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    八年级上册数学 压轴题 期末复习试卷测试卷附答案

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    八年级上册数学 压轴题 期末复习试卷测试卷附答案

    一、压轴题
    1．（1）在等边三角形ABC中，
    ①如图①，D，E分别是边AC，AB上的点且AE=CD，BD与EC交于点F，则∠BFE的度数是 度；
    ②如图②，D，E分别是边AC，BA延长线上的点且AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，此时∠BFE的度数是 度；
    （2）如图③，在△ABC中，AC=BC，∠ACB是锐角，点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点D，E分别在AC，OA的延长线上，AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，若∠ACB=α，求∠BFE的大小．（用含α的代数式表示）．

    2．在平面直角坐标系xOy中，对于点P(a,b和点Q(a,b，给出如下定义：
    b1,(当a2时b若，则称点Q为点P的限变点．例如:点(2,3的限变点的坐标是b,(当a2时(2,2，点(2,5的限变点的坐标是(2,5，点(1,3的限变点的坐标是(1,3．

    （1）①点(3,1的限变点的坐标是________；
    ②如图1，在点A(2,1、B(2,1中有一个点是直线y2上某一个点的限变点，这个点是________；（填“A”或“B”）
    （2）如图2，已知点C(2,2，点D(2,2，若点P在射线OC和OD上，其限变点Q的纵坐标b的取值范围是bm或bn，其中mn．令smn，直接写出s的值． （3）如图3，若点P在线段EF上，点E(2,5，点F(k,k3，其限变点Q的纵坐标


    b的取值范围是2b5，直接写出k的取值范围．
    3．如图，在等边ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边CDE，连结BE． （1）求CAM的度数；
    （2）若点D在线段AM上时，求证：ADCBEC；
    （3）当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断AOB是否为定值？并说明理由．

    34．如图，在平面直角坐标系中，直线yx3分别交x,y轴于A，B两点，C为线段4AB的中点，D(t,0是线段OA上一动点（不与A点重合），射线BF//x轴，延长DC交BF于点E． （1）求证：ADBE；
    （2）连接BD，记BDE的面积为S，求S关于t的函数关系式；
    （3）是否存在t的值，使得BDE是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

    5．如图，以直角△AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足ab2b80．

    （1）点A的坐标为________；点C的坐标为________．



    （2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（4，3），设运动时间为t秒．问：是否存在这样的t，使得△ODP与△ODQ的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
    （3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO，点G是第二象限中一点，并且y轴平分∠GOD．点E是线段OA上一动点，连接接CE交OD于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，探究∠GOA，∠OHC，∠ACE之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．
    6．ABC是等边三角形，作直线AP，点C关于直线AP的对称点为D，连接AD，直线BD交直线AP于点E，连接CE．

    （1）如图①，求证：CEAEBE；（提示：在BE上截取BFDE，连接AF．）
    （2）如图②、图③，请直接写出线段CE，AE，BE之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）、（2）的条件下，若BD2AE6，则CE__________．
    7．问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC是等边三角形，点D是BC的中点，且满足∠ADE＝60°，DE交等边三角形外角平分线于点E．试探究AD与DE的数量关系．
    操作发现：（1）小明同学过点D作DF∥AC交AB于F，通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问题，请您按照小明同学的方法确定AD与DE的数量关系，并进行证明．

    类比探究：（2）如图2，当点D是线段BC上任意一点(除B、C外，其他条件不变，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．




    拓展应用：（3）当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC，在图3中补全图形，直接判断△ADE的形状(不要求证明．

