教学过程

一、复习预习

复习勾股定理，复习直角三角形边与角的关系，学会掌握为什么是0.618，台风问题等等

二、知识讲解

1.直角三角形的边角关系（如图）

（1）边的关系（勾股定理）： ；

（2）角的关系： =∠C=900；

（3）边角关系：

①：word/media/image2_1.png

②：锐角三角函数：

∠A的 =word/media/image4_1.png；

∠A的 =word/media/image5_1.png ,

∠A的 =word/media/image6_1.png

注：三角函数值是一个比值．

2.三角函数的大小比较

(1) 同名三角函数的大小比较

①正弦、正切是增函数．三角函数值随角的增大而 ，随角的减小而 ．

②余弦、余切是减函数．三角函数值随角的增大而 ，随角的减小而 。

(2) 异名三角函数的大小比较

①tanA＞SinA，由定义知tanA= ，sinA= ；因为b＜c，所以tanA＞sinA

②cotA ＞cosA．由定义知cosA= ，cotA= ；因为 a＜c，所以cotA＞cosA．

③若0○ ＜A＜45○，则cosA＞sinA，cotA＞tanA；

若45○＜A＜90○，则cosA＜sinA，cotA＜tanA

3、运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题

1、实际问题中有关名词、术语的意义：

①仰角与俯角：在进行测量时，从下往上看，视线与 的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做 .如图1.

②坡角与坡度：坡面与 的夹角叫做坡角，图2中的 α 是坡角；坡面的垂直高度h和 的比叫做坡度.即坡度

3、例题精析

【例1】等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm，那么底角的余弦等于（ ）．

（A） （B） （C） （D）

课堂训练题

在△ABC中，若三边BC ,CA,AB满足 BC：CA：AB=5：12：13，则cosB= （ ）

A. B. C. D.

【例2】已知word/media/image17_1.png，且∠A为锐角，则∠A=（ ）

A.30° B.45° C.60° D.75°

课堂训练题

cos30°=( )

A.word/media/image18_1.png B.word/media/image19_1.png C.word/media/image20_1.png D.word/media/image21_1.png

【例3】王英同学从A地沿北偏西60º方向走100 m到B地，再从B地向正南方向走200 m到C地，此时王英同学离A地 （　　）

（A）m （B）100 m （C）150 m 　　（D）m

【解题思路】作出如图所示的图形，则∠BAD＝90°－60°＝30°，AB＝100，所以BD＝50，cos30°＝word/media/image25_1.png，

所以AD＝50word/media/image26_1.png，

CD＝200－50＝150，在Rt△ADC中，

AC＝word/media/image27_1.png＝word/media/image28_1.png＝100word/media/image26_1.png.

课堂训练题

在一次夏令营活动中，小霞同学从营地word/media/image29_1.png点出发，要到距离word/media/image29_1.png点word/media/image30_1.pngword/media/image31_1.png的word/media/image32_1.png地去，先沿北偏东word/media/image33_1.png方向到达word/media/image34_1.png地，然后再沿北偏西word/media/image35_1.png方向走了word/media/image36_1.pngword/media/image37_1.png到达目的地word/media/image38_1.png,此时小霞在营地word/media/image39_1.png的（ ）

A. 北偏东word/media/image40_1.png方向上 B. 北偏东word/media/image41_1.png方向上

C. 北偏东word/media/image42_1.png方向上 D. 北偏西word/media/image43_1.png方向上

【例4】如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为( )

A． B．4 C． D．

课堂训练题

如图6-32，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，则BD∶AC等于（ ）

（A） （B） （C）1∶2 （D）

【例5】如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°,则船与观测者之间的水平距离BC= 米．

课堂训练题

如图，孔明同学背着一桶水，从山脚word/media/image53_1.png出发，沿与地面成word/media/image54_1.png角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（word/media/image55_1.png处），word/media/image56_1.png米，则孔明从word/media/image57_1.png到word/media/image58_1.png上升的高度word/media/image59_1.png是 米．

【例6】如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地面1500 m，高度C处的飞机，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB的长.

∵OA， OB=OC=1500，

∴AB= (m).

即隧道AB的长约为635m.

课堂训练题

某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度．如示意图，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为word/media/image65_1.png，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为word/media/image66_1.png．测得A，B之间的距离为4米，word/media/image67_1.png，word/media/image68_1.png，试求建筑物CD的高度．

【例7】如图，一条小船从港口word/media/image69_1.png出发，沿北偏东word/media/image70_1.png方向航行word/media/image71_1.png海里后到达word/media/image72_1.png处，然后又沿北偏西word/media/image73_1.png方向航行word/media/image74_1.png海里后到达word/media/image75_1.png处．问此时小船距港口word/media/image76_1.png多少海里？（结果精确到1海里）

友情提示：以下数据可以选用：word/media/image77_1.png，word/media/image78_1.png，word/media/image79_1.png，word/media/image80_1.png．

