第十三章 机械振动

一. 选择题:

【 D 】1、（基础训练2）一劲度系数为k的轻弹簧截成三等份，取出其中的两根，将它们并联，下面挂一质量为m的物体，如图所示。则振动系统的频率为

(A) ． (B) ．

(C) ． (D) ．

【解】提示：劲度系数为k的轻弹簧截成三等份，相当于三等份串联后为原来的弹簧，设每份的劲度系数为k，则：，；取出其中2份并联，系统的劲度系数为：

【 C 】2、（基础训练3）一长为l的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上（如图所示），作成一复摆．已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量，此摆作微小振动的周期为：

(A) . (B) . (C) . (D) .

【解】 提示：均匀的细棒一端悬挂，构成一个复摆，所受重力矩为：，根据转动定律，

可得，所以，

【 E 】3、（基础训练5）一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的（ ）

(A) 7 /16． (B) 9 /16 (C) 11 /16． (D) 13 /16． (E) 15 /16．

【解】，则：

[ D ] 4、（自测提高4）质量为m的物体，由劲度系数为k1和k2的两个轻质弹簧串联后连接到固定端，在光滑水平轨道上作微小振动，则振动频率为

(A) ． (B) ．

(C) ． (D)．

【解】劲度系数为k1和k2的两个轻质弹簧串联后，设系统的弹性系数为k，则有：

，，， 振动频率为：

【 B 】 5、（自测提高5）一简谐振动曲线如图所示．则振动周期是

(A) 2.62 s． (B) 2.40 s． (C) 2.20 s． (D) 2.00 s．

【解】提示：t=0时，物体偏离平衡位置的位移为0.5A,且向正的最大位移方向移动，可以确定t=0时，旋转矢量位于第四象限，初始相位为-/3，从t=0时刻到物体第一次到达平衡位置，花费的时间是1s，在旋转矢量图上矢量转过的角度为，可以得出：，

【 D 】 6、（自测提高6）弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动，其弹性力在半个周期内所做的功为（ ）

(A) KA2． (B) (1/2)KA2． (C) (1/4)KA2． (D) 0．

【解】经过半个周期，前后的相位差为，弹簧的弹性势能没有变化，振子的动能也没有变化，所以做功为0.

二 填空题

7、(基础训练13) 一质点作简谐振动．其振动曲线如图13-21所示．根据此图，它的周期T =S，用余弦函数描述时初相 =．

【解】提示：t=0时，物体偏离平衡位置的位移为-0.5A,且向平衡位置移动，可以确定t=0时，旋转矢量位于第三象限，初始相位为4/3，从t=0时刻到物体第二次到达平衡位置，花费的时间是2s，在旋转矢量图上矢量转过的角度为：，可以得出：，

8、(基础训练16) 两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：

(SI) ， (SI)

它们的合振动的振辐为_ (SI)_,初相为_108.40_．

【解】提示： 用旋转矢量图示法求解

9、(自测提高 8) 在静止的升降机中，长度为l的单摆的振动周期为T0．当升降机以加速度竖直下降时，摆的振动周期 ．

【解】 提示：当升降机以加速度加速下降时，小球受到向上的惯性力作用，分析单摆切线方向受力：， 当摆角 很小时，有：即：，令：，单摆的周期变为:

10、(自测提高 10) 分别敲击某待测音叉和标准音叉，使他们同时发音，会听到时强时弱的拍音。若测得在20S内拍的次数为180次，标准音叉的频率为300Hz，则待测音叉的频率为： 309 Hz或291 Hz

【解】提示：20秒内测得拍的次数为180次，拍的频率为9；而待测音叉和标准音叉产生拍的频率为两个频率的差，即： Hz

11、(自测提高 13)一台摆钟每天慢2分10秒，其等效摆长l = 0.995 m， 摆锤可上、下移动以调节其周期．假如将此摆当作质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤 向上 移动 2.99mm ，才能使钟走得准确．

【解】解1：，，，（T0为标准周期）则：

解2：钟摆周期的相对误差钟的相对误差，等效单摆的周期，这里g不变，周期变长说明摆线过长，需要向上移动以缩短摆线长度。另外，根据周期和摆线长度的函数关系有：，即有：