    8．如图1，在等边△ABC中，E、D两点分别在边AB、BC上，BE=CD，AD、CE相交于点F．

    （1）求∠AFE的度数；
    （2）过点A作AH⊥CE于H，求证：2FH+FD=CE；
    2PFCP，求的值． 9AF（提示：可以过点A作∠KAF=60°，AK交PC于点K，连接KB）
    （3）如图2，延长CE至点P，连接BP，∠BPC=30°，且CF=9．如图已知ABC中，BC,ABAC8厘米，BC6厘来，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动，设运动时间为t(秒． （1）用含t的代数式表示线段PC的长度；
    （2）若点P,Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与CQP是否全等，请说明理由； （3）若点P,Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与CQP全等？
    （4）若点Q以（3）中的运动速度从点C出发，点v以原来的运动速度从点B同时出发，都顺时针沿三边运动，求经过多长时间，点P与点Q第一次在ABC的哪条边上相遇？




    10．如图，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，且AB＝AD+BC，E是DC的中点，连结BE并延长交AD的延长线于G．

    （1）求证：DG＝BC；
    （2）F是AB边上的动点，当F点在什么位置时，FD∥BG；说明理由．
    （3）在（2）的条件下，连结AE交FD于H，FH与HD长度关系如何？说明理由． 11．定义：若两个三角形，有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏差三角形．
    （1）如图1，已知A（3，2），B（4，0），请在x轴上找一个C，使得△OAB与△OAC是偏差三角形．你找到的C点的坐标是______，直接写出∠OBA和∠OCA的数量关系______．
    （2）如图2，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠D+∠B=180°，问△ABC与△ACD是偏差三角形吗？请说明理由．
    （3）如图3，在四边形ABCD中，AB=DC，AC与BD交于点P，BD+AC=9，∠BAC+∠BDC=180°，其中∠BDC＜90°，且点C到直线BD的距离是3，求△ABC与△BCD的面积之和．




    12．在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB，垂足为点D，M为线段DB上一动点（不包括端点），点N在直线AC左上方且∠NCM=135°，CN=CM，如图①． （1）求证：∠ACN=∠AMC；
    S1AC（2）记△ANC得面积为5，记△ABC得面积为5．求证：； S2AB（3）延长线段AB到点P，使BP=BM，如图②．探究线段AC与线段DB满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M，AN=CP始终成立？（写出探究过程）


    【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除


    一、压轴题

    1．（1）①60°；②60°；（2）∠BFE =α． 【解析】 【分析】
    （1）①先证明△ACE≌△CBD得到∠ACE=∠CBD，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠CBD+∠BCF；②先证明△ACE≌△CBD得∠ACE=∠CBD=∠DCF，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA；
    （2）证明△AEC≌△CDB得到∠E=∠D，则∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α． 【详解】 （1）如图①中，




    ∵△ABC是等边三角形， ∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°， ∵AE=CD， ∴△ACE≌△CBD， ∴∠ACE=∠CBD，
    ∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°． 故答案为60． （2）如图②中，

    ∵△ABC是等边三角形， ∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°， ∴∠CAE=∠BCD=′120° ∵AE=CD， ∴△ACE≌△CBD， ∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，
    ∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°． 故答案为60． （3）如图③中，




    ∵点O是AC边的垂直平分线与BC的交点， ∴OC=OA， ∴∠EAC=∠DCB=α， ∵AC=BC，AE=CD， ∴△AEC≌△CDB， ∴∠E=∠D，
    ∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α． 【点睛】
    本题综合考查了三角形全等以及三角形外角和定理. 2．（1）①【解析】 【分析】
    （1）利用限变点的定义直接解答即可；
    （2）先利用逆推原理求出限变点A(2,1、B(2,1对应的原来点坐标，然后把原来点坐标代入到y2，满足解析式的就是答案；
    （3）先OC，OD的关系式，再求出点P的限变点Q满足的关系式，然后根据图象求出3,1；②B；（2）s3；（3）5k9．
    m，n的值，从而求出s即可；
    （4）先求出线段EF的关系式，再求出点P的限变点Q所满足的关系式，根据图像求解即可． 【详解】 解：（1）①∵a32，
    ∴bb11，
    故答案为：∴坐标为：3,1；
    3,1，
    ②∵对于限变点来说，横坐标保持不变，
    1， ∴限变点A(2,1对应的原来点的坐标为：2,1或2，限变点B(2,1对应的原来点的坐标为：2,2， ∵2,2满足y2， ∴这个点是B， 故答案为：B；
    （2）∵点C的坐标为(2,2， ∴OC的关系式为：yxx0， ∵点D的坐标为(2,2，
    ∴OD的关系式为：yxx0，



