....................... .. .... ....8分

∴a1＋a2＋a3＋¡­＋a7＝－2. ............. ....................... ...10分

(2)(①＋②)÷2，

得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093. ....................... ....................... .......................12分

17.（12分）

解：（1）

X的分布列如下表：

...................... ...................... ... ............ . ................ ..................... .......... ......... ........8分

（2）

............. ..................... .......... ......... ........12分

18.（12分）

解：(1)f¡ä(x)＝3x2－x＋b，因f(x)在(－¡Þ，＋¡Þ)上是增函数，

则f¡ä(x)≥0，即3x2－x＋b¡Ý0，

¡àb¡Ýx－3x2在(－¡Þ，＋¡Þ)上恒成立．......... .......... ........3分

设g(x)＝x－3x2.

当x＝时，g(x)max＝，¡àb¡Ý.................... .......... ........6分

(2)由题意知f¡ä(1)＝0，即由（1）得3－1＋b＝0，¡àb＝－2. ...... ......7分

x¡Ê[－1,2]时，f(x)<c2恒成立，只需f(x)在[－1,2]上的最大值小于c2即可．

因f¡ä(x)＝3x2－x－2，令f¡ä(x)=0，得x＝1或x＝－.

f¡ä(x)>0,得x或x ,f¡ä(x)<0,得x

即f(x)在x＝－处取极大值.. .... ...... .. .......... ...... .....10分..

又＝＋c，f(2)＝2＋c.

¡àf(x)max＝f(2)＝2＋c，¡à2＋c<c2.解得c>2或c<－1，

所以c的取值范围为(－¡Þ，－1)∪(2，＋¡Þ)．.................. ......12分

19.（12分）

解：（1）设AD中点为O，连接PO

PAD为等边三角形，且边长为2

POAD，PO＝

又面PAD面ABCD于AD

PO面ABCD

PO为点P到平面ABCD的距离，即P到平面ABCD的距离为.......... ... ..6分

连接BO， ABCD是菱形，且BAD＝，O为AD中点，

BOAD

以O为坐标原点，OA、OB、OP分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则有A(1，0，0)、P（0，0，）、B（0，，0）、C（－2，，0）.

设APB平面的法向量为

word/media/image9_1.png，

，可取

同理，可取平面PAC的法向量

设二面角A—PB－C的平面角为，

则

由图可知，二面角A—PB－C的平面角是钝角

二面角A—PB－C的平面角的余弦值为……………………………………….12分

20.（13分）

解　(1)F(x)＝ax2－2ln x，其定义域为(0，＋¡Þ)，

¡àF¡ä(x)＝2ax－＝ (x>0)．¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­2分

¢Ù当a>0时，由ax2－1>0，得x>.

由ax2－1<0，得0<x<.

故当a>0时，F(x)在区间上单调递增，

在区间上单调递减．¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­6分

¢Ú当a¡Ü0时，F¡ä(x)<0 (x>0)恒成立．

故当a¡Ü0时，F(x)在(0，＋¡Þ)上单调递减．¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­8分

(2)原式等价于方程a＝＝¦Õ(x)在区间[，e]上有两个不等解．

¡ß¦Õ¡ä(x)＝>0,∴¦Õ(x)在(，)上为增函数，

在(，e)上为减函数，则¦Õ(x)max＝¦Õ()＝，¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­10分

而¦Õ(e)＝<＝＝¦Õ()．

¡à¦Õ(x)min＝¦Õ(e)，

如图当f(x)＝g(x)

在[，e]上有两个不等解时有¦Õ(x)min＝，¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­12分

a的取值范围为¡Üa<. ¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­..13分

21.（14分）

解：（1）函数在上的零点的个数为1．¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­1分

理由如下：

因为，所以． ¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­¡­2分

因为，所以，

所以函数在上是单调递增函数． 3分

因为，，

根据函数零点存在性定理得

函数在上的零点的个数为1． 4分

（2）因为不等式等价于，

所以，使得不等式成立，等价于

，即． 6分

当时，，故在区间上单调递增，所以时，取得最小值． 7分

又，由于，

所以，故在区间上单调递减，

因此，时，取得最大值． 8分

所以，所以．

所以实数的取值范围是． 9分

（3）当时，要证，只要证

只要证，

只要证，

由于，只要证． 10分

下面证明时，不等式成立．

令，则，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

所以当且仅当时，取得极小值也就是最小值为1．

令，其可看作点与点连线的斜率，

所以直线的方程为：，

由于点在圆上，所以直线与圆相交或相切，

当直线与圆相切且切点在第二象限时，

直线取得斜率的最大值为． 12分

故时，；时，． 13分

综上所述，当时，成立． …………………………………14分