12、(自测提高 14) 两个互相垂直的不同频率谐振动合成后的图形如图所示．由图可知x方向和y方向两振动的频率之比 x y =_4:3__．

【解】提示：在相同的时间间隔内，X方向的振动为2Tx，而y方向的振动为1.5Ty,周期之比为3：4，频率之比相反为4：3

三、计算题

13、（基础训练19）一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12 cm，在距平衡位置6 cm处速率是24 cm/s．如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动（振动频率不变），当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板上滑动，问物块与木板之间的静摩擦系数 为多少？

解：解1：，根据：，得：，代入，则：，，

解2：由题意可以得到，（A, x分别为振幅和距离平衡位置6cm时的弹簧的形变量，v为距平衡位置6cm时木板的速率）

代入数据可以得到：； rad/s

在最大位移处，加速度，得：

14、（基础训练23）有两个同方向的简谐振动，它们的方程(SI单位)如下：

(1) 求它们合成振动的振幅和初位相。 (2) 若另有一振动，问为何值时，的振幅为最大；为何值时，的振幅为最小。

解：（1）合成振动的振幅： m

初相位：

因为旋转矢量位于第一象限，初始相位为84.80

(2) 若另有一振动，振幅最大，需要振动的初相位相同，所以，的振幅最小，需要初相位相差1800，这时

15、（基础训练24）在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为100g的物体，当物体处于平衡位置时，再对物体加一拉力使弹簧伸长，然后从静止状态将物体释放。已知物体在32内完成48次振动，振幅为5cm。（1）上述的外加拉力有多大？（2）当物体在平衡位置以下1cm时，此振动的动能和势能各是多少？

解：(1)由题可知， S，又，可得：，代入数据可得： ，则： (因为从静止状态释放，此时偏离平衡位置位移最大，此时弹簧的相对于平衡位置的形变为振幅A)

(2) 当物体在平衡位置以下1cm时，此振动的势能和动能分别是：

16、(自测提高15) 两个物体作同方向、同频率、同振幅的简谐振动．在振动过程中，每当第一个物体经过位移为的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡位置的方向运动．试利用旋转矢量法求它们的相位差．

解: 提示：参考旋转矢量图，可得到两个振动的相位差为

17、 (自测提高21) 质量为M的圆盘挂在劲度系数为k的轻弹簧下，并处于静止状态，如图13-30所示。一质量为m的物体，从距圆盘为h的高度自由下落，并粘在盘上和盘一起振动。设物体和盘相碰瞬间t=0，而且碰撞时间很短。取碰后系统的平衡位置为坐标原点，竖直向下为坐标的正方向。试求系统的振动方程。

解：物体m与圆盘M先发生碰撞，设碰撞后的瞬时速度大小为v：

，

系统动能为：

系统到达平衡位置时，有：，弹簧伸长量为：，则碰撞后瞬间物体偏离平衡位置的位移为，即：t=0时，，又：M＋m 向平衡位置方向运动，，根据条件，此振动的角频率为：，可得：

此时，M＋m经平衡位置向正最大位移方向移动，由此可判定在旋转矢量图中，矢量处于第三象限，初始相位为：

所以，振动方程为：

18、（自测提高25）一半径为R的圆形线圈，通有强度为I的电流，平面线圈处在均匀磁场中，的方向垂直纸面向里，如图所示。线圈可绕通过它的直径的轴OO＇自由转动，线圈对该轴的转动惯量为J。试求线圈在其平衡位置附近做微小振动的周期。

解：线圈受磁力矩： 大小为：

根据刚体定轴转动定律：

在微小振动时，磁矩，代入上式有：

∴ ,

四、附加题

19、（自测提高24）在伦敦与巴黎之间（约S＝320 km ）挖掘地下直线隧道，铺设地下铁路．设只在地球引力作用下时列车运行，试计算两城市之间需运行多少时间？列车的最大速度是多少？忽略一切摩擦，并将地球看作是半径为 R = 6400 km 的密度均匀的静止球体，已知处于地球内部任一点处质量为m的质点所受地球引力的大小与它距地球中心的距离成正比，可由 表示，式中G为引力恒量， 为地球密度，r为质点与地球中心的距离。

解：如图，质量为m的质点P受的引力在指向O点的方向上的分力为

①

上式中 ②

又因

有, 即 ③

将②、③式代入①式，得

这表明，在OP方向上，F正比于x并且方向相反，故为谐振动．

因此 ，则：

令 m

则列车运行所需时间： 42.3 min

列车最大速度：