    xx0y∴点P满足的关系式为：， xx0∴点P的限变点Q的纵坐标满足的关系式为： 当x2时：bx1， 当0x2时：bxx， 当x0时，bxx， 图像如下：

    通过图象可以得出：当x2时，b3，∴n3， 当x2时，b0，∴m0， ∴smn033；
    2xk，k2， （3）设线段EF的关系式为：yaxca0，把E(2,5，F(k,k3代入得：2ac5a1，解得：，
    c3kack3x4(x2，
    |x3|3x(2x2∴线段EF的关系式为yx32xk，k2， ∴线段EF上的点P的限变点Q的纵坐标满足的关系式b图象如下：




    当x＝2时，b′取最小值，b'＝2﹣4＝﹣2， 当b'＝5时，
    x﹣4＝5或﹣x+3＝5，解得：x＝9或x＝﹣2， 当b′＝1时，
    x﹣4＝1，解得：x＝5， ∵ 2b5，
    ∴由图象可知，k的取值范围时：5k9． 【点睛】
    本题主要考查了一次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握新定义“限变点”，解答此题还需要掌握一次函数的图象与性质以及最值的求解，此题有一定的难度． 3．（1）30°；（2）证明见解析；（3）AOB是定值，AOB60. 【解析】 【分析】
    （1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
    （2）根据等边三角形的性质就可以得出ACAC，DCEC，，ACBDCE60，由等式的性质就可以BCEACD，根据SAS就可以得出ADCBEC；
    （3）分情况讨论：当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知ACDBCE，就可以求出结论；当点D在线段AM的延长线上时，如图2，可以得出ACDBCE而有CBECAD30而得出结论；当点D在线段MA的延长线上时，如图3，通过得出ACDBCE同样可以得出结论． 【详解】
    （1）ABC是等边三角形， BAC60．
    线段AM为BC边上的中线，
    1CAMBAC，
    2CAM30．
    （2）ABC与DEC都是等边三角形，



    ACBC，CDCE，ACBDCE60， ACDDCBDCBBCE， ACDBCE． 在ADC和BEC中 ACBCACDBCE， CDCEACDBCE(SAS；
    （3）AOB是定值，AOB60， 理由如下：
    ①当点D在线段AM上时，如图1，
    由（2）可知ACDBCE，则CBECAD30， 又ABC60，
    CBEABC603090，
    ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线
    11AM平分BAC，即BAMBAC6030
    22BOA903060．
    ②当点D在线段AM的延长线上时，如图2，
    ABC与DEC都是等边三角形，
    ACBC，CDCE，ACBDCE60，
    ACBDCBDCBDCE， ACDBCE， 在ACD和BCE中 ACBCACDBCE， CDCEACDBCE(SAS，
    CBECAD30，
    同理可得：BAM30， BOA903060．
    ③当点D在线段MA的延长线上时，
    ABC与DEC都是等边三角形，
    ACBC，CDCE，ACBDCE60， ACDACEBCEACE60， ACDBCE， 在ACD和BCE中



    ACBCACDBCE， CDCEACDBCE(SAS，
    CBECAD，
    同理可得：CAM30 CBECAD150
    CBO30，
    ∵BAM30， BOA903060．
    综上，当动点D在直线AM上时，AOB是定值，AOB60．