解：过word/media/image81_1.png点作word/media/image82_1.png，垂足为点word/media/image83_1.png；过word/media/image84_1.png点分别作word/media/image85_1.png，

word/media/image87_1.png，垂足分别为点word/media/image88_1.png，则四边形word/media/image89_1.png为矩形．

word/media/image90_1.png， word/media/image91_1.png，word/media/image92_1.png．

word/media/image93_1.png，word/media/image94_1.png；

word/media/image95_1.png．

word/media/image96_1.png，

word/media/image97_1.png；

word/media/image98_1.png．

word/media/image99_1.png．

word/media/image100_1.png，

word/media/image101_1.png．

word/media/image102_1.png由勾股定理，得word/media/image103_1.png．

即此时小船距港口word/media/image104_1.png约25海里.

课堂训练题

如图所示，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东，在M的南偏东方向上有一点A，以A为圆心，500米为半径的圆形区域为居民区，则MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东.已知米，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？

word/media/image109_1.png

【例8】如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动.距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响.

（1） 问B处是否会受到台风的影响？请说明理由.

（2） 为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？

（供选用的数据：≈1.4，≈1.7）

【参考答案】解：（1）过点B作BD⊥AC，垂足为D.依题意得：∠BAC=30°，Rt△ABD中，

BD=AB=×20×16=160＜200，

∴B处会受到台风的影响.

（2）以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC于E、F（如图），

由勾股定理可求得：DE=120，AD=160，

AE=AD－DE=160－120，

∵=3.8（小时）

∴该船应在3.8小时内卸完货物.

课堂训练题

如图，某船以每小时36海里的速度向正东航行，在A点测得该岛在北偏东60°方向上，航行半小时后到B点，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁.

（1） 试说明B点是否在暗礁区域外；

（2） 若继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由.

课后自我检测

A类题（10道题）

1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA＝（ ）

A. B. C. D.

2.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则tan＝ .

3.计算word/media/image121_1.png的值是（ ）

A. B. C. D.

4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝6，则BC的长为（ ）

A.6 B.5 C.4 D.2

5.△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且，试确定△ABC的形状.

6.已知正方形ABCD的两条对角线相交于O，P是OA上一点，且∠CPD＝60°，则PO∶AO＝ .

7.在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，已知∠ACD的正弦值是，则的值是（ ）

A. B. C. D.

8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6，求AB的长.

9.某水库大坝横断面是梯形ABCD，坝顶宽CD＝3米，斜坡AD＝16米，坝高8米，斜坡BC的坡度＝1∶3，求斜坡AB的坡角和坝底宽AB.

10.在数学活动课上，老师带领学生去测河宽，如图，某学生在点A处观测到河对岸水边处有一点C，并测得∠CAD＝45°，在距离A点30米的B处测得∠CBD＝30°，求河宽CD（结果可带根号）.

B类题（10道题）

1.某人沿倾斜角为的斜坡前进100米，则他上升的高度为（ ）

A.米 B.米 C.米 D.米

2.若word/media/image141_1.png，则锐角的度数是（ ）

A.20° B.30° C.40° D.50°

3.已知cos＜0.5，那么锐角的取值范围是（ ）

A.60°＜＜90° B.0°＜＜60° C.30°＜＜90° D.0°＜＜30°

4.△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，则等于（ ）

A.cosB B.tanA C.cosA D.sinA

5.已知等腰梯形ABCD中，AD＋BC＝18cm，sin∠ABC＝，AC与BD相交于点O，∠BOC＝120°，试求AB的长.

6.如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米.现将梯子的底端A向外移动到，使梯子的底端到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降到，那么（ ）

A.等于1米 B.大于1米

C.小于1米 D.不能确定

7.如图，已知四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，∠BAD＝75°，∠D＝60°，求CD的长.

8.如图，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高与楼高（精确到0.01米）.（参考数据：＝1.41421…，＝1.73205…）

9.如图，直升飞机在跨河大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO＝450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为word/media/image152_1.png，word/media/image153_1.png，求大桥AB的长（精确到1米，选用数据：＝1.41，＝1.73）

10.一艘渔船正以30海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°方向，已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？

C类题（10道题）

1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子不一定成立的是（ ）

A.cosA＝cosB B.cosA＝sinB

C.sinA＝cosB D.

2.已知，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，AC＝2，则AB的长为 .

word/media/image157_1.png3.如图，两条宽度都是1的纸条交叉叠在一起，且它们的夹角为，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ）

A. B.

C. D.1

4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的对边分别是、，且满足，则tanA等于（ ）

A.1 B. C. D.

5.如图，在△ABC中，∠A＝30°，E为AC上一点，且AE∶EC＝3∶1，EF⊥AB于F，连结FC，则tan∠CFB＝（ ）

A. B. C. D.

6.已知，，则与的关系是（ ）

A. B. C. D.