    【点睛】
    此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解题中注意分类讨论的思想解题. 4．（1）详见解析；（2）SBDE374t6(0t4；（3）存在，当t或时，使283得BDE是以BD为腰的等腰三角形． 【解析】 【分析】
    （1）先判断出EBCDAC，CEBCDA，再判断出BCAC，进而判断出△BCE≌△ACD，即可得出结论；
    （2）先确定出点A，B坐标，再表示出AD，即可得出结论；
    （3）分两种情况：当BDBE时，利用勾股定理建立方程32t2(4t2，即可得出结论；当BDDE时，先判断出Rt△OBD≌Rt△MED，得出DMODt，再用OMBE建立方程求解即可得出结论．
    【详解】 解：（1）证明：射线BF//x轴，
    EBCDAC，CEBCDA，



    C为线段AB的中点， BCAC，
    在△BCE和△ACD中，
    又CEBCDAEBCDAC， BCAC∴△BCE≌△ACD（AAS），
    BEAD；
    3（2）解：在直线yx3中，
    4令x0，则y3， 令y0，则x4，
    A点坐标为(4,0，B点坐标为(0,3，
    D点坐标为(t,0，
    AD4tBE，
    S    BDES    ABD    113ADyB(4t3t6(0t4； 222
    （3）当BDBE时，
    在RtOBD中，BOD90， 由勾股定理得：OB2OD2DB2， 即32t2(4t2 解得：t7；
    8当BDDE时，
    过点E作EMx轴于M， BODEMD90， BF//OA，
    OBME
    在Rt△OBD和Rt△MED中，
    BD=DE，
    OB=ME∴Rt△OBD≌Rt△MED（HL），



    ODDMt，
    由OMBE得：2t4t 解得：t综上所述，当t4，
    374或时，使得△BDE是以BD为腰的等腰三角形． 83
    【点睛】
    本题是一次函数综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
    5．（1）（0，6），（8，0）；（2）存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由见解析． 【解析】 【分析】
    （1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性即可求解；
    （2）根据运动速度得到OQ=t，OP=8-2t，根据△ODP与△ODQ的面积相等列方程求解即可；
    （3）由∠AOC=90°，y轴平分∠GOD证得OG∥AC，过点H作HF∥OG交x轴于F，得到∠FHC=∠ACE，∠FHO=∠GOD，从而∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，即可证得2∠GOA+∠ACE=∠OHC. 【详解】
    （1）∵ab2b80， ∴a-b+2=0，b-8=0， ∴a=6，b=8，
    ∴A（0，6），C（8，0）； 故答案为：（0，6），（8，0）； （2）由（1）知，A（0，6），C（8，0）， ∴OA=6，OB=8， 由运动知，OQ=t，PC=2t， ∴OP=8-2t， ∵D（4，3）， ∴S△ODQ11OQxDt42t， 2211S△ODPOPyD（82t）3123t，
    22


    ∵△ODP与△ODQ的面积相等， ∴2t=12-3t， ∴t=2.4，
    ∴存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等； （3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下： ∵x轴⊥y轴，
    ∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°， ∴∠OAC+∠ACO=90°. 又∵∠DOC=∠DCO， ∴∠OAC=∠AOD. ∵x轴平分∠GOD， ∴∠GOA=∠AOD. ∴∠GOA=∠OAC. ∴OG∥AC，
    如图，过点H作HF∥OG交x轴于F， ∴HF∥AC， ∴∠FHC=∠ACE. ∵OG∥FH， ∴∠GOD=∠FHO，
    ∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC， 即∠GOD+∠ACE=∠OHC， ∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．

    【点睛】
    此题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，坐标系中的动点问题，平行线的判定及性质定理，是一道较为综合的题型.
    6．（1）见解析；（2）图②中，CE+BE=AE，图③中，AE+BE=CE；（3）1.5或4.5 【解析】 【分析】
    （1）在BE上截取BFDE，连接AF，只要证明△AED≌△AFB，进而证出△AFE为等边三角形，得出CE+AE= BF+FE，即可解决问题；
    （2）图②中，CE+BE=AE，延长EB到F，使BF=CE，连接AF，只要证明△ACE≌△AFB，进而证出△AFE为等边三角形，得出CE+BE= BF+BE，即可解决问题；图③中，AE+BE=CE，在EC上截取CF=BE，连接AF，只要证明△AEB≌△AFC，进而证出△AFE为等边三角形，得出AE+BE =CF+EF，即可解决问题；



    （3）根据线段CE，AE，BE，BD之间的数量关系分别列式计算即可解决问题． 【详解】
    （1）证明：在BE上截取BFDE，连接AF，

    在等边△ABC中， AC=AB，∠BAC=60°
    由对称可知：AP是CD的垂直平分线，AC=AD，∠EAC=∠EAD， 设∠EAC=∠DAE=x． ∵AD=AC=AB， ∴∠D=∠ABD=1（180°-∠BAC-2x）=60°-x，
    2∴∠AEB=60-x+x=60°． ∵AC=AB，AC=AD， ∴AB=AD， ∴∠ABF=∠ADE， ∵BFDE，
    ∴△ABF≌△ADE， ∴AF=AE，BF=DE， ∴△AFE为等边三角形， ∴EF=AE，
    ∵AP是CD的垂直平分线， ∴CE=DE， ∴CE=DE=BF， ∴CE+AE= BF+FE =BE；
    （2）图②中，CE+BE=AE，延长EB到F，使BF=CE，连接AF

    在等边△ABC中，



    AC=AB，∠BAC=60°
    由对称可知：AP是CD的垂直平分线，AC=AD，∠EAC=∠EAD， ∴AB =AD，CE=DE， ∵AE =AE ∴△ACE≌△ADE， ∴∠ACE=∠ADE ∵AB =AD， ∴∠ABD=∠ADB ∴∠ABF=∠ADE=∠ACE ∵AB=AC，BF=CE， ∴△ACE≌△ABF， ∴AE=AF，∠BAF=∠CAE ∵∠BAC=∠BAE+∠CAE =60° ∴∠EAF=∠BAE+∠BAF =60° ∴△AFE为等边三角形， ∴EF=AE，
    ∴AE=BE+BF= BE+CE，即CE+BE=AE；
    图③中，AE+BE=CE，在EC上截取CF=BE，连接AF，

    在等边△ABC中， AC=AB，∠BAC=60°
    由对称可知：AP是CD的垂直平分线，AC=AD，∠EAC=∠EAD， ∴AB =AD，CE=DE， ∵AE =AE ∴△ACE≌△ADE， ∴∠ACE=∠ADE ∵AB =AD， ∴∠ABD=∠ADB ∴∠ABD=∠ADE=∠ACE ∵AB=AC，BE=CF， ∴△ACF≌△ABE， ∴AE=AF，∠BAE=∠CAF ∵∠BAC=∠BAF+∠CAF =60°



    ∴∠EAF=∠BAF+∠BAE =60° ∴△AFE为等边三角形， ∴EF=AE，
    ∴CE =EF+CF= AE + BE，即AE+BE=CE；
    （3）在（1）的条件下，若BD2AE6，则AE=3，

    ∵CE+AE=BE， ∴BE-CE=3，
    ∵BD=BE+ED=BE+CE=6， ∴CE=1.5；
    在（2）的条件下，若BD2AE6，则AE=3，因为图②中，CE+BE=AE，而BD=BE-DE=BE-CE，所以BD不可能等于2AE；

    图③中，若BD2AE6，则AE=3，

    ∵AE+BE=CE， ∴CE-BE=3，
    ∵BD=BE+ED=BE+CE=6， ∴CE=4.5．



    即CE=1.5或4.5．
    【点睛】
    本题考查几何变换，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
    7．（1）AD＝DE，见解析；（2）AD＝DE，见解析；（3）见解析，△ADE是等边三角形， 【解析】 【分析】
    （1）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明ADF≌EDC即可得解； （2）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明AFD≌DCE即可得解； （3）根据垂直平分线的性质及等边三角形的判定定理进行证明即可. 【详解】
    （1）如下图，数量关系：AD＝DE.

    证明：∵ABC是等边三角形 ∴AB＝BC，B＝BAC＝BCA＝60 ∵DF∥AC
    ∴BFD＝BAC，∠BDF＝∠BCA ∴B＝BFD＝BDF＝60 ∴BDF是等边三角形，AFD＝120 ∴DF＝BD
    ∵点D是BC的中点 ∴BD＝CD ∴DF＝CD
    ∵CE是等边ABC的外角平分线 ∴DCE＝120＝AFD
    ∵ABC是等边三角形，点D是BC的中点 ∴AD⊥BC ∴ADC＝90



    ∵BDF＝ADE＝60 ∴ADF＝EDC＝30 在ADF与EDC中
    AFD＝ECD DF＝CDADF＝EDC∴ADF≌EDC(ASA ∴AD＝DE； （2）结论：AD＝DE.
    证明：如下图，过点D作DF∥AC，交AB于F

    ∵ABC是等边三角形
    ∴AB＝BC，B＝BAC＝BCA＝60 ∵DF∥AC
    ∴BFD＝BAC，BDF＝BCA ∴B＝BFD＝BDF＝60 ∴BDF是等边三角形，AFD＝120 ∴BF＝BD ∴AF＝DC
    ∵CE是等边ABC的外角平分线 ∴DCE＝120＝AFD ∵∠ADC是ABD的外角
    ∴ADC＝B＋FAD＝60＋FAD ∵ADC＝ADE＋CDE＝60＋CDE ∴∠FAD＝∠CDE 在AFD与DCE中
    AFD＝DCE AF＝CDFAD＝EDC∴AFD≌DCE(ASA ∴AD＝DE；
    （3）如下图，ADE是等边三角形.




    证明：∵BCCD ∴ACCD ∵CE平分ACD ∴CE垂直平分AD ∴AE=DE ∵ADE60 ∴ADE是等边三角形. 【点睛】
    本题主要考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，垂直平分线的性质等相关内容，熟练掌握三角形综合解决方法是解决本题的关键. 8．（1）∠AFE=60°；（2）见解析；（3）【解析】 【分析】
    （1）通过证明BCE ≌ CAD 得到对应角相等，等量代换推导出AFE60； （2）由（1）得到AFE60，CEAD 则在Rt△AHF 中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；
    （3）通过在PF上取一点K使得KF=AF，作辅助线证明ABK和ACF全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF顺时针旋转60°也是一种思路. 【详解】
    （1）解：如图1中．
    7
    5
    ∵ABC为等边三角形，
    ∴AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， 在BCE和CAD中，



    BECDCBEACD60 ， BCCA∴BCE ≌ CAD（SAS）， ∴∠BCE=∠DAC， ∵∠BCE+∠ACE=60°， ∴∠DAC+∠ACE=60°， ∴∠AFE=60°．
    （2）证明：如图1中，∵AH⊥EC， ∴∠AHF=90°，
    在Rt△AFH中，∵∠AFH=60°， ∴∠FAH=30°， ∴AF=2FH，
    ∵EBC ≌ DCA， ∴EC=AD，
    ∵AD=AF+DF=2FH+DF， ∴2FH+DF=EC．
    （3）解：在PF上取一点K使得KF=AF，连接AK、BK，

    ∵∠AFK=60°，AF=KF， ∴△AFK为等边三角形， ∴∠KAF=60°， ∴∠KAB=∠FAC， 在ABK和ACF中，
    ABACKABACF ， AKAF∴ABK ≌ ACF(SAS，BKCF ∴∠AKB=∠AFC=120°， ∴∠BKE=120°﹣60°=60°， ∵∠BPC=30°， ∴∠PBK=30°，



    ∴BKCFPK∴PFCPCF2CP， 97CP， 9∵AFKFCP(CFPKCP45CPCP 997CPPF97 .
    ∴AF5CP59【点睛】
    掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.
    9．（1）6-2t；（2）全等，理由见解析；（3）；（4）经过24s后，点P与点Q第一次在ABC的BC边上相遇 【解析】 【分析】
    （1）根据题意求出BP，由PC=BC-BP，即可求得；
    （2）根据时间和速度的关系分别求出两个三角形中，点运动轨迹的边长，由∠B=∠C，利用SAS判定△BPD和CQP全等即可；
    （3）根据全等三角形的判定条件探求边之间的关系，得出BP=PC，再根据路程=速度×时间公式，求点P的运动时间，然后求点Q的运动速度即得；
    （4）求出点P、Q的路程，根据三角形ABC的三边长度，即可得出答案． 【详解】
    （1）由题意知，BP=2t，则 PC=BC-BP=6-2t， 故答案为：6-2t； （2）全等，理由如下： ∵VpVQ，t=1， ∴BP=2=CQ，
    ∵AB=8cm，点D 为AB的中点， ∴BD=4（cm），
    又∵PC=BC-BP=6-2=4（cm）， 在△BPD和CQP中
    83BDPCBC BPCQ∴△BPD≌CQP（SAS）



    故答案为：全等． （3）∵VpVQ， ∴BPCQ，
    又∵△BPD≌CPQ，∠B=∠C， ∴BP=PC=3cm，CQ=BD=4cm， ∴点P,Q运动时间tBP3（s）， 22∴VQCQ4833（cm/s）， t28故答案为：；
    3（4）设经过t秒时，P、Q第一次相遇， ∵Vp2cm/s，VQ∴2t+8+8=t， 解得：t=24
    此时点Q走了2464（cm）， ∵ABC的周长为：8+8+6=22（cm）， ∴64222838cm/s，
    38320，
    ∴20-8-8=4（cm），
    经过24s后，点P与点Q第一次在ABC的BC边上相遇， 故答案为：24s，在 BC边上相遇． 【点睛】
    考查了全等三角形的判定和性质，路程，速度，时间的关系，全等三角形中的动点问题，动点的追及问题，熟记三角形性质和判定，熟练掌握全等的判定依据和动点的运动规律是解题的关键，注意动点中追及问题的方向．
    10．（1）见解析；（2）当F运动到AF＝AD时，FD∥BG，理由见解析；（3）FH＝HD，理由见解析 【解析】 【分析】
    （1）证明△DEG≌△CEB（AAS）即可解决问题． （2）想办法证明∠AFD＝∠ABG＝45°可得结论．
    （3）结论：FH＝HD．利用等腰直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】
    （1）证明：∵AD∥BC，
    ∴∠DGE＝∠CBE，∠GDE＝∠BCE，



    ∵E是DC的中点，即 DE＝CE， ∴△DEG≌△CEB（AAS）， ∴DG＝BC；
    （2）解：当F运动到AF＝AD时，FD∥BG． 理由：由（1）知DG＝BC， ∵AB＝AD+BC，AF＝AD， ∴BF＝BC＝DG， ∴AB＝AG， ∵∠BAG＝90°， ∴∠AFD＝∠ABG＝45°， ∴FD∥BG，
    故答案为：F运动到AF＝AD时，FD∥BG； （3）解：结论：FH＝HD．
    理由：由（1）知GE＝BE，又由（2）知△ABG为等腰直角三角形，所以AE⊥BG， ∵FD∥BG， ∴AE⊥FD，
    ∵△AFD为等腰直角三角形， ∴FH＝HD， 故答案为：FH＝HD．

    【点睛】
    本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
    11．（1）（2，0），∠OBA+∠OCA=180°；（2）△ABC与△ACD是偏差三角形，理由见解析；（3）【解析】 【分析】
    （1）根据偏差三角形的定义，即可得到C的坐标，根据等腰三角形的性质和平角的定义，即可得到结论；
    （2）在AD上取一点H，使得AH=AB，易证△CAH≌△CAB，进而可得∠D=∠CHD，根据偏差三角形的定义，即可得到结论；
    （3）延长CA至点E，使AE=BD，连接BE，由SAS可证∆BDC≅∆EAB，得EA=BD，点B到直线EA的距离是3，根据三角形的面积公式，即可求解．
    27
    2


    【详解】
    （1）∵当AC=AB时，△OAB与△OAC是偏差三角形，A(3，2，B(4，0， ∴点C的坐标为（2，0），如图1， ∵AC=AB， ∴∠ACB=∠ABC， ∵∠OCA+∠ACB=180°， ∴∠OBA+∠OCA=180°，
    故答案为：(2，0，∠OBA+∠OCA=180°； （2）△ABC与△ACD是偏差三角形，理由如下： 如图2中，在AD上取一点H，使得AH=AB． ∵AC平分∠BAD， ∴∠CAH=∠CAB， 又∵ AC=AC，
    ∴△CAH≌△CAB（SAS）， ∴CH=CB，∠B=∠AHC，
    ∵∠B+∠D=180°，∠AHC+∠CHD=180°， ∴∠D=∠CHD， ∴CH=CD， ∴CB=CD，
    ∵△ACD和△ABC中，AC=AC，∠CAD=∠CAB，BC=CD，△ADC与△ABC不全等， ∴△ABC与△ACD是偏差三角形；
    （3）如图3中， 延长CA至点E，使AE=BD，连接BE， ∵∠BAC+∠BDC=180°，∠BAC+∠BAE=180°， ∴∠BDC=∠BAE， 又∵AB=CD，
    ∴∆BDC≅∆EAB（SAS）， ∴EA=BD，
    ∵点C到直线BD的距离是3， ∴点B到直线EA的距离是3， ∴S△ABC+S△BCD=S△ABC+S△EAB= S△BCE=11127∙（AC+EA）×3 =∙（AC+BD）×3 =×9×3=． 2222
    【点睛】
    本题主要考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角


    形，是解题的关键．
    12．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当AC=2BD时，对于满足条件的任意点N，AN=CP始终成立，证明见解析． 【解析】 【分析】
    （1）由三角形的内角和定理可求∠ACN=∠AMC=135°-∠ACM；
    （2）过点N作NE⊥AC于E，由“AAS”可证△NEC≌△CDM，可得NE=CD，由三角形面积公式可求解；
    （3）过点N作NE⊥AC于E，由“SAS”可证△NEA≌△CDP，可得AN=CP． 【详解】
    （1）∵∠BAC=45°，
    ∴∠AMC=180°﹣45°﹣∠ACM=135°﹣∠ACM． ∵∠NCM=135°，
    ∴∠ACN=135°﹣∠ACM，∴∠ACN=∠AMC； （2）过点N作NE⊥AC于E，

    ∵∠CEN=∠CDM=90°，∠ACN=∠AMC，CM=CN， ∴△NEC≌△CDM（AAS）， ∴NE=CD，CE=DM； ∵S111AC•NE，S2AB•CD， 22S1AC∴； S2AB（3）当AC=2BD时，对于满足条件的任意点N，AN=CP始终成立， 理由如下：过点N作NE⊥AC于E，

    由（2）可得NE=CD，CE=DM． ∵AC=2BD，BP=BM，CE=DM，



    ∴AC﹣CE=BD+BD﹣DM， ∴AE=BD+BP=DP．
    ∵NE=CD，∠NEA=∠CDP=90°，AE=DP， ∴△NEA≌△CDP（SAS）， ∴AN=PC． 【点睛】
    本题三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形面积公式等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